比
比例
各部分名称
0.9 ∶ 0.6 ＝ 1.5
前项 后项 比值
基本性质
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。
课前准备
教师准备 多媒体课件
教学过程
⊙谈话导入
师：谁能用比的知识说一说我们班男女同学的人数情况？
(指名汇报)
师：今天我们就一起来整理和复习比和比例的有关知识。
⊙回顾与整理
1．(1)举例说一说什么是比，什么是比例，什么是比例尺以及它们的应用。
预设
生1：两个数相除又叫作两个数的比，如5÷2，可以写成5∶2。
生2：表示两个比相等的式子叫作比例，如8∶4＝24∶12。
生3：图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，如一幅地图的比例尺是。比例尺可分为数值比例尺和线段比例尺。
生4：配制农药会应用到比的知识；地图上一般都有比例尺。
……
(2)说一说比与比例有什么区别。
| 比 | 比例 |
各部分名称 | 0.9 ∶ 0.6 ＝ 1.5 前项 后项 比值 |
|
基本性质 | 比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。 | 在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。 |
(3)出示教材83页“回顾与交流”2题。
学生独立完成，思考比、分数、除法之间的关系，并全班交流。
预设
生1：除法算式中的被除数相当于分数的分子，相当于比的前项；除法算式中的除数相当于分数的分母，相当于比的后项；除号相当于分数的分数线，相当于比的比号。
生2：除法算式的商相当于分数的分数值，相当于比的比值。
强调：因为0不能作除数，所以所有分数的分母及比的后项都不能为0。
(师引导学生整理下表)
| 区别(意义) | 联系(对应部分) | |||
比(a∶b) | 表示数量间的倍比关系。 | 前项 | ∶(比号) | 后项 | 比值 |
分数() | 表示一个数。 | 分子 | —(分数线) | 分母 | 分数值 |
除法a÷b | 表示一种运算。 | 被除数 | ÷(除号) | 除数 | 商 |
(4)先想一想比的基本性质是什么，再应用比的基本性质化简下面的比。
30∶120 1∶ ∶0.1 ∶10
2．5∶6 0.5∶3.2 25∶ ∶
先思考比的基本性质，然后交流，最后独立完成，集体订正。
(5)复习按比例分配问题。
①什么是按比例分配？
(把一个数量按照一定的比进行分配，这种分配方法叫作按比例分配)
②按比例分配应用题有什么特点？
预设
生1：用比或者连比反映各部分数量占总数量的份数。
生2：直接给出各部分数量占总数量的份数。
③按比例分配应用题的一般解题步骤是什么？
预设
生：找出或求出要分配的总数量；根据已知的比求总份数；按照要分配的各部分数量占总数量的几分之几，分别求出每一部分数量是多少。
(6)完成教材83页3题。
学生独立完成，然后交流订正，并说一说解决问题时都用到了哪些知识。
2．(1)说一说。
师：我们学习了正比例和反比例的知识，请你先回忆一下，然后说一说你对这部分内容的了解。
预设
生1：我知道了什么是变化的量。
生2：我知道了什么是正比例，什么是反比例。
师：举例说明什么是变化的量。
预设
生：上学时，我走的路程的多少是随着时间的增加而增加的。路程和时间就是变化的量。
师：如果你走的速度是一定的，那么你走的路程和时间有什么关系？
生：成正比例关系。
师：你能说明理由吗？
生：我走的速度不变，走的路程随着时间的增加而增加，所以路程和时间成正比例关系。
(2)议一议。
正比例和反比例在生活中有着广泛的应用，请你想一想生活中有哪些是成正比例的量？有哪些是成反比例的量？(四人一组，互相举例说一说，并说明自己举的例子为什么是成正比例的量或者成反比例的量)
(3)全班交流。
师：每组举成正、反比例关系的实例各一个，其他小组注意不要重复，并把本组需要交流的问题展示出来。
