《比的应用》案例分析

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一、本课型课标解读

计算是日常生活中人们应用最多的数学知识，培养小学生的计算能力是小学数学教学的重要目标之一，因此计算课在小学阶段也占了很大比重。但长期以来，我们在计算教学中关注的是让学生知道该怎么算，然后通过大量练习帮助学生套用计算法则或竖式格式形成运算技能，而对于学生思维的培养却是微乎其微。我们的计算教学应该像《数学课程标准》上所说的，计算内容的设计应该是具体的、生动的，富有挑战性的；计算过程的设计应该是紧紧抓住四则运算的意义，在加强动手操作的基础上，真正理解运算意义、鼓励算法的多样化，从而探索并掌握基本的计算方法，逐步形成计算的技能与技巧，并能灵活应用去解决其他计算问题及实际的数学问题。

二、本课型知识能力结构及特点分析

在新课程背景下，计算教学把运算意义、计算方法和应用运算解决实际问题有机地结合在一起，我们应寓思维训练于计算教学中，重视学生获取知识的思维过程，要教学生学会，并促进会学。那么，要想使学生在计算学习的过程中发展思维，体会到数学知识的发展，最终形成良好的学习品质，关键是在计算教学的过程中教师要随时注意启迪学生的思维，点燃学生思维的火花。

三、本课型教学设计基本思路及注意事项

    基本思路：

    1、创设情境，乐学启智，引入新知

    2、小组合作，乐究寻智，体会新知

    3、相互交流，乐享汇智，应用新知

    4、巩固练习，乐凝升智，活用新知

注意事项：

著名的心理学家和教育学家基腾伯格有一句名言：“教育最主要的目标是引导学生的思维”。 通过表述学习思维方法，以说促想，激活思维，形成条理，使思维的深刻性得到培养。过去计算教学以“算”为主，学生没有“说”的机会，现在就要求我们为学生提供思路，教给学生思维的方法，让学生体验、探索、发现计算的步骤和方法，从而发展思维。

四、典型教学案例实录及分析

【教学实录】

《比的应用》教学实录

一、创设情境，乐学启智，引入“比”

师：今天，老师给你们带来一幅图，想不想看？仔细观察，图中说了一件什么事？

生：说了一件分橘子的事，准备把一筐橘子分给一班和二班，看看每班分到多少个？

生：一班30个人，二班20个人，每班分到多少个橘子？

师：刚才大家已经看明白了，图中说了一班和二班要分橘子的事，那你想问什么问题？

生：每班各分到多少个？

生：每个人分到几个橘子？

生：一共有多少个橘子？

师：刚才大家提了很多问题，有人问到：每班分到多少个橘子，你知道怎么分？按什么分吗？

生：平均分

师：怎么平均分呢？

生：按份数分，把这些橘子平均分成5份，一班分3份，二班分2份，按一班和二班的人数比3:2分。

师：为什么不能平均分给两个班呢？

生：因为一班和二班的人数不一样，平均分的话就会出现一班的不够分，二班的有剩余。

师：刚才大家说要按一班和二班的人数比分，一班和二班的人数比是30：20也就是3:2，那3是什么意思，2又是什么意思？

生：3就是一班要分3份，2就是二班要分2份。

生：把这一筐橘子平均分成5份，拿其中的3份给一班，拿其中的2份给二班。

师：经过大家的分析一班和二班人数不同，按一班和二班的人数比3:2分合理，也就是3份、2份、3份、2份的分。

二、小组合作，乐究寻智，体会“比”

（1）小组合作按3:2给1班和2班分橘子。你们想分分试试吗？根据活动建议尝试分橘子。

师：你想不想来分一分？那咱们就来看一看活动要求。谁来给大家读一读？

生：1、同桌两人合作，说一说按3:2分，每次一班和二班各分到多少个橘子，边分边记录。2、比一比，看哪个小组善于动脑筋，想到的分法多。

师：听明白了吗？

生：听明白了。

师：分之前大家还有什么想问的吗？

生：总共有多少个橘子？

师：橘子有很多，数量不限。那同桌两个就按要求去分一分。

（2）学生汇报，师根据学生汇报引导学生体会到分法很多，写不完。

师：谁愿意给大家说一说，你们两个是怎么分得？其他同学你要仔细听、认真看，看他们是不是按3:2分。

生：一班分到3个，二班分到2个；一班分到6个，二班分到4个；一班分到12个，二班分到8个；一班分到24个，二班分到16个；第五次一班分到30个，二班分到20个；第六次一班分到48个，二班分到32个；第七次一班分到96个，二班分到64个；一班分到300个，二班分到200个。

