初中数学教研论文 如何“体现数学知识的形成过程”——以勾股定理为例

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《课程标准》要求数学的教学过程中，要体现数学知识的形成过程。我们该如何理解这句话呢？何谓知识的形成过程？是要求我们在教学的过程中重现数学家们发现相关数学定理的过程吗？
其实什么叫做“知识的形成过程”呢？它是不是就是指相关数学知识的发现过程呢？其实这两者并等同，具体数学知识的发现过程是复杂的，甚至充满着偶然性，很多的数学知识的发现过程并不可考，即使我们找到了数学史上真实的知识发现过程，其探索的方式也并不一定适合每一个人，这里所说的“数学知识的形成过程”是指学生在学习数学知识的过程中，在学生的知识结构中，相关的数学知识从无到有的一个思维过程。
众所周知，数学是思维的结果，而人的思维具有很强个性化特征，即同一个对象或问题所激发的学生头脑中的发应很大可能是不同的，这将产生不同的思维产品，但无论其思维特性如何，我们在教学过程中体现知识的形成过程始终“动态教学”的基本要求之一。那么该如何去实现这一点呢？
     以《勾股定理》的教学为例，勾股定理的本质是直角三角形三边之间的数量关系，其知识目标无非是等式：a2+b2=c2（c是斜边）；那么，其过程性目标是什么呢？如何简单地将过程性目标定为上述定理的证明过程，那么显然没有体现数学知识形成过程是一个思维、构建的过程。知识的形成过程应该是由一个由发现、探索、归纳、证明的过程，当然，这个过程并不是和历史上知识的发现过程一致，它要符合学生的认知基础，即虽然它是一个思维、构建的过程，但这个过程还是由教师去设计、引导来完成的，而不是自然形成的。
     （1）知识的发现过程
      如何让学生去自主地发现直角三角形三边之间存在数量关系？这里有很多的方法：拼图、研究格点图案的面积，或者用下图所示的数学实验工具，都可以作为知识发现过程的道具，通过这些方法，我们可以很自然地将学生引入到数学知识的发现过程中来，让学生的思维处在一个发现问题的状态中。

     （2）探索与归纳
       知识的形成过程中除了发现问题外，最重要的是猜想与求证，也即是胡适先生所说的“大胆猜想，小心求证”。其实，在数学上，大胆猜想并不是胡乱猜想，猜想的过程其实是一个探索和归纳的过程。是一个由特殊个例到普遍规律的归纳过程，同时也是一个由数学实验上升到范式表达的过程。在勾股定理的探究中，如何引导学生由正方形面积之间的关系归纳到直角三角形的边之间的关系是一个值得我们思考的过程，也正是这个过程才体现出思维的过程性，在勾股定理的探索与归纳过程中，我们要做的是将正方形与三角形关联起来：正方形的大小是由三角形的边来决定的，那么正方形的面积之间的关系同样也可以归纳到三角形的边之间的关系上。
    （3）证明方法的思考
      数学知识的最终形成肯定是通过规范的证明来完成的。如何去寻求证明的方法，数学知识的证明方法离不开它的探索过程，在探索过程中去寻求证明的方法是对前面知识形成过程的一次总结和梳理，是一种将经验升华为理论的过程。