绿色圃中小学教育网
标题:
古代的数学迷宫——图形数
[打印本页]
作者:
塔孜石破天惊
时间:
2008-3-2 19:11
标题:
古代的数学迷宫——图形数
古希腊人曾把数看作是位置不定的点的集合。甚至毕达哥拉斯还说过“数是万物之源”的那样毫无道理的话。这样，就不得不说，认为宇宙是由点构成的所谓原子论，也可以归结到来源于“点=
数的集合”的古希腊思想。
若把数当作是点的集合，那么，以多少个点表示数的问题，最终将变成可以看得见的图形数是怎样表示出来的问题。例如，数
3
可以用
3
个点来表示，也可用等分成三个单位长度来表示。如图
1
－
1
。
然而古希腊人更关心的是什么数能够排列成正三角形、正方形等等美丽的图形。毕达哥拉斯曾用小石头，如图
1
－
2
那样，从上往下
1
个、
2
个、
3
个、
4
个地依次摆成正三角形，他指着小石头叫别人数。当那个人数完
1
、
2
、
3
、
4
时，毕达哥拉斯却说：“好啦，你说到的
4
，我看实际是
10
。”毕达哥拉斯把
10
看成是一个神圣不可侵犯的数。他认为
1
表示点，
2
表示线，
3
表示面（三角形），
4
表示体（三角锥），总括起来这个美丽的正三角形数
10
，就可以表现宇宙。
像
10
这样可以排列出美丽的正三角形的数是很多的，这些数都可以叫做三角数（如图
1
－
3
）。设以
Tn
来表示第
n
个三角数，则
Tn
就等于
1
、
2
、
3
…
n
个自然数的和，把它列成数学式就是：
Tn=1
＋
2
＋
3
＋…＋
n
能排列出正方形的数叫做四角数（如图
1
－
4
），四角数构成了平方数。若以
Sn
表示第
n
个四角数，则数学式就是：
Sn=n
2
但是我们从图
1-5
可以看出，四角数是由
1
开始只把奇数加起来构成的。用数学式表示就是：
Sn=1
＋
3
＋
5
＋…＋（
2n-1
）
=n
2
与四角数相对应，若从
2
开始，只把偶数加起来就变成所谓的长方数（如图
1
－
6
），长方数也叫矩形数。以
Rn
表示第
n
个长方数，它的数学式就是：
Rn=2
＋
4
＋…＋
2n=n
（
n
＋
1
）
在作四角数和长方数时，可以用和角尺一样的图形。这种角尺状图形，数学上叫磬折形，其中表示的数叫磬折形数。两个相邻磬折形数之差，实际上是数列的级差。
在三角数
Tn
、四角数
Sn
、长方数
Rn
之间存在着各种各样的关系。如图
1
－
7
所示，两个三角数的和就等于一个长方数。
2Tn=n
（
n
＋
1
）
从而，下式是可以成立的。
假如我们仔细地观察一下下面的两个数列，不难发现，相邻的两个三角数之和是等于一个四角数的。
这种关系，如图
1
－
8
，用数学式表示，则可为：
Tn-1
＋
Tn=Sn=n
2
让我们再看看图
1
－
9
，图中用○符号表示的数是
S5
；用●表示的数是
S6
，由图可以看出
4T5
＋
1=S5
＋
S6
从而，一般可以认为下式是成立的。
4Tn
＋
1=Sn
＋
Sn
＋
1
如果把含有符号×的全体考虑进去的话，则很清楚地看出下式也是成立的。
8Tn
＋
1=S2n
＋
1
希腊人还研究过如图
1
－
10
所示的五角数及图
1
－
11
所示的六角数。他们把五角数排列成
1
、
5
、
12
、
22
、
35
…
把六角数排列成
1
、
6
、
15
、
28
、
45
…
设
Pn
表示第
n
个五角数；
Hn
表示第
n
个六角数。我们只要稍微观察一下这两个图，就不难看出，以下的数学公式成立。
P
n
=S
n
＋
T
n-1
，
H
n
=2S
n-n
假如你观察不出来，你可以把五角数中的○那部分看成是
S
n
，把●那部分看成是
T
n-1
，两者相加不就是
Pn
了吗；另外，可以把六角数中的●部分数两遍，于是就可以把全体看成两个四角数，然后再减去多数一遍的●部分不就成了
H
n
了吗。
下面让我们看看求三角数
T1
、
T2
…
Tn
之和的情况吧。为了醒目起见，我们把
T1
、
T2
、
T3
…
Tn
先各乘上
3
，然后把
3T1
、
3T2
、
3T3
…
3Tn
排列成如图
1
－
12
所示的样子，使之成为左右横向是
Tn
行；上下纵向是
n
＋
2
列的长方形。于是由
3
（
T1+T2+
…
+Tn
）
=
（
n+2
）
Tn
可以得到下边比较易看的关系式：
然后，我们还可以看看求四角数
S1
、
S2
…
Sn
之和的情况。因为每个四角数，都是由
1
起，依次只把奇数加起来的和表示的，所以
S1
、
S2
…
Sn
的和就可以排列出如图
1
－
13
所示的摩天楼样形状。图中○表示奇数编号的四角数
S1
、
S3
、
S5
…●表示偶数编号的四角数
S2
、
S4
…
若在摩天楼的两侧各加上
S1