师：有没有和他分的不一样的？

生：我第一次分到的是一班30个，二班20个；第二次分到的是一班60个，二班40个；第三次分到的是一班15个，二班10个；第四次分到的是一班90个，二班60个；第五次分到的是一班120个，二班80个。

师：同学们，还有没有？能说完不能？

生：不能说完。

（3）观察这些数有什么特点？每次分得的两班的比都是3:2，既1班分到了3份，2班分到了2份。

师：看来能化成3:2的比有很多，说也说不完，写也写不完。仔细观察这些数有什么特点？

生：一班的这一列数都是3的倍数，二班的这一列数都是2的倍数。

生：一班的数量除以二班的数量都是1.5。

生：无论每班分到几个，它们最后的比都是3:2。

（4）出示卡片，根据3份、2份你还能想到什么？

师：刚才大家发现：无论我们怎么分，3个2个分，6个4个分，12个8个分，24个16个分，甚至更多更多的分，到最后都是一班分到了3份，二班分到了2份。根据3份、2份你能想到什么？

生：我发现一班分到的占橘子总数的3/5，二班分到的占橘子总数的2/5。

生：一班的橘子是二班橘子的1.5倍。

生：一班分到的橘子是二班的3/2,二班的是一班的2/3。

生：一班分到的橘子数量和橘子总数的比是3:5，二班分到的橘子数量和橘子总数的比是2:5.

师：刚才大家从3份、2份一下想到了真么多。想到了3/5、2/5、3/2、2/3、1.5、还有3:2……那我请你再来想一想：要想知道一班分到多少个？二班分到多少个？我们还要知道什么信息？

生：橘子的总数。

三、相互交流，乐享汇智，应用“比”。

1、从图上观察橘子的数量，估一估橘子有多少个。

师：那咱们一起去找找橘子的总数。图中可以看住橘子的总数吗？为什么不能？

生：只可以看到表面的，可是框里面还有。

师：请你来估一估，你觉得这筐橘子有多少个？

生：140个。

生：50个。

生：1000个。

生：75个。

生：200个。

生：80个。

2、如果有140个橘子按3:2分，每班各分到多少个？你准备怎么分呢？把你的想法写在练习本上。

师：大家刚才估的数量各不相同，有的多、有的少，可能是因为有的筐大、有的筐小，那究竟这一筐到底有多少个呢？课下你可以到水果店里去调查一下。假如这筐橘子有140个，按3:2分，每班各分到多少个？你会不会算？翻开练习本，把你的想法写在练习本上。

3、学生汇报，交流方法。

师：请师绍熙来给大家讲讲第一种方法。

生：一班分到3份，二班分到2份，一共是5份。140除以5等于一份是28个，一班的就是28乘3是84个，二班的是28乘2是56个。

师：听明白了吗？那郝莹来给大家讲讲第二种方法。

生：3加2等于5份是一共有5份，140乘3/5等于84是一班分到84个，140的2/5是56个，二班就分到了56个。

师：听明白了吗？你有什么想说的吗？

生：她的得数写错了。

师：刚才她说的是84，但是出现了笔下误写成了64，那以后无论干什么都要更细心、更细致。

师：那李博翰来讲讲你的方法。

生：我如果把一班分到的苹果设为X比较麻烦，一班和二班的比是3:2，一共是5份，我把一份设为X，一班就分到3X，二班就分到2X。3X+2X=140，解开这个方程一份等于28，一班的是3X28=84，二班的是2X28=56。

师：听明白了吗？刚才李博翰在讲的时候说到一句话，把一班设为X比较麻烦，那可以把一班设为X吗？

生：可以。

师：那把一班的设为X，二班的是多少？

生：2/3X。

师：那方程式什么？

生：X+2/3X=140。

师：那这个方程会解吗？那同样的道理，我们可以把二班设为X，那一班的是多少？

生：3/2X。

师：方程怎么列？

生：3/2X+X=140.

