商不变的规律笔算教后反思

ljalang

商不变的规律笔算教后反思
前日在小数论坛上看到了一个关于“商不变规律”的话题的争论：在被除数和除数末尾有0的除法的简便计算中，竖式中被划去的0，余数怎样办？过去的教材余数要将被划去的0写下来，新教材竖式中不写0，只在横式中写0。哪种教法好？对此，网友们各执一词，意见不一。循着这一问题，对“商不变的规律”这一部分内容有了新的思考。
划去的0究竟该不该写？
以900÷40为例来看看这种笔算除法的简算过程：通过在竖式上“划0”就把原题变成了90÷4（以下称“新题”），计算得“22……2”。根据商不变规律，在这一变化过程中，不完全商没有发生变化，而余数跟着除以了10，据此，在由新题的得数写原题的得数时，商仍写22，而余数就不能照抄了，需推算出原来的余数:把新题的余数乘10得“20”，因此，原题的得数为“22……20”。上述过程可归结为三大步骤：1、原题转化为新题2、计算出新题结果3、依据商不变规律推写原题得数。由此看来，竖式上的结果表示的是新题的得数，原题的得数只需依据规律简单推想后直接写在横式即可。那么，如果把竖式中的余数直接写成20，就反而使原本过程清晰、有理有据的简算过程显得莫名其妙，学生困惑了：“0”明明划掉了，怎么又冒出来了？余数（“20”）怎么比除数（“4”）大了？……
看来，这不起眼的“0”会干扰学生对算法的理解和掌握，所以，不该写。
其中的算理仅是“几个十”吗？
其实，写不写“0”困惑的产生是缘于“如何让学生接受‘余数是20’？”这一问题的错误解决方式——“几个十”。教学书上建议“引导学生根据实际问题中的数量关系和有余数除法的验算方法确认余数是20 ，而不是2”。这一建议说得十分模糊，所以老师们一般都采用备课手册提供的“几个十”的做法：先组织学生验算，让学生体验“余数是20而不是2”这一铁的事实，然后再以“9个十除以4个十、余数2是代表2个十”解释简算的过程和在竖式上直接把余数写成20的道理。
——但其实，这样的解释是有局限性的，不科学的。
从前一部分的叙述可以看到，“末尾是0的除法”的简便计算真正的算理支撑应该是“商不变的规律”。而且，除了“末尾是0的除法”的简便计算，学生还学到了把630÷35转化为90÷5的简算，这里也是应用“商不变规律”，实现了大数目的化简。事实是，这两种简算根本就是“一棵树上的两片叶子”——简算的过程实质都生长于“商不变规律”，体现了“繁化简”的转化思想——它们是一个整体。所以，把“末尾是0的除法”人为的从一个整体中割裂出来，而用“几个十”作算理支撑，是与原本的数学知识结构相违背的，不利于学生在千变万化的计算问题中迁移、类推。
如何才能避免这一问题？
明明是商不变规律，但为什么老师们会采用“几个十”来解释呢？问题产生的根源是学生没有学到完整的商不变规律：“……这样，前面所学的除法（指整除除法）可以看作是有余数除法的特殊情况” （《小学数学教材教法》P42），  “在有余数的除法中，被除数和除数同时扩大或缩小同数倍（0除外），虽然不完全商不变，但余数却随着扩大或缩小同数倍。”
“构建合理的知识结构有利于促使小学生形成良好的认知结构”，因此，要根本性的解决这一问题，笔者的看法是，应站在数学思想的高度，利用完整的“商不变的规律”把这些简算统整到一起，帮助学生形成稳固、可迁移的最佳认知结构。在学习“商不变规律”后继续组织学生探究余数变化的规律，让学生获取完整的整数除法中“商不变的规律”。当然这里的“不完全商”一词不一定揭示，“扩大或缩小”也要改为现在的描述方法：“乘或除以”。从知识的难度上看，学生是完全能够接受的，从课堂的容量看，增加这一内容也是完全可能的。在这样的基础上，再来教学除法中的这两种简便计算，并组织学生对两种计算进行对比，让学生体会到相似的算法背后深刻的思想方法——转化。这样，就使学生真正对这类简便计算做到“知其然，也知其所以然”，更不会产生竖式上要不要写0 的困惑了。