空间中直线与直线之间的位置关系

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空间中直线与直线之间的位置关系
                                   丹阳学校（陈垂宽）
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法
（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；
（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念；
2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、教学设计
（一）创设情景、导入课题
1、问题：平面两条直线有多少种位置关系？


（1）平行直线                  （2）相交直线
2、通过身边诸多实物，如竖直的两条电缆杆所在的直线（平行），十字路口的两条路所在的直线（相交），教室内的灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线。相互交流得出：平行、相交、还有一种不在同一个平面里的，这就是我们这节课学习的内容。从而引入异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
3、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）
（二）讲授新课
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：





相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点
2、师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？
组织学生思考：
长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？
生：平行
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线，若a∥b 且c∥b，则c∥a
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1、   空间四边形ABCD，E 、F、H、G分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形
（变式训练）由例1、如果再加上条件AC=BD,求证：四边形EFGH是菱形。
3、让学生观察长方体ABCD-A’B’C’D’中，∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800
教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
强调：① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0o，180o )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
例2（教材P47页例3）
（三）课堂练习
1、判断题：
（1）若a∥b且c⊥a => c⊥b （    ）
（2）若a⊥c且b⊥c => a⊥b （    ）
2、填空题：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。
（四）课堂小结在师生互动中让学生了解：
（1）本节课学习了哪些知识内容？
（2）计算异面直线所成的角应注意什么？
（五）课后作业：教材P48页练习：1、2题