师：咱们一下又列出了好几个方程。只要善于思考，你会收获的非常非常多。刚才分橘子的时候，咱们还用到了表格的方法，大家都没有用这种方法，那接下来咱们就用表格的方法来分一分。按3:2你觉得第一次先给一班分多少？

生：3个。

师：二班呢？

生：2个。

师：分完几个了？

生：5个。

师：还有多少个？

生：135个。

师：那第二次怎么分？

生：一班30个，二班20个。

师：那又分了多少个？

生：50个。

师：接着往下分

生：一班分48个，二班32个。

师：还有几个？

生：还有5个。

师：还有5个怎么分？

生：一班3个，二班2个。

师:那咱们来看一看一班一共分到多少个？

生：84个

师：二班一共分到多少个？

生：56个。

4、验证并交流验证的方法。

师：仔细观察一下，无论我们用什么方法解决这个问题，解决完我们要干什么？

生：答。

师：都答了呀。还干什么？

生：检查。

师：那怎么检查呢？

生：把一班的数量加上二班的数量等于140就是正确的。然后再把一班的数量除以3，二班的数量除以2，最后……

师：刚才说的第一种方法非常好，出了这种方法谁还有其他的方法？

生：把一班的橘子除以3等于28是对的，二班的橘子除以2等于28也是对的。

师：刚才他们两说无论用什么方法算，最后用一班的数量加上二班的数量看看是不是140个，还可以用一班或二班的数量除以28看看是不是3或2，也就是验证一下每班最后所得到的数量是不是3:2。

5、今天我们解决了什么样问题呢？用了什么方法呢？

师：那你来想一想我们刚才解决了一个什么问题？

生：分橘子的问题。

师：我们都用了什么样的方法分了橘子？

生：方程、表格、算式。

师：咱们用了方程，表格，算式，还是不一样的算式，有关于整数的还有分数的。那这就是咱们今天学习的内容，今天咱们使用不同的方法，从多角度研究课和比相关的实际问题。

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四、激情闯关，乐凝升智，活用“比”。

（1）第一关：学校图书馆新进了450本图书，按4∶5分给四年级和五年级，应该怎么分？每个年级分到多少本？分一分，并记录分的过程。

师：那咱们来比赛吧？你有没有信心得第一？

师：今天咱们来比一比看谁能运用学到的方法闯的关最多、收获的智慧星最多，看看谁是最聪明最棒的。第一关，看明白了吗？

师：谁来说一说你分的方法？

生：4+5=9(份)，450是总数，乘4/9是四年级分到多少本，得到答案是200本。450乘5/9是五年级分到多少本，得到答案250本。

生：4+5=9(份)，450÷9=50（本）一份是50本，四年级分4份50×4=200（本），五年级分5份50×5=250（本）。

（2）第二关：一座水库按2∶3放养鲢鱼和鲤鱼，一共可以放养鱼苗25000尾。其中鲢鱼和鲤鱼的鱼苗各应放养多少尾？（你能用多种方法解决吗？）

师：接下来咱们来进行第二关，难度升级，你能用多种方法解决吗？（出示题目内容）

师：你能看懂他的方法吗？请他来给大家讲一讲。

生：第一种方法我把鲢鱼的数量设为x尾，鲤鱼就是3/2x尾。x+3/2x=25000，解开方程x=10000,鲢鱼有10000尾，鲤鱼3/2x=3/2×10000=15000，鲤鱼有15000尾。第二种方法3+2=5(份)，25000÷5=5000（尾），鲢鱼5000×2=10000（尾），鲤鱼5000×3=15000（尾）。第三种方法：按比算出总共是5份，鲢鱼占2/5，

2/5×25000=10000（尾），鲤鱼占3/5，3/5×25000=15000（尾）。

师：大家都用了很多的方法。今天的时间过得真快，还有同学有其他更多的方法，咱们把这些活动放在明天的课堂上。今天的数学作业是：用48厘米的铁丝围成一个长方形，这个长方形长和宽的比是5∶3，这个长方形长和宽各是多少？你还能提出什么问题，提出并尝试解决？并和爸爸妈妈交流你的方法。

【教学分析】  

学习内容：北师大版小学数学六年级上册第六单元《比的应用》第一课时74页、75页练一练第1、2题

目标确定的依据：

1、基于课程标准：

《数学课程标准（2011年版）》有关本课的要求是：在实际情境中理解比及按比例分配的问题，并能理解简单的实际问题。

2、教材分析：

   《比的应用》是北师大版小学数学六年级（上册）第六单元的内容，是在学生理解了比的意义、比的化简、比与分数的联系、以及掌握了用分数乘、除法解决简单问题的基础上，在实际问题中运用比的意义解决按一定的比进行分配的内容。

3、学情分析：

课前，对年级50名同学进行了问卷调查，显示：

调查项目	怎样分合理	按3:2分怎么分	结合实际按按3:2分怎么分
百分比	79%	58%	57.5%

    学生在二年级上册学习了除法的意义，了解了“平均分”，即按1：1分，学生在五年级上册学过分数的意义、分数与除法的关系，本单元学习了比的意义和比的化简。由于比与除法、分数有着密切的联系，所以，比的很多基础知识与除法、分数的相关知识具有明显的、可供利用的内在联系，这些对于学生学习比的应用奠定了良好的知识基础。比的知识在生活中有着很广泛的应用，学生也有一定的经验基础，因此，学习这部分内容时，应当充分利用原有的学习基础，引导学生联系相关的已学知识进行自主学习，鼓励独立思考，从而进一步体验解决问题策略的多样化。

