通过反思提高学生解题能力教学设计例谈

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通过反思提高学生解题能力教学设计例谈
摘要：反思是个体，乃至群体成熟的重要标志，教师可以引导学生通过反思，领悟到数学问题的本质，达到提高解决问题的能力。教学中我们常常发现这样一些问题：讲过多遍或题目中有一点微小的变化的题，学生依然束手无策，这一现象引发了我们进行对教学的深层次思考，我们发现只有通过引导学生对自己的思维过程进行反思，才能优化学生思维品质，提高解决问题的能力。
关键词：初中数学；反思；解题能力
荷兰数学教育家费赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力”，中学生数学学习最薄弱的环节是数学的反思，由于数学对象的抽象性、数学活动的探索性、数学推理的严谨性与数学语言的特殊性，决定了学生掌握数学必须经过不断反思，才能认识到数学的知识的本质特征。因此教师在习题教学过程中，要不断引导学生通过反思认识到解题过程中所设计到的基本知识和基本技能，当一道题获解后，引导学生反思用到的定理、概念及命题的意图、本质是什么，有没有更好的解法，及时对所学的方法进行归类，对解题方法进行小结，通过一题多变、一题多问，充分挖掘习题的深度和广度，加深学生对问题本质的认识和对技巧的思考，通过命题的拓展与推广，引导学生探索解决问题的一般方法，从而提高学生思维的灵活性与深刻性，将一些好的方法规律固化在大脑中，进一步提高思维品质[1]。
一、变式让反思由浅入深
解题能力的提高在于引导学生通过反思，认识问题的本质，因此我们可以利用变式训练充分挖掘习题的深度和广度，提高解决问题的能力。
【例1】如图1，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作l的垂线，垂足分别为E、F．若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为___________．
本题所考察的知识是全等和勾股定理，多数学生能够很快解决，还有部分学生不能顺利解决问题，为了帮助他们分析原因，理清思路，我找了一位学生谈谈自己不能解答的原因。
学生1：“老师，我和大家的答案是一样的。”
我说：“你怎么没有写出来？”
学生1：“老师，我证全等时,找到了AB=BC和∠AEB=∠CFB=90°，可找不到第三个条件。”
我说：“哪位同学可以帮助他分析一下？”
学生2（迫不急待地站起来）：“老师，∠ABE与∠BCF都与∠CBF互余，根据同角的余角相等就找到了第三个条件.”
我问：“你是怎么发现的？”
学生2（自信地）：“这很简单，我用眼睛看出来∠ABE=∠BCF，然后又发现了他们与∠CBF的关系.”
我肯定了学生2的回答后又问学生1：“你听懂了吗？”
学生1：“我懂了.”
我问：“谈谈你的想法。”
学生1：“做题时，我没有充分利用已知条件，发现∠ABE与∠BCF和∠CBF的关系，我也想证明∠ABE=∠BCF，但没找到.”
通过引导学生反思，让他们认识到解题成功与失败的原因，如本题中解题成功的学生成功地运用了几何图形的直观性，并充分利用已知条件，解题不成功的学生同样观察到了要证∠ABE=∠BCF，没有成功是因为在解题中缺少目标意识，没有围绕∠ABE=∠BCF这一目标进行思考而导致的。为了使学生的思维产生一个质的飞跃，我出示了下题：
变式1：如图2，过正方形ABCD的顶点A、B、C作直线a∥b∥c, 若a与b的距离为1cm,b与c的距离为3cm,则正方形ABCD,则AB的长度为___________．（对问题的非本质属性进行变化）
学生4（激动地）：“作AE⊥b于E，CF⊥b于F，这道题和刚才做的题就一样了！”
很多学生都在热烈地讨论着，我故做惊讶地：“你是怎么发现的？”
学生4：“老师，你把AE的长度变为了直线a和直线b和距离，BF的长度变为了直线c和直线b和距离…”

