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标题:
约 数 和 倍 数
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作者:
行云流水
时间:
2008-4-1 20:40
标题:
约 数 和 倍 数
一、教学内容：
原通用教材六年制小学数学第十册第
32
—
33
页例
1
、例
2
，练习九第
4
—
7
题。
二、教学目的：
使学生理解约数和倍数的意义，初步学会寻找一个数的约数和倍数的方法。
三、教学过程：
师：
同学们，我们已经学习了自然数、整数和整除的知识。现在老师想了解一下，你们对这些知识学得怎么样。请同学们想一想：什么样的数叫做自然数？
生：
用来表示物体个数的
1
、
2
、
3
、
4
……等都叫做自然数。
师：
很好。那么，有没有最小的自然数呢？
生：
有最小的自然数。
师：
最小的自然数是几？
生：
最小的自然数是
1
。
师：
有没有最大的自然数？
生：
没有。
师：
为什么？
生：
因为自然数是无限的。
师：
因为自然数的个数是无限的，所以就没有最大的自然数。那么，请大家想一想：零是不是自然数？
生：
零不是自然数。零是整数。
师：
为什么零不是自然数？
生：
因为零不能够表示物体的个数。
师：
零不是通过数物体个数得来的，所以零不是自然数。
[
出示小黑板
]
大家来看看，小黑板上的两句话对不对？先看第一句话。
生：
“零和自然数都是整数”这句话是对的。
师：
再看第二句。
生：
“整数就是零和自然数”这句话是错的。因为除了零和自然数以外，还有我们没有学过的整数。
师：
对！除了零和自然数以外，还有其他的整数，不过现在我们还没有学到。现在请大家想想：什么叫做整除？
生：
数
a
除以数
b
，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，数
a
能被数
b
整除。
师：
这里所说的数
a
和数
b
，一般指的是什么数？
生：
一般指的是自然数。
师：
好。
[
出示小黑板
]
现在来看看这些算式里哪些是属于整除？
生：
“
15
÷
3=5
”是整除，“
24
÷
2=12
”是整除，“
8
÷
4=2
”是整除。
师：
那么其他几个算式是不是属于整除？
[
指“
14
÷
3
＝
4
……
2
”
]
这是不是整除？为什么？
生：
不是。因为它有余数。
师：
[
指“
25
÷
2=12.5
”
]
这个算式呢？
生：
不是。因为它的商是小数。
师：
[
指“
0.8
÷
0.4=2
”
]
这个算式呢？
生：
也不是。因为它的被除数和除数都是小数。
师：
对。只有被除数、除数和商都是整数，而且没有余数，才是整除。大家对这方面的知识学得很好。今天，我们要在这个基础上继续学习约数和倍数。
[
板书“约数和倍数”
]
通过这节课的学习，要求每个同学都要弄清楚什么叫做约数，什么叫做倍数，并且要学会找一个数的约数和倍数的方法。
师：
[
指着小黑板上“
15
÷
3=5
”的算式
]
我们知道，
15
能被
3
整除。我们就说，
15
是
3
的倍数，
3
是
15
的约数。请同学们跟老师一起说。
师：
[
合
]15
是
3
的倍数，
3
是
15
的约数。
生：
师：
我们还可以这样说：因为
15
能被
3
整除，所以
15
是
3
的倍数，
3
是
15
的约数。一齐说一遍。
师：
生：
[
合
]
因为
15
能被
3
整除，所以
15
是
3
的倍数，
3
是
15
的约数。
师：
现在大家再看第二个能够整除的算式。
[
指“
24
÷
2=12
”
]
在这里，哪个数是哪个数的倍数？哪个数是哪个数的约数？
生：
24
是
2
的倍数，
2
是
24
的约数。
师：
[
指“
8
÷
4=2
”
]
在这个算式里呢？
生：
8
是
4
的倍数，
4
是
8
的约数。
师：
我们再来看这个算式。
[
指“
0.8
÷
0.4=2
”
]
能不能说
0.8
是
0.4
的倍数，
0.4
是
0.8
的约数呢？
生：
不能。因为除数和被除数都是小数。
师：
也就是说，
0.8
÷
0.4=2
这个算式不是整除，所以不能说
0.8
是
