小同学解答复杂应用题的困难原因分析

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应用题历来是小学数学教学的难点，但也是发展同学思维能力的重要工具。对于小同学解答应用题的困难 原因分析，既有利于改进教学方法，提高教学质量，也有利于对差生的学习障碍进行诊断，提高他们的思维技巧。
对于造成一步或两步计算应用题困难的原因，国内早有研究。研究者认为，解一步应用题困难的原因主要 是同学对应用题的结构、类型以和对应用题中时间、空间的叙述不能正确理解；解两步应用题困难的原因主要 是没有学好一步应用题和没有掌握好分析应用题的方法。
我们针对三步以下应用题的困难原因进行了研究。在两所小学的六年级各选取2名最优秀的同学和2名中等 偏差同学，采取个别测试的方法，让他们每人分析6个应用题并列出算式（题目和后），要求他们解题时自言自 语“出声思维”，以研究他们的思维过程。每个题限考虑8分钟。
结果列于下表。
表1 各题的有关特征和正确人数 题类型 分数应用题 行程应用题 归一应用题 题号 1 2 3 4 5 6 步骤数 3 4 3 5 3 5 优生（4人） 3 4 0 1 4 4 中下生（4人）1 0 0 0 2 3 合计（8人） 4 4 0 1 6 7
显然，总的来说，优生的成果明显高于中下生，但差异最明显的是中等难度的题（第1、2、5题），在最容 易的题目上（第6题）正确率都很高，最难问题上（第3、4题）正确率都极低，差别均不显著。这可能是因为优 生和中下生都具备了一定的解决应用题的技巧，在解决较复杂的问题上，优生显然具备了更高的解题技巧，但 即使是优生，在解决第3、第4这样的题目时，也会显得一筹莫展，正确率极低。这充沛暴露了应试教育在思维 技能培养上的缺陷。
小同学解答复杂应用题困难的主要原因是什么？我们原先设想，解答步骤越多，难度越大，但本实验的结 果证明，无论对于优生和差生来说，第1、2、3、5题（均为三步计算）的难度并不小于第2、4、6题（均为四至 五步），步骤多少不是造成复杂应用题困难的主要原因。那么主要原因在哪里？我们请有经验的数学教师（数 学教研组长、副校长）就这6个题的“典型程度”打分（每个题的典型程度是指该题在同学教材例题和习题中出 现的可能性大小），结果标明，典型程度和困难程度（正确率）呈高度相关（没有经验的教师“典型程度”评 分与困难程度相关系数偏低）。或许这能说明复杂应用题困难的最主要原因：小同学习惯于在解题时生搬硬套 教材中的例题和习题，缺乏发明性的思维技巧，因此出现对“不典型”的应用题的束手无策现象。
那么，对于典型程度不高的应用题，小同学感到困难的原因是什么呢？我们详细分析了同学解题过程中的 “出声思维”的记录，发现至少存在以下四个原因：
一、基本概念并未真正形成或熟练程度不够，所以容易错误
地判断题的类型
这一问题主要表示在中下生身上，下面是一位中下生解第4题的局部思维过程：
……用速度乘以时间，时间怎么求呢？
……不对，把整条水渠看成单位1
可以把甲队每天修的米数看成1/35，把乙队修的看成1/38，……知道怎么做了，用35与38的和去除以1/35 与1/38的和……
该生起初的思路是对的，可以把“每天挖35米”看成是速度，但由于“总长”不知道，因此无法求“时间 ”，所以该生很快否定了自身的正确思路，开始设想把整条水渠看成单位1，接下来又错误地把甲队每天修的 米数看成1/35。显然，该生头脑中的分数概念关未真正形成，至少分数概念并未达到熟练程度。1/35的真正含 义是“每米占全天工作量的1/35”，或者进一步理解为挖1米所需时间是全天时间的1/35，而不能理解成为“每 天能完成总工作量的1/35”。由于分数概念未牢固掌握，所以错误地把这个题看成是“工程问题”。