、
S2
…
Sn
的话，那么，从上到下的
Tn
行与从左到右的
2n
＋
1
列所形成的长方形就可以表示
3S1
、
3S2
…
3Sn
之和。因而
3
（
S1
＋
S2
＋…＋
Sn
）
=
（
2n
＋
1
）
Tn
故可将上式变成
也就是可以得到下述的公式：
13
世纪中国数学家杨辉用堆积小立方体的方法证明了上述公式。他把
1
2
个、
2
2
个、
3
2
个…
n
2
个小立方体堆积成
A
、
B
、
C
三个阶梯状的四角锥形。把这三个四角锥粘结在一块，如图
1
－
15
所示，在
C
上就会凸出来
Tn
个小立方体，如把这些凸出的小立方体切去一半放在
A
上，就可以形成一个底面
是由作图得出的结果，所以也得到以下公式：
现在看看关于
1
3
、
2
3
…
n
3
的求和公式。让我们首先参看图
1
－
16
左上角的那个最小的中间有点的小正方形，我们把它看成是
1
的正方形，设它各边长为一单位，然后把它相邻的两边各延长
2
单位，再作一个每边长为
1
＋
2=3
的正方形。这样在原来
1
的正方形右边添加的磬折形数就是
2
个
2
2
的正方形，也就是
2
2
×
2=2
3
。为什么可以这样说呢？我们只要注意到图中打有双重斜线的地方，正好和空白的地方相抵消，于是就可以说添加的就是两个边长各是
2
的正方形，其中一个打右斜线，另一个打左斜线。
然后在相邻的两个边上再延长
3
个单位长，作一个每边长为
1
＋
2
＋
3=6
的正方形。于是，添加的磬折形数就是
3
3
（
3
个
3
2
）。进一步，相邻两边再延长
4
个单位长，又出现了空白抵消掉双斜线部分，添加了
4
个
4
2
，磬折形数成为
4
3
。这样作出的正方形，因为每边都是
1
＋
2
＋
3
＋
4
单位长度，所以就成为：
1
3
＋
2
3
＋
3
3
＋
4
3
=
（
1
＋
2
＋
3
＋
4
）
2
其一般通式，可以证明为：
1
3
＋
2
3
＋…＋
n
3
=
（
1
＋
2
＋
3
＋…＋
n
）
2
希腊人不仅仅研究了把点排列在平面上的多角数，而且还研究了把点排列在空间的锥形数。如果把点排列成三角锥的形状，它的样子就如图
1
－
17
所示。
其第
n
个三角锥数是
再看看排列成四角锥形状的图形，就可以得出其第
n
个四角锥数应是：
古希腊人不但由一个顶点引出射线，并在射线上取点作出多角数及锥形状，而且还由图形的中心点引出射线，依靠射线作出了有心多角形。其有心三角形，如图
1
－
19
所示是：
1
、
4
、
10
、
19
、
31
、
46
…
图中三条实线，每两条线间都有三个点，连同线上的点，排列成一个三角数。其中中心点是三个三角数共有的，实线上的点是相邻两个三角数共有的。因此第
n
个有心三角数的通式应为：
有心四角数如图
1
－
20
所示为：
1
、
5
、
13
、
25
、
41
…
同理，第
n
个有心四角数，可以用下式表示：
4Tn-1
＋
1=2n
（
n-1
）＋
1
前边的图
1
－
9
也是一个有心四角数。你不妨翻开前边看看，它对你理解有心四角数是会有帮助的。
此外，还可以按上述方法，进一步研究有心五角数及有心六角数等等。那么，第
n
个有心五角数应该是由
5Tn-1
＋
1
给出，而第
n
个有心六角数则是由
6Tn-1
＋
1
给出。
如果在第
n
个有心六角数外边，再附加上
6
个第
n-1
号的三角数，那就可以作出一个星形六角数（如图
1
－
22
所示），其第
n
个星形六角数，可以由
12Tn-1
＋
1
给出。
我们从卡道纳所编的《数学游戏Ⅲ》中得知：可以构成平方数的星形六角数有一些性质是很有意思的。例如，若令第
n
个星形六角数
6n
（
n-1
）＋
1
等于一个平方数
m2
，即：
m
2
=6n
（
n-1
）＋
1
然后将上式的左边乘
3
再加
2
，其值就可以表示成三个连续自然数的平方和，同时还可以表示成两个连续自然数的平方和，用数学式表示就是：
3m
2
＋
2=
（
m-1
）
2
＋
m
2
＋（
m
＋
1
）
2
=
（
3n-2
）
2
＋（
3n-1
）
2
不过不是所有的星形六角数，都可以有上述的可构成平方数的关系，其中比
1
大的最小值是
121
。此时，
n=5
、
m=11
，代入上式计算为：
365=10
2
＋
11
2
＋
12
2
=13
2
＋
14
2
其次，能构成平方数的星形六角数是
11881
。此时，
n=45
、
m=109
，代入上式为：
35645=108
2
＋
109
2
＋
110
2
=133
2
＋
134
2
欢迎光临 绿色圃中小学教育网 (http://lspjy.com/)
Powered by Discuz! X3.2