0.4
的倍数或
0.4
是
0.8
的约数。我们说一个数是另一个数的倍数或约数时，有一个前提，那就是要能够整除。现在你们能不能自己举出一些例子来说明倍数和约数？生
(1)
：
6
÷
3=2
。
6
是
3
的倍数，
2
是
6
的……
3
是
6
的约数。
师：
6
是
3
的倍数，
3
是
6
的约数。他刚才还想说
2
是
6
的约数。大家想一想，
2
是不是
6
的约数？
生：
是的。
师：
因为
6
÷
2=3
，所以
2
也是
6
的约数。现在请哪个同学再来举几个例子。
生
(2)
：
60
÷
5=12
，
60
是
5
的倍数，
5
是
60
的约数。
生
(3)
：
24
÷
8=3
，
24
是
8
的倍数，
8
是
24
的约数。
师：
现在请大家想想：什么叫做约数？什么叫做倍数？生
(1)
：在整除的情况下，被除数是除数的倍数，除数是被除数的约数。生
(2)
：
a
能被
b
整除，
a
是
b
的倍数，
b
是
a
的约数。
师：
现在请大家把课本翻到第
32
页，看看书上是怎样说的，然后再把它们读一遍。
生：
[
齐
]
如果数
a
能被数
b
整除，
a
就叫做
b
的倍数，
b
就叫做
a
的约数。
师：
[
出示小黑板
]
请看下面的说法对不对。第一句是“
21
是
7
的倍数，
7
是
21
的约数。”这句话对不对？
生：
[
齐
]
对。
师：
再看第二句：“
6
是
6
的倍数，
6
也是
6
的约数。”这句话对不对。
生：
这句话是对的。
师：
为什么？
生：
因为
6
÷
6=1
，
6
能被
6
整除，所以
6
是
6
的倍数，
6
也是
6
的约数。
师：
再看这一句：“
20
是倍数，
10
是约数。”这种说法对不对？
生：
不对。因为它只告诉我们：“
20
是倍数，
10
是约数。”没有告诉我们
20
是哪个数的倍数，
10
是哪个数的约数。
师：
是的。光说一个数是倍数或一个数是约数，这种说法是很不清楚的。
20
是
4
的倍数，
20
是
40
的约数。所以今后在说约数或倍数的时候，一定要说清楚哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的约数。
[
继续出示小黑板，让学生判断各组数中，哪个数是另一个数的约数，哪个数是另一个数的倍数
]
第一组：
72
和
8
。
生：
72
是
8
的倍数，
8
是
72
的约数。
师：
第二组：
140
和
20
。
生：
140
是
20
的倍数，
20
是
140
的约数。
师：
第三组：
35
和
105
。
生：
105
是
35
的倍数，
35
是
105
的约数。
师：
第四组：
50
和
1000
。
生：
1000
是
50
的倍数，
50
是
1000
的约数。
师：
说得很好。现在我们要学习寻找约数的方法。比如，要找
15
的约数有哪几个，
24
的约数有哪几个。
[
出示例
1]
要找
15
的约数有哪几个，可以这样想：
15
分别能被哪些数整除？可以从最小的数找起。你们找一找。
生
(1)
：
15
能被
1
整除。
[
教师板书：
1]
生
(2)
：
15
能被
3
整除。
[
教师板书：
3]
生
(3)
：
15
能被
5
整除。
[
教师板书：
5]
生
(4)
：
15
能被
15
整除。
[
教师板书：
15]
师：
15
除了能被这
4
个数整除以外，还能不能被其他什么数整除？
生：
[
齐
]
没有了。
师：
这就是说，
15
只能被
1
、
3
、
5
、
15
这四个数整除。那我们就说，
15
的约数有
1
、
3
、
5
、
15
四个。
[
在
1
、
3
、
5
、
15
前板书：“
15
的约数有：”
]
会找一个数的约数了吗？用这种方法找一找，
24
的约数有哪几个？从小到大开始去找。
生
(1)
：
24
的约数有
1
、
2
、
3
、
4
、
6
、
8
、
24
。
[
教师板书：
l
、
2
、
3
、
4
、
6
、
8
、
24]
生
(2)
：
还有
12
。
[
教师在“
8
”和“
24
”之间板书“
12
”
]
师：
刚才我们用除的方法来找
15
和
24