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【例2】如图4所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EF⊥DE交BC于点F．求证:  ADE∽ BEF；
在本题证明学生没有思维障碍，多数学学生都很快完成了解题，当解完题后，我问学生：“在解题过程中，你用到的方法是什么？”
学生1：“老师本题中用到的方法是同解的余角相等，这是一个相似的基本图形，这道题我们做过很多遍了.”
我说：“你回答的很好，想一想，如果出现在不同的情境中你能否很快认出这一基本图形，这对我们解题很重要，让我们一起完成以下各题.”
1、如图5所示，Rt⊿AOB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=2，点B在反比例函数  图象上，求过点A的双曲线解析式.
2、如图6，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，求矩形ABCD的周长．
3、如图7，在 中， ，点 ， 在直线 上运动，设 ， ．
（1）如果 ， ，试确定y与x之间的函数关系式；
（2）如果 的度数为α， 的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y、x之间的函数关系式还成立，试说明理由．
     问题的解决和预料中的一样顺利，在解决问题的喜悦中，我向学生提出了问题：“通过以上问题的解决，你认为解决问题的关健是什么？”
学生2：“老师，我觉得解决以上问题的关健是能够找到第1题中的基本图形…”
学生3：“在第二题中，虽然没有基本图形，但我们可通过作垂线构造基本图形。”
学生4：“第三题中，我们可以借助一对全等和一对相似，设入未知数，利用方程求解。”
学生5：“第四题和前三题图形有一点变化，但方法基本相同…”
学生的回答虽不全面，但是有自己的思考，我的目的就是通过引导他们反思，从不同情境中进行模式识别，认出基本图形和基本方法，并通过类比，将不熟悉的问题（如第4题）转化为熟悉的问题进行解决。
本题组设计目的是，不断地重现基本的方法于不同的情境中，让知识在迁移过程中，诱发学生进行反思，进而掌握解决问题的基本方法，使学生的思维水平更深刻。
三、利用典型习题引导学生反思感悟转化思想
转化思想是数学解决问题的核心，善于转化是问题解决的有效途径，学生的学习是一个连续的不断发展的过程，数学思想方法不是能通过一两道题的解决就可以认识到的，只有通过不断地渗透，才能让学生领略到数学思想方法的重要性，转化思想是数学学习中最重要的思想方法，如二元一次方程向一次方程的转化，复杂图形向基本图形的转化等，因此在教学中寻找一些好的栽体是必要的，通过典型习题引导学生通过反思寻找解题思路，认识自己思维过程，对解决问题的能力培养具有重要的作用。
【例3】如图10，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB
和BC的中点，EP⊥CD于点P，求∠FPC的度数.
本题是一个很典型的习题，多数学生在解决问题的过程中，感到束手无策，
有几个学生拿着笔看着我，我问：“不好做吗？”“嗯”有几个学生马上回答。
于是我对他们说：“猜一猜答案是多少？”，学生又进入了思考中，突然一个学
生喊出来：“55°”，我大声说：“回答正确，掌声.”,他的同桌说：“老师，他不会，
他是量出来的！”，我说：“量出来很好，至少我们知道了答案，知道了前进的方向，不很好吗？”，“这也行？”，我笑着说：“当然，数学可以先猜后证，这正是数学发现的重要主法，现在我们向55°前进。”此时学生开始活跃起来，投入了寻找目标的过程，我说：“认真分析已知条件，看看有什么新发现？”
学生1（自言自主语）：“55°是110°的一半.”