预设
生1：买苹果时，苹果的单价一定，那么花费的总钱数和买的数量成正比例关系。如果花费的总钱数一定，苹果越便宜，买的数量就越多，苹果越贵，买的数量就越少，这时苹果的单价和数量成反比例关系。
生2：一个人走一段路程，走的速度越快，需要的时间就越短，走的速度越慢，需要的时间就越长，这时，速度和时间成反比例关系。
生3：圆的周长总是它直径的π倍，π的值是一定的，所以圆的周长和它的直径成正比例关系。
生4：给一个房间铺地砖，需要地砖的块数和地砖的面积成反比例关系，地砖的面积越大，需要的块数越少，地砖的面积越小，需要的块数越多。
……
3．课件出示：一辆汽车在高速公路上行驶，速度保持在100千米/时。说一说汽车行驶的路程随时间变化的情况，并用多种方式表示这两个量之间的关系。
(1)提问1：这辆汽车行驶时，哪些量发生变化？哪些量不发生变化？
预设
生：汽车行驶的速度不发生变化；汽车行驶的路程随时间的增加而增加，汽车行驶的路程和行驶的时间发生变化。这时，汽车行驶的路程和行驶的时间成正比例关系。
(2)提问2：你能用哪些方式来表示这两个量之间的关系？
预设
生1：可以用列表的方式。
生2：可以用式子来表示这两个量之间的关系。
生3：也可以用画图的方式。
(3)学生活动：学生独立解决问题。
(4)学生在小组内交流，将自己的疑问记录下来。教师巡视，并对有困难的学生和小组进行个别指导。
(5)全班交流。
①提问1：表格中汽车行驶2时的路程是200千米，对应的是图中的哪个点？行驶3时的路程是多少？对应的是图中的哪个点？……(教师提问，指名汇报，集体寻找图中的对应点)
②提问2：每增加1时，路程的变化在表格中如何看出？在图中如何看出？(学生指着表格和图进行说明)
③提问3：用式子怎样把这两个量之间的关系表示出来？(指名汇报)
④提问4：每增加1时，路程的变化在式子中是如何看出的？请对应表格和图进行说明。(指名汇报)
(6)判断路程与时间是否成正比例关系，并说一说你是怎么想的。(生自由交流)
4．找出正比例和反比例的区别与联系。
通过回顾与交流，你能找出成正比例的量和成反比例的量有什么相同点和不同点吗？先在小组内交流，然后全班交流。
课件出示下表，引导学生思考正比例、反比例的区别与联系。
| 联系 | 区别 | |
变化规律 | 关系式 | ||
正比例 | 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化。 | 两个量中的比值(商)一定。 | ＝k(一定) |
反比例 | 两个量的积一定。 | xy＝k(一定) | |
预设
相同点：
生1：都有两个相关联的量，这两个量中一个量随着另一个量的变化而变化。
不同点：
生2：成正比例的两个量，一个量随着另一个量的增加(减少)而增加(减少)；成反比例的两个量，一个量随着另一个量的增加(减少)而减少(增加)。
生3：成正比例的两个量的比值(商)是一定的，成反比例的两个量的积是一定的。
……
5．应用正、反比例知识解决问题。
提问：应用正、反比例知识解决问题的关键和步骤是什么？
(1)关键：正确判断成正比例还是成反比例是解决比例应用题的关键。
(2)步骤：
①分析数量关系，判断成什么比例。
②找等量关系。如果成正比例，按“等比”找等量关系；如果成反比例，按“等积”找等量关系。
③列比例式。设未知数为x，并带入等量关系式，得到正比例关系式或反比例关系式。
④解比例。
⑤检验并写出答语。
⊙典型例题解析
1．课件出示例1(教材84页3题)。
分析 本题考查的是学生对比例尺知识的掌握情况。
(1)先动手量出教材84页艺术小学平面图的长和宽，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出实际的长和宽，再用长方形的面积计算公式求出艺术小学的实际占地面积。通过测量，图上长为14 cm，图上宽为5 cm，那么实际长为14÷＝28000(cm)＝280(m)，实际宽为5÷＝10000(cm)＝100(m)，实际占地面积是280×100＝28000(m2)。