格式塔心理学家韦特海默尔(M.Weitheimer)早在1959年就发现，同学只要照搬老师的例题，就能运用“底 ×高”的公式来解决平行四边形面积计算问题，但头脑中并未真正行成“平行四边形面积”的科学概念，所以 遇到和老师画的平行四边形不同的奇特的非典型的平行四边形时，就束手无策了。他批评保守教学方法阻碍了 同学发明力的发展。
值得一提的是，运用保守方法进行教学时，同学往往凭生搬硬套就能解决基本概念问题（表示为一步计算 的应用题），而且多数情况下能得到正确答案。这样，教师无意之中强化了同学机械模仿与不深入考虑的思维习惯。
如何解决这一问题？我们认为最根本的措施是改革保守的应用题练习方法，应该用大局部时间练习那些单 凭机械模仿不能奏效的习题形式，如根据题意补充已知条件、删除多余条件，自身提出未知条件，依据数学运 算式自编应用题，说明在特定题意前提下的一个算式（或一个分数）的意义，等等。
二、不善于从整体上掌握题目中的数量关系，因此不能正确
识别题的类型
当代认知心理学家西蒙(H.A.simon)认为，解决应用题的过程是“模式识别”的过程。例如，当同学识别出 眼前的应用题是“相遇问题”，就能调用有关相遇问题的解题方法来解决眼前的题。因此，识别问题的类型就 成了解题的关键。然而，困难的题往往“伪装”得很巧妙，让人难以识别其真面目。例如，第3题，外表上看是 个“相向问题”，而实质上是个“相遇的题”。尽管此题只需三步便能计算出来，然而在我们的实验中没有一 个同学能正确列出算式。下面是一位“优生”的思维过程：
先求甲车走完AB所用的时间：205÷48，
然后乙车速度乘以这个时间就是乙车所走的路程，205÷48×52，
然后再减205就是甲车……（发现不对），
205减去乙车沿原路返回的路程……不对，怎么做呢……
甲每小时48、乙每小时52……
52×(205÷48)－205……（又发现不对）
乙车每小时比甲车多行4公里(52-48)，
甲车行了几小时？每小时多行4…
205÷4就是乙车行的时间，……乙车返回……
很显然这位“优生”未能识别这个题“实质是相遇问题”的根本原因在于他未能形成对这个问题的“整体 掌握”，只是就单个的句子进行联想或推理。假如画出下面一个示意图，就能从整体上理解题意，并因此很容 易识别出题的类型和相应的解题方法。
由此看来，如何训练同学准确理解题意，特别是从整体上掌握题目中的数量关系，是提高同学解答复杂应 用题能力的重要任务之一。我们认为，在这方面应该注意两个问题：第一，是研究同学掌握题目整体数量关系 的特点，总结出掌握题目整体数量关系的思维技巧并进行专门的训练，第二，必需使这种思维方法“条件化” 。所谓条件化，就是指知道这种思维方法在什么条件下使用。以上述第3题的“画图示”的思维方法为例，优等生应该具备了画图示的能力，却不知道什么时候应该画图示，结果该画图时，却不去画图，从而难以从整体上 掌握该题的题意和数量关系。
三、未能把解题模式笼统成为一种思维战略，所以难以识别
非典型的复杂应用题
国内的一项研究发现，许多能顺利解决下述例1问题的小同学却不能解决例2这样的问题。
例1 师傅完成某件工作需6天时间，而徒弟则需要8天才干完成，若师徒二人同时干，需多少天才干完成？
例2 妈妈上街买布，她选中了两种布，假如买第一种布，她的钱只够买6米，而买第2种布则可以买8米， 现在她决定两种布买相同数量，问两种布各可以买多少米？
这两个题是“同型的题”，为什么解第2个题困难得多呢？这是因为第一个题“典型得多”，一看便知是“ 工程问题”。但是，一些优生能顺利地解决例2，他们的思维方法是：“假如总体不知道，又要对总体按一定比 例进行划分，那么设它为1。很显然，在他们的头脑里，已经将“工作效率×工作时间＝工作总量”的应用题 解题模式上升成为一种笼统的思维战略，并且，这种战略已经条件化了，表述为“假如……那么……”，或“ 当……的时候，就……”。