学习目标：

1、在解决实际问题的过程中，进一步体会比的意义。

2、能运用比的意义解决有关按比分配的实际问题，提高解决问题的能力。

学习重难点：在解决实际问题的过程中，进一步体会比的意义，体验解决问题策略的多样化。

评价：

1、学生能读出图中的信息，并提出相应的数学问题。

2、在解决实际问题的过程中进一步的体会比的意义。

3、能运用比的意义解决有关按比分配的实际问题。体验解决问题策略的多样化。

【设计思路】

环节	教师活动	学生活动	设计意图	评价
创设情境，乐学启智，引入“比”	1、出示情境图，图中说了一件什么事？ 2、你能提出什么问题？怎么分合理？为什么？按3:2分，3、2是什么意思？ 3、教师小结：经过大家分析1班和2班人数不同，我们按人数比3:2分合理，也就是3份、2份、3份、2份的分。、	1、学生说出图中信息1班30人，2班20人，把这些橘子分给1班和2班 2、学生明确分橘子分得合理要根据1班和2班的人数比3:2去分，并明确用3:2分的含义。	培养学生读图能力，引导学生完整的获取数学信息，培养学生的问题意识。	学生能读出图中的信息，并提出相应的数学问题。
小组合作，乐究寻智，体会“比”	1、小组合作按3:2给1班和2班分橘子。你们想分分试试吗？根据活动建议尝试分橘子。 2、学生汇报，师根据学生汇报引导学生体会到分法很多，写不完。 3、观察这些数有什么特点？每次分得的两班的比都是3:2，既1班分到了3份，2班分到了2份。 4、出示卡片，根据3份、2份你还能想到什么？	1、学生按3:2尝试给1班和2班分橘子。 2、体会分法有很多种，说不完也写不完。 3、学生体会到每次分得的两班的比都是3:2，既1班分到了3份，2班分到了2份。 4、学生由3:2想到3份、2份、5份，2/3,3/2,1.5,3/5,2/5……	引导学生明确能化成3:2的比很多很多，从而体会比的意义。 扩展学生思维，引导学生由3:2想到3份、2份、5份，2/3,3/2,1.5,3/5,2/5……，进一步理解比的意义。	在解决实际问题的过程中进一步的体会比的意义。
相互交流，乐享汇智，应用“比”。	1、从图上观察橘子的数量，估一估橘子有多少个。 2、如果有140个橘子按3:2分，每班各分到多少个？你准备怎么分呢？把你的想法写在练习本上。 3、学生汇报，交流方法。 4、验证并交流验证的方法。 5、今天我们解决了什么样问题呢？用了什么方法呢？ 6、小结：大家真是太善于动脑筋，我们运用多种方法从不同的角度解决跟比有关的实际问题。	1、学生根据图上内容估计橘子的数量。 2、根据比的意义按要求分橘子写出自己的方法。 3、交流自己方法的同时听取其他同学的方法，体验解决问题方法的多样化。 4、学生交流检验的方法。 5、学生梳理归纳解决问题的方法。	培养学生的审图能力和估计能力。 充分利用原有的学习基础，引导学生联系相关的已学知识进行自主学习，鼓励独立思考，从而进一步体验解决问题策略的多样化。 培养学生总结归纳，逐步学会梳理知识的能力。	能运用比的意义解决有关按比分配的实际问题。体验解决问题策略的多样化。
激情闯关，乐凝升智，活用“比”。	1、第一关：学校图书馆新进了450本图书，按4∶5分给四年级和五年级，应该怎么分？每个年级分到多少本？分一分，并记录分的过程。 2、第二关：一座水库按2∶3放养鲢鱼和鲤鱼，一共可以放养鱼苗25000尾。其中鲢鱼和鲤鱼的鱼苗各应放养多少尾？（你能用多种方法解决吗？ 3、第三关：一种什锦糖是由奶糖、水果糖和酥糖按2∶4∶3混合成的，要配制这样的什锦糖450kg，三种糖各需多少千克？	1、学生用学到的方法解决实际问题。 2、学生用多种方法解决实际问题。 3、学生尝试拓展练习。	引导学生用学习到的方法灵活解决问题。 鼓励学生思考，尝试多种方法解决问题。 加大难度，鼓励学生大胆、灵活地解决问题。	灵活运用比的意义解决有关按比分配的实际问题。尝试多种方法解决实际问题。