的约数。用这种方法去找约数，比较慢。如果一个数的约数比较多的话，就容易把其中的某些约数漏掉，像刚才那位同学找
24
的约数就漏掉了
12
。
请同学们想想，能不能找出一种既快又不容易漏掉的好方法？
生：
可以一对一对地找。例如用
24
除以
1
，就得到
24
。
师：
这就是说，在整除的情况下，除数和商都是被除数的约数，这实际上就是用乘的方法去找。比如
15
，想几和几相乘得
15
，
1
×
15=15
，
3
×
5=15
，就得到
15
的约数有
1
、
15
、
3
、
5
。
[
在
15
的约数旁边板书：
]
下面请同学们用这种方法找
100
的约数有哪几个。
生
(1)
：
1
和
100
，
2
和
50
，
4
和
25
，
5
和
20
。
生
(2)
：
还有
10
和
10
。
[
教师先后板书：
]
师：
最后找的两个因数都是
10
，我们写约数时只写一个
10
。
师：
请同学们再看一看，这些数的约数有没有全部找出来？
生：
[
齐
]
全部找出来了。
师：
从刚才找约数的过程中，你发现了什么？
[
略等片刻
]
最小的约数都是几？最大的约数都是什么样的数？
生：
最小的约数都是
1
。
15
的约数中最大的是
15
，
24
的约数中最大的是
24
，
100
的约数中最大的是
100
。
师：
这就是说，在一个数的所有约数中，最小的约数是
1
，最大的约数是它的本身。因为一个数的约数不会小于
1
，也不会大于它的本身，所以一个数的约数的个数是有限的。
[
出示小黑板
]
下面请同学们看一看这些说法对不对？应该怎样说才对？
师：
[
读题
]42
的约数有
2
、
3
、
6
、
7
、
14
、
21
。
生：
错的。
42
的约数还有
1
和
42
。
师：
这句话错就错在少了
42
最小的约数
1
和
42
最大的约数
42
。我们在寻找一个数的约数的时候，很容易会把最小的约数
1
和最大的约数——即这个数的本身给忘了。请大家要注意。再看下面一句：“
25
的约数有
1
、
5
、
5
、
25
。”这句话对不对？
生：
这句话也是错的。应该说，
25
的约数有
1
、
5
、
25
。
师：
这句话里多了一个
5
，就重复了。下面请哪个同学说说，
10
的约数有哪几个？
生：
10
的约数有
1
、
2
、
5
、
10
。
师：
13
的约数呢？
生：
13
的约数有
1
和
13
。
师：
36
的约数呢？
生
(1)
：
36
的约数有
1
、
2
、
3
、
6
、
8
、
12
、
24
、
36
。
师：
他说得对不对？
生
(2)
：
他说错了。应该是，
36
的约数有
1
、
36
；
2
、
18
；
3
、
12
；
4
、
9
；
6
。
师：
对。一对一对找一个数的约数就不容易发生错误。现在再来学习寻找倍数的方法。
[
出示例
2]2
的倍数有哪些？
3
的倍数有哪些？要找一个数的倍数，可以这样来想：这个数的
1
倍是多少，
2
倍是多少，
3
信是多少，依此类推。现在大家先来找
2
的倍数。
生：
有
2
、
4
、
6
、
8
、
10
，等等。
[
教师板书：
2
、
4
、
6
、
8
、
10]
师：
还有多少？能把它们全部写下来吗？
生：
还有很多很多，不能全部写下来。
师：
那我们就在后面用省略号表示。
[
在“
10
”的后面板书：……
]
读的时候，这里的省略号可以读成“等等”。现在再来看
3
的倍数。
生：
3
的倍数有
3
、
6
、
9
、
12
，等等。
[
教师板书：
3
、
6
、
9
、
12
、……
]
师：
为什么前面找约数的时候，最后用句号表示。而在这里找倍数时，后面用省略号来表示？
生：
因为
15
、
24
和
100
的约数全找出来了，而
2
和
3
的倍数还没有写完。
师：
一个数的约数的个数是有限的，全都找出来了，最后就用句号表示。而一个数的倍数的个数是无限的，不可能全部找出来，所以后面用省略号来表示。现在来看看，一个数的最小的倍数是什么样的数？
生：
一个数最小的倍数是它本身。
师：
有没有最大的倍数呢？
生：
没有。
师：
为什么？
生：
因为自然数是无限的。
师：
