2019年湖北省十堰市中考数学试卷及解析word免费下载

水水水

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2019年湖北省十堰市中考数学试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内.
1．（3分）下列实数中，是无理数的是（　　）
A．0        B．﹣3        C．         D．
2．（3分）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）

A．50°        B．45°        C．40°        D．30°
3．（3分）如图是一个L形状的物体，则它的俯视图是（　　）

A．         B．         C．         D．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a+a＝2a2        B．（﹣a）2＝﹣a2       
C．（a﹣1）2＝a2﹣1        D．（ab）2＝a2b2
5．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等        B．对角相等       
C．对角线相等        D．对角线互相平分
6．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：
组员        甲        乙        丙        丁        戊        平均成绩        众数
得分        81        77        ■        80        82        80        ■
则被遮盖的两个数据依次是（　　）
A．80，80        B．81，80        C．80，2        D．81，2
7．（3分）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（　　）
A． ﹣ ＝15        B． ﹣ ＝15       
C． ﹣ ＝20        D． ﹣ ＝20
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝ ，则AE＝（　　）

A．3        B．3         C．4         D．2
9．（3分）一列数按某规律排列如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，若第n个数为 ，则n＝（　　）
A．50        B．60        C．62        D．71
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝ 的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（　　）

A．﹣20        B．﹣16        C．﹣12        D．﹣8
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：a2+2a＝　   　．
12．（3分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为　   　．

13．（3分）我市“创建文明城市”活动正如火如荼的展开．某校为了做好“创文”活动的宣传，就本校学生对“创文”有关知识进行测试，然后随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计分析，并将分析结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

若该校有学生2000人，请根据以上统计结果估计成绩为优秀和良好的学生共有　   　人．
14．（3分）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　   　．
15．（3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为　   　．

16．（3分）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝　   　．

三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）计算：（﹣1）3+|1﹣ |+ ．
18．（6分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷（ ﹣2），其中a＝ +1．
19．（7分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．

20．（7分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）若从第一盒中随机取出1个球，则取出的球是白球的概率是　   　．
（2）若分别从每个盒中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的概率．
21．（7分）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．
22．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝ ∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．

23．（10分）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）当31≤x≤50时，y与x的关系式为　   　；
（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．
24．（10分）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．
（1）填空：∠CDE＝　   　（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若α＝90°，AC＝5 ，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．

25．（12分）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0， ），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）若点P在抛物线上，且 ＝m，试确定满足条件的点P的个数．



2019年湖北省十堰市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内.
1．（3分）下列实数中，是无理数的是（　　）
A．0        B．﹣3        C．         D．
【考点】22：算术平方根；26：无理数．菁优网版权所有
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：A、0是有理数，故A错误；
B、﹣3是有理数，故B错误；
C、 是有理数，故C错误；
D、 是无理数，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
2．（3分）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）

A．50°        B．45°        C．40°        D．30°
【考点】J3：垂线；JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠3，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1．
【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∵直线AB⊥AC，
∴∠2+∠3＝90°．
∴∠2＝40°．
故选：C．

【点评】本题考查了平行线的性质，余角角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
3．（3分）如图是一个L形状的物体，则它的俯视图是（　　）

A．         B．         C．         D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看可得到两个左右相邻的长方形，并且左边的长方形的宽度远小于右面长方形的宽度．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a+a＝2a2        B．（﹣a）2＝﹣a2       
C．（a﹣1）2＝a2﹣1        D．（ab）2＝a2b2
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．菁优网版权所有
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
【解答】解：A、2a+a＝3a，故此选项错误；
B、（﹣a）2＝a2，故此选项错误；
C、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故此选项错误；
D、（ab）2＝a2b2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等        B．对角相等       
C．对角线相等        D．对角线互相平分
【考点】L5：平行四边形的性质；LB：矩形的性质．菁优网版权所有
【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．
6．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：
组员        甲        乙        丙        丁        戊        平均成绩        众数
得分        81        77        ■        80        82        80        ■
则被遮盖的两个数据依次是（　　）
A．80，80        B．81，80        C．80，2        D．81，2
【考点】W5：众数．菁优网版权所有
【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
80×5﹣（81+77+80+82）＝80（分），
则丙的得分是80分；
众数是80，
故选：A．
【点评】考查了众数及平均数的定义，解题的关键是根据平均数求得丙的得分，难度不大．
7．（3分）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（　　）
A． ﹣ ＝15        B． ﹣ ＝15       
C． ﹣ ＝20        D． ﹣ ＝20
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
【分析】设原计划每天铺设钢轨x米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务可列方程．
【解答】解：设原计划每天铺设钢轨x米，可得： ，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程．
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝ ，则AE＝（　　）