再以本研究的第4题为例，假如同学头脑中能够将追击问题的解题模式上升为一种更笼统的模式：行程距离 之差÷速度之差＝行程时间，那么，他们实质上已经掌握了一种思维战略，就很容易识别出第4题的解题方法。 因此，我们在教学中，不只要让同学掌握基本的解题类型或模式，而且要在基本模式熟练化的基础上，不失时 机地逐步进行思路上的笼统，发展起更笼统，更复杂的“解题模式”（或叫思维战略）。我们提倡教给同学解 题后的反思技巧（思路概括的技巧）：在遇到困难的新的习题时，解题之后要反思该题和过去见过的题有什么 不同之处，在解法上有什么特点，这种解法还可以用于其它什么场所？这样做，就能确保同学头脑中积累的“ 思路”越来越多，且概括程度越来越高，真正做到练习效率高，能够举一反三，举一反三，思维的灵活性和创 造性不时得以提高。遗憾的是在保守教学中，同学的注意力往往集中于寻找习题的正确答案，一旦找到正确答 案，思索便停止了。这样的做法，很不利于思路的反思和概括，不利于解决复杂应用题能力的提高。
四、不能进行双向推理，所以难以接通已知条件和未知条件的关系
可以说所有的习题都是先提供已知条件，然后提出一个未知条件（问题），要求同学利用已知条件来求未 知条件的数量或证明未知条件的成立。在解题时，考虑的方向分为顺向和逆向推理方式。
顺向推理由于思维方向不明确，容易推导出众多的起干扰作用的中间变量，并且易使同学一旦走上错误的 思维方向就迷途难返，本实验中的中下生尤其如此。而逆向推理虽方向明确，始终把未知量作为思维的动身点 ，但由于未知量与已知量的关系很难接通，也容易造成同学解题失败。
在多数情况下，特别是解难题时，最好采用双向推理。顺向推理可以推导出更多的供选择使用的“已知条 件”，逆向推理使我们始终明确思维的方向，双向推理有助于顿悟和灵感的突然出现，能有效地缩短已知和未 知之间的距离，更有助于我们在心理视野范围内“看穿”已知和未知之间的路径。遗憾的是，本实验所选取的 被试（不论是差生还是优生）都不具备这种能力。看来，双向推理能力的训练已不能再忽视了。
我们认为，要想提高小同学解答复杂应用题的能力至少应采取以下三条措施：改革教学方法，确保同学准 确、熟练地掌握基本概念，并形成基本模式；教同学解决困难问题之后进行思路反思和概括的技巧，笼统出高 级的模式；教同学分析题意、整体上理解数量关系的技巧，以确保能识别出高级模式，并调动头脑中有关模式 灵活地解决眼前的复杂的题。
和录：检验用题
1.小明读一本课外读物，4天读了总页数的1/4，照这样的速度读了8天后，还剩45页没有读完，这本书有多 少页？
2.有一段路，一辆自行车第一天走了全程的1/4，第2天比第一天少走了5千米，还剩20千米没有走完，这段 路共有多少千米？
3.A、B两站相距205千米，甲乙两车同时从A站动身，向B站行驶，甲车每小时行48千米，乙车每小时行52千 米，乙车到达B站后立即沿原路返回，两车从动身到相遇经过了几小时？
4.甲、乙两队开挖一条水渠，两队从两端同时挖，甲队每天挖35米，乙队每天挖38米，结果在距中点3.75 米的地方接通，这条水渠共有多少米？
5.一辆自行车，4小时行72千米，现在要沿着一条环城路跑三圈，每圈18千米，需几小时？
6.一个修路队8个人5天可修路2160米，照这样计算假如增加10人，要修4860米，需几天完成？
解 （1）相遇时各行多少时？
1÷（1／10＋1／15）＝6（时）
（2）甲车比乙车每时多行多少千米？
120÷6＝20（千米）
（3）两城相距多少千米？
20÷（1／10－1／15）＝600（千米）
列综合算式：
120÷〔1÷（1／10－1／15）〕÷（1／10－1／15）＝600 米（千米）
答：两城相距600千米。