因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数的个数也是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
[
出示小黑板
]
看看下面的说法对不对？把不对的地方改过来。先看第一句：
5
的倍数有
10
、
15
、
20
、
25
，等等。
生：
倍数里少个
5
。应该说，
5
的倍数有
5
、
10
、
15
、
20
、
25
，等等。
师：
对。再看下面一句：
6
的倍数有
6
、
12
、
24
、
48
，等等。
生：
这一句也错的。在
12
和
24
中间，少了个
18
。
师：
对。
48
后面用了省略号，表示
48
后面还有很多
6
的倍数没写出来；
48
前面没有省略号，在
48
前面
6
的倍数就要一个不漏地按顺序写出来。再看第三句：
7
的倍数有
7
、
14
、
21
、
28
。
生：
错的。在
28
后面不应该用句号，应该用省略号。
师：
请看第四句：
10
以内
3
的倍数有
3
、
6
、
9
。
生：
这一句是对的。
师：
这里用了句号也是对的吗？为什么？
生：
是对的，因为
10
以内
3
的倍数到
9
就为止了。
师：
很好。因为题目限制了是
10
以内的。
10
以内的
3
的倍数只有
3
个，所以在最后用了句号。现在请同学们分别说出
10
、
13
、
36
的倍数有哪些，可以按从小到大的顺序先说出
5
个，后面再用“等等”表示。
生
(1)
：
10
的倍数有
10
、
20
、
30
、
40
、
50
，等等。
生
(2)
：
13
的倍数有
13
、
26
、
39
、
52
、
65
，等等。
生
(3)
：
36
的倍数有
36
、
72
、
108
、
144
、
180
，等等。
师：
刚才我们找出一个数的约数和倍数，都是用文字叙述表达出来的。除了用文字叙述表达外，还可以用图来表示。现在请大家把课本翻到第
32
页，看例
1
、例
2
下面的图，这就是用图来表示一个数的约数或倍数的。这种方法是，先画一个圈，圈的上面注明是哪个数的约数或倍数，然后把这个数的约数或倍数填在这个圈里。填写时，数和数之间要空开一点，不能紧挨在一起。在表示倍数的图里，还有许多倍数不可能全写出来，就在最后用省略号表示。现在请把课本翻到第
33
页，请大家用刚才讲的方法，把
18
的约数、
20
以内
4
的倍数和
15
的倍数，分别填在第
6
题的三个圈里。
[
指名三人分别填在小黑板上，其他学生填在书上。填好后，出示小黑板进行评讲。然后引导学生阅读课文，齐读第
32
页的第一节和例
1
、例
2
后面的结论
]
师：
大家还有什么问题吗？如果没有问题了，有两道题请大家回答一下。先看课本第
34
页的第
7
题。说一说，在下面的数中，哪些是
60
的约数，哪些是
6
的倍数？
生：
[
看课本回答
]3
、
4
、
12
、
60
是
60
的约数；
12
、
24
、
60
是
6
的倍数。
师：
[
出示小黑板
]
在下面的几个数中，哪个数是哪个数的约数？哪个数是哪个数的倍数？
生
(1)
：
4
是
4
、
8
、
12
、
24
的约数。
生
(2)
：
4
还是
36
、
60
的约数。
生
(3)
：
36
是
4
、
6
、
12
的倍数。
生
(4)
：
36
也是
36
的倍数。
生
(5)
：
12
是
4
、
6
、
12
的倍数，
12
是
12
、
24
、
36
、
60
的约数。
……
师：
通过这堂课的学习，我们懂得了什么？
生
(1)
：
我懂得了什么叫做约数，什么叫做倍数。
生
(2)
：
我懂得了一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是
1
，最大的约数是它本身。
生
(3)
：
我还懂得了一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
生
(4)
：
我还学会了找一个数的约数和倍数的方法。
师：
好。回去以后把这部分课文再看看，并把第
34
页的第
8
题做在自己的本子上。
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]下面请同学们用这种方法找100的约数有哪几个。
]