A．3        B．3         C．4         D．2
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M6：圆内接四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．
【解答】解：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CDA，
∴AC＝AD＝5，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴AE＝ ＝ ＝2 ．
故选：D．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．
9．（3分）一列数按某规律排列如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，若第n个数为 ，则n＝（　　）
A．50        B．60        C．62        D．71
【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是1，（1，2），（1，2，3），…，分母变化是1，（2，1），（3，2，1），…，从而可以求得第n个数为 时n的值，本题得意解决．
【解答】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，可写为： ，（ ， ），（ ， ， ），（ ， ， ， ），…，
∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为 ，
∴第n个数为 ，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60，
故选：B．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝ 的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（　　）

A．﹣20        B．﹣16        C．﹣12        D．﹣8
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；P2：轴对称的性质．菁优网版权所有
【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．
【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：
      则△BDE≌△FDE，
∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°
      易证△ADF∽△GFE
∴ ，
∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），
∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，
∵D、E在反比例函数y＝ 的图象上，
∴E（ ，4）、D（﹣8， ）
∴OG＝EC＝ ，AD＝﹣ ，
∴BD＝4+ ，BE＝8+
∴ ，
∴AF＝ ，
      在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2
      即：（﹣ ）2+22＝（4+ ）2
     解得：k＝﹣12
故选：C．

【点评】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD与BE的比是1：2是解题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：a2+2a＝　a（a+2）　．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【分析】直接提公因式法：观察原式a2+2a，找到公因式a，提出即可得出答案．
【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．
【点评】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用．
12．（3分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为　24　．

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KX：三角形中位线定理；L8：菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据菱形的对角线互相平分可得BO＝DO，然后求出OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出CD，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴CD＝2OE＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24；
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键．
13．（3分）我市“创建文明城市”活动正如火如荼的展开．某校为了做好“创文”活动的宣传，就本校学生对“创文”有关知识进行测试，然后随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计分析，并将分析结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

若该校有学生2000人，请根据以上统计结果估计成绩为优秀和良好的学生共有　1400　人．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．菁优网版权所有
【分析】先根据及格人数及其对应百分比求得总人数，总人数乘以优秀对应的百分比求得其人数，继而用总人数乘以样本中优秀、良好人数所占比例．
【解答】解：∵被调查的总人数为28÷28%＝100（人），
∴优秀的人数为100×20%＝20（人），
∴估计成绩为优秀和良好的学生共有2000× ＝1400（人），
故答案为：1400．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
14．（3分）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　﹣3或4　．
【考点】2C：实数的运算；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【分析】利用新定义得到[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，整理得到（2m﹣1）2﹣49＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，
（2m﹣1）2﹣49＝0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，
2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，
所以m1＝﹣3，m2＝4．
故答案为﹣3或4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
15．（3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为　6π　．

【考点】MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．菁优网版权所有
【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆的面积．
【解答】解：由图可得，
图中阴影部分的面积为： ＝6π，
故答案为：6π．
【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（3分）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝　6　．

【考点】KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性质；R2：旋转的性质．菁优网版权所有
【分析】作DH⊥AE于H，如图，由于AF＝4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝3，接着证明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，
∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，
∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，
在Rt△ABF中，BF＝ ＝3，
∵∠EAF＝90°，
∴∠BAF+∠BAH＝90°，
∵∠DAH+∠BAH＝90°，
∴∠DAH＝∠BAF，
在△ADH和△ABF中
，
∴△ADH≌△ABF（AAS），
∴DH＝BF＝3，
∴S△ADE＝ AE•DH＝ ×3×4＝6．
故答案为6．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）计算：（﹣1）3+|1﹣ |+ ．
【考点】2C：实数的运算．菁优网版权所有
【分析】原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣1+ ﹣1+2＝ ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷（ ﹣2），其中a＝ +1．
【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1﹣ ）÷（ ﹣2）
＝
＝
＝ ，
当a＝ +1时，原式＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（7分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．

【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【分析】过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，得到四边形AEFD是矩形，根据矩形的性质得到AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
则四边形AEFD是矩形，有AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，
∵坡角α＝45°，β＝30°，
∴BE＝AE＝6，CF＝ DF＝6 ，
∴BC＝BE+EF+CF＝6+3+6 ＝9+6 ，
∴BC＝（9+6 ）m，
答：BC的长（9+6 ）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解．
20．（7分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）若从第一盒中随机取出1个球，则取出的球是白球的概率是　 　．
（2）若分别从每个盒中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的概率．
【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出恰好1个白球、1个黄球的结果数，然后根据概率公式求解；
【解答】解：（1）若从第一盒中随机取出1个球，则取出的球是白球的概率是 ，
故答案为： ；