(2)第一问：先测量出操场的图上边长，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出操场的实际边长，再用正方形的周长计算公式求操场的实际周长。通过测量，操场的图上边长为3 cm，那么实际边长为3÷＝6000(cm)＝60(m)，绕操场跑一圈大约是60×4＝240(m)。
第二问：先测量出花坛的图上半径，再求出实际半径，用圆的面积计算公式求花坛的实际占地面积。通过测量，花坛的图上半径为1 cm，那么实际半径为1÷＝2000(cm)＝20(m)，花坛的占地面积＝20×20×3.14＝1256(m2)。
(3)先求出教学楼的实际占地面积，再运用“教学楼的实际占地面积÷学校的实际占地面积”或“教学楼的图上面积÷学校的图上面积”解决问题，教学楼的实际占地面积是4200 m2，4200÷28000＝15%。
解答 (1)14 5 28000
(2)240 1256 (3)4200 15
2．课件出示例2。
一辆汽车从甲城开往乙城，3时行驶180千米，用这样的速度再行驶2.4时到达乙城。甲、乙两城相距多少千米？
分析 根据题意可以知道汽车行驶的速度一定，即＝速度(一定)。所以汽车行驶的路程和所用的时间成正比例。汽车从甲城开往乙城用了(3＋2.4)时。
解答 解：设甲、乙两城相距x千米。
＝
x＝324
答：甲、乙两城相距324千米。
3．课件出示例3。
硬糖每千克6.8元，软糖每千克11.6元，现要求把硬糖和软糖放在一起制成混合糖，混合糖的价格为每千克8.6元。求硬糖和软糖应取怎样的质量比才合适。
分析 对硬糖来说，混合后每千克提高了8.6－6.8＝1.8(元)，对软糖来说，混合后降低了11.6－8.6＝3(元)，而提高的总价钱应等于降低的总价钱，所以软糖的质量×3＝硬糖的质量×1.8。
解答 8.6－6.8＝1.8(元) 11.6－8.6＝3(元)
硬糖质量∶软糖质量＝3∶1.8＝5∶3
答：硬糖和软糖应取5∶3的质量比才合适。
⊙探究活动
1．课件出示探究题。
甲数的等于乙数的，甲、乙两数的比是( )。
2．提出探究要求。
小组合作，探究解题思路和解题过程，看哪组解法最多。
3．交流、汇报。(小组代表发言，其他人补充)
预设
1组：根据题意，可列出下面的等式：
甲数×＝乙数×
方法一 根据比例的基本性质解答。
由两个外项的积等于两个内项的积，可以得到甲数∶乙数＝∶＝15∶16。
方法二 用设数法解答。
设乙数为16，则甲数×＝16×，甲数＝12÷＝15，所以甲数∶乙数＝15∶16。
2组：方法一 根据乘法各部分之间的关系解答。
把乙数×看作一个整体，它是甲数×的积，则甲数＝乙数×÷＝乙数××＝乙数×，也就是甲数是乙数的，所以甲数∶乙数＝15∶16。
方法二 根据倒数知识解答。
假设等号左右两边的结果都为1，则甲数×＝1，甲数＝，乙数×＝1，乙数＝，所以甲数∶乙数＝∶＝15∶16。
4．小结。
解答此类题可以灵活运用比例的基本性质、设数法等。
⊙课堂总结
通过本节课的学习，你有什么收获？
⊙布置作业
教材84页1、4、5题。
板书设计
正比例与反比例
比：两个数相除又叫作两个数的比。
比例：表示两个比相等的式子叫作比例。
比例尺：图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。比例尺可分为数值比例尺和线段比例尺。
正比例、反比例：
相同点：都有两个相关联的量，这两个量中一个量随着另一个量的变化而变化。
不同点：
(1)成正比例的两个量，一个量随着另一个量的增加(减少)而增加(减少)；成反比例的两个量，一个量随着另一个量的增加(减少)而减少(增加)。
(2)成正比例的两个量的比值(商)是一定的，成反比例的两个量的积是一定的。
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