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【教学反思】

    《比的应用》是北师大版小学数学六年级（上册）第六单元的内容，是在学生理解了比的意义、比的化简、比与分数的联系、以及掌握了用分数乘、除法解决简单问题的基础上，在实际问题中运用比的意义解决按一定的比进行分配的内容。本课我紧紧围绕给两个班的小朋友分橘子的情境展开三个问题的讨论：1、你能提出什么问题？怎样分合理？从中培养学生的问题意识，并从问题中逐步使学生明白分的合理性。2、这筐橘子按 3:2应该怎样分？分一分，并与同伴交流分的过程和结果。在分的过程中让学生体会比的意义，进一步的理解比的意义。3、如果有140个橘子，按3:2又应该怎样分？与同伴交流你的方法。充分学生利用原有的学习基础，引导学生联系相关的已学知识进行自主学习，鼓励独立思考，从而进一步体验解决问题策略的多样化。通过层层递进的方式让学生在不知不觉中把分散的难点进行理解，深化和灵活的实际运用。开放的习题为学生提供了思维发展的空间，让不同的学生在本节课上得到不同的提高和发展。   

【名师点评】

   在教学中教师从学生感兴趣的内容入手，激起学生原有的知识经验和认知水平，让学生发现规律，获得“按比例分配”的感知。组织学生操作、讨论，引导学生动脑想、动口说，调动学生积极参与，促进学生思维系统性的发展。鼓励学生对同一个问题积极寻求多种不同的解法，拓展学生思维，引导学生学会多角度分析问题，从而在解决问题的过程中培养学生的探究能力和创新精神。真正体现了人人学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。



五、专题探讨

          巧妙处理课本情境，引导学生“主动问”

    课改以来，情境图在课本中占了大部分的篇幅，“创设情境”成了我们数学课堂上一道常有的风景。而新《数学课程标准》把积极思考作为学生学习数学的重要方式。怎样才能让学生积极思考呢？问题是打开学生思维大门的钥匙。如果在“课始”巧妙处理课本情境，引导学生“主动问”呢？带着思考，我在《比的应用》一课情境图的处理上进行了相关的尝试与实践。

    一开始和同组的老师在一起集体备课--上课—交流，感觉学生的知识目标能很好的达成，但是学生问题意识等能力目标的培养有所欠缺。“我们能不能让学生成为学习的主人，让学生自己发现并提出问题？让学生解决他们想解决的问题？……”带着这些思考我对课本情境图的运用进行了这样的处理。

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课本情境图：

file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/ksohtml/wpsF014.tmp.png

处理前后对比：

处理前师生的行为		处理后师生的行为
教 师	学  生	教 师	学  生
行为1：图上告诉我们什么信息？ 行为2：你会怎么分？	行为1:一班有30人，2班有20人，把这些橘子分给1班和2班。 行为2：学生在本子上开始分。	行为1：图中讲了一件什么事？ 行为2：你想提出什么问题? 行为3：两个班人数不相等，你会怎么分？	行为1： 有一筐橘子，要分给1班和2班。1班30人，2班20人。 行为2: ① 1班能分多少个？ ② 2班能分多少个？ ③ 两个班人数不相等，怎么分？ ④ 这筐橘子有多少个？ 行为3：学生在本子上开始分。

由此可见，经过多次的磨课后打破常规教学模式，把：“图中告诉了我们什么信息？”改为“图中讲了一件什么事？”更有利于学生读取并表述图中的全部信息，（包括有一筐橘子）。 接着再问“你想提出什么问题?” 这样，尊重学生，从学生的需要出发，使学生由“被动”变为了“主动”，打开了学生的思维，唤醒了学生的问题欲望，从而培养了学生“主动”提出问题的意识。最后再让学生探究“你会怎么分？” 学生的探究欲望一下子被调动起来了。

    一个教师的思考路径有多长、对于学生的学习路径有多了解，学生也许就能走多远。教师的问题意识决定了学生的问题意识，教师把问题想的长远了，学生的各方面就会向着长远发展。因此，在以后的教学实践中我还要继续引导学生“学会问”。怎样让学生问得与众不同，怎样让学生问得有思考价值，怎样让学生问得引起大家的共鸣。你是怎样想到这个问题的，你能不能把你们小组的问题整理一下，怎样让学生把一个问题表达的简明扼要？……总之，不仅让学生具有发现、提出问题的胆略，而且还要具有发现、提出问题的才智。在以后的教学中我会继续边实践边思考，边思考边改进，在研究中成长，在反思中前行。