（2）画树状图为：
，
共有6种等可能的结果数，取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的有3种结果，
所以取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的概率为 ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
21．（7分）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．
【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围；
（2）由根与系数的关系，用a表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围，再求其值即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，
解得a＜2；
（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，
∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，
∴36﹣3（2a+5）≤30，
∴a≥﹣ ，∵a为整数，
∴a的值为﹣1，0，1．
【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．
22．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝ ∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．

【考点】KH：等腰三角形的性质；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC＝90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可；
（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．
【解答】解：（1）如图，连接OD，AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD＝ ∠BAC，
∵∠CDE＝ ∠BAC．
∴∠CDE＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODC＝90°，
∴∠ODC+∠CDE＝90°
∴∠ODE＝90°
又∵OD是⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝3BD，
∴AC＝3DC，
设DC＝x，则AC＝3x，
∴AD＝ ＝2 x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE，
∴ ＝ ，即 ＝ ＝
∴DE＝4 ，x＝ ，
∴AC＝3x＝14，
∴⊙O的半径为7．

【点评】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．
23．（10分）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）当31≤x≤50时，y与x的关系式为　 　；
（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．
【考点】37：规律型：数字的变化类；HE：二次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
（1）依据题意利用待定系数法，易得出当31≤x≤50时，y与x的关系式为：y＝ x+55，
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
（3）要使第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则对称轴＝ ≥35，求得a即可
【解答】解：
（1）依题意，当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33，
当31≤x≤50时，设y＝kx+b，
则有 ，解得
∴y与x的关系式为：y＝ x+55
（2）依题意，
∵W＝（y﹣18）•m
∴
整理得，
当1≤x≤30时，
∵W随x增大而增大
∴x＝30时，取最大值W＝30×110+1100＝4400
当31≤x≤50时，
W＝ x2+160x+1850＝
∵ ＜0
∴x＝32时，W取得最大值，此时W＝4410
综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元
（3）依题意，
W＝（y+a﹣18）•m＝
∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大
∴对称轴x＝ ＝ ≥35，得a≥3
故a的最小值为3．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
24．（10分）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．
（1）填空：∠CDE＝　 　（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若α＝90°，AC＝5 ，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．

【考点】RB：几何变换综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝α，即可求解；
（2）由旋转的性质可得AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，可证△CDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF＝EF＝ ，即可求解；
（3）分点G在AB的上方和AB的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE
∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α
∴CD＝CE
∴∠CDE＝
故答案为：
（2）AE＝BE+ CF
理由如下：如图，

∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE
∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°
∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE
∴DF＝EF＝
∵AE＝AD+DF+EF
∴AE＝BE+ CF
（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5 ，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10
∵∠ACB＝90°＝∠AGB
∴点C，点G，点B，点A四点共圆
∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG
∴∠AGC＝∠ECG＝45°
∴CE＝GE
∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°
∴AG＝ ＝8
∵AC2＝AE2+CE2，
∴（5 ）2＝（8﹣CE）2+CE2，
∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1
若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG，
同理可得：CF＝7
∴点C到AG的距离为1或7．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
25．（12分）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0， ），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）若点P在抛物线上，且 ＝m，试确定满足条件的点P的个数．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．
（2）可能．分三种情形①当DE＝DF时，②当DE＝EF时，③当DF＝EF时，分别求解即可．
（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣ （n﹣2）2+3]，构建二次函数求出△PBD的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意： ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ （x﹣2）2+3，
∴顶点D坐标（2，3）．

（2）可能．如图1，

∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），
∴AB＝8，AD＝BD＝5，
①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，
∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．
②当DE＝EF时，
又∵△BEF∽△AED，
∴△BEF≌△AED，
∴BE＝AD＝5
③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，
△FDE∽△DAB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵△BEF∽△ADE
∴ ＝ ＝ ，
∴EB＝ AD＝ ，
答：当BE的长为5或 时，△CFE为等腰三角形．
（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣ （n﹣2）2+3]，
则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝ ×4×[﹣ （n﹣2）2+3]+ ×3×（n﹣2）﹣ ×4×3＝﹣ （n﹣4）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为 ，
∵ ＝m，
∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝ ＝ ，
观察图象可知：当0＜m＜ 时，满足条件的点P的个数有4个，
当m＝ 时，满足条件的点P的个数有3个，
当m＞ 时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

水水水

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2020-4-16 17:53 上传

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