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我说：“这样分析很好，继续。”
学生1：“连结AC，由于菱形ABCD，故∠BAC=55°”
学生2（有点激动地）：“老师，EF是ΔBAC的中位线，故可知∠BEF=55°”
学生3：“如果这样，∠BEF就和∠FPC相等，因此只要说明∠FEP=∠EPF就可以了。”
我说：“你分析的很到位，现在大家看一看，∠FEP与∠EPF是否相等？”
学生4：“老师，证EF=FP就可以了。”
我说：“好的，看来你们的思路一步步向目标靠近了！”
通过已知条件分析，学生给出了中线倍长法和作梯形EBCP中位线的方法，解决了问题，此时是最佳的反思时机，于是我又提出了问题：“请你们想一想，这道题是如何获解的？”
学生5：“老师，我发现画出准确图形，量一量可以得到问题的答案，是一种有效的解题方法贸易量我们寻找解题思路提供了方向。”（这说明学生已经意识到先猜后证是一种最简单的数学方法。）
学生1：“老师，我发现有了答案，解题思路好像好找了。”（对解题目标意识有所唤醒）
    学生6：“我发现分析过程中，将我们要解决的问题不断地进行变化，最后将证∠FPC=55°变成了证EF=FP”（变更问题是转化思想的实质，解决问题就是将问题进行不断地变更，使问题转化为我们熟悉的问题获解。）
     在热烈的气氛中学生在谈着解题中的感受，我通过不断引导学生反思，让学生体会转化的方法，让学生的认知过程更加深刻，通过这样的教学，学生的思维能力得到了提高。
四、反思解题策略
解题策略是学生在不断学习过程中形成的，而解题策略的反思，对提高学生思维品质具有积极的作用，因此我在教学中，解完一道题后，常引导学生进行如下思考：这道题用到了哪些数学知识？这些知识之间的联系是什么？命题的实质是什么？解决这类问题的关健是什么？方法是什么？这类题的规律是什么？应该如何寻求解题思路？我对老师的讲解是否理解？还有更好的方法吗？在众多解法中，什么方法最简单？我得到的启发是什么？以后我遇到这类问题还能解决吗？如我引导学生一起完成下题时，引导学生进行了反思：
【例4】如图所示的四个完全相同的小正方形拼接成的图形中，以这10个点中的任意3点为顶点，共能组成等腰直角三角形_______个。
学生拿到这道题，很快进入了状态，同之间在不断地交换结果，答案一直得不到统一，听一个学生说：“数乱了，数不清。”，另一个说：“好像很多。”我说：“你们想一想，怎样数才能不重不漏？”（引际学生注意方法选择）
学生1：“老师我是这样想的，先数边长为1的，每个小正方形中有4 个，共16个。”
学生2（打断了1）：“不对，边长为1的有18个”
我说：“这两位同学说得好，用分类的方法可以保证不重不漏，如图每一个边长为1的正方形 对应4个边长为1的三角形 ，故有4×4+2=18个，在数边长为1的等腰直角三角形时，还用到了对应思想，请大家再按这一思路数一数。”

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学生3：“如图每一个 中，有两个边长为  的三角形，共有3×2+4=10个；如图边长为2的三角形 有2个”，故共有30个。”
这时多数学学生认为学生3的答案是对的，我说：“还不够。”

学生4：如图边长为 的三角形 有2个。共有32个等腰直角三角形。
题解完了，学生通过反思发现了以下问题，1、数不对原因是没有很好地使用分类思想，故造成了在解题过程中出现了重复或漏数.2、没有意识到运用整体思想与对应思想方法解决问题.3、只有运用数学的思维方法才能将数学思维过程由复杂的计数过程中解放出来，使思维变得有序.4、认识到了数学美。
五、反思解题过程，优化数学素质
对解题来说，进行解题过程的分析，是优化素质的一条捷径。对学生平说，可以借助分析解题过程，摆脱单纯的模仿和在同一思维思维层次上的简单重复，获得解题能力和思维水平的提高。
【例5】抛物线 上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表：
X        …        -2        -1        0        1        2        …
y        …        0        4        6        6        4        …
抛物线 ○1抛物线上三个点（-4，y1）,(5,y2),(6,y3),试比较y1 、y2 、y3的大小.
学生在做题的过程中，我发现了的解法体现了多数学学生的思维水平，于是我请她起来说一说自己的解法。
学生1：“我是用代入○1，求得解析式为 ○2,再将x=-4,5,6分别代入○2，得y1 、y2 、y3的值分别为-14、-14和-24，从而确定了y1 、y2 、y3的大小.”(我将他的解题过程投在了电视屏上)
有其它方法吗？
学生2：“我发现抛物线的对称轴是直线x= ,它与x轴一个交点是（-2，0），故另一个交点为（3，0），可以用双根式求出解析式…”
学生2的观察能力比学生1要强一些，她从表中发现了更多的信息，这是解题能力必备的素质，我表扬了学生1，同时告诉学生，学生2 的思维比学生更好一些…主，这时学生3举手了：
学生3：“不用求函数的解析式，根据表中的值画了一个草图，就可以比较出y1 、y2 、y3的大小了.”
我故做惊呀地说：“有这第神奇吗？让我们看一看.”我顺手将她的解题过程进行投影。很多学生看着她的解答过程，发出了赞赏声。
我说：“你真的不错，能够不战而屈人之兵，真是一个好方法。”
学生4（不服气地说）：“有什么区别，答案对就可以了.”
学生4的想主代表多数学学生的心理，题会解就行了，这时引导学生优化思维过程是最好时机，于是我问学生4：“如果我将（-4，y1）,(5,y2),(6,y3)换成（-2009，y1）,(2011,y2),(2111,y3),你再比比.”学生们都有点兴奋，学生4投入了计算，还没有算完，很多学生已得出了正确答案，这时我问学生4：“怎么样，哪种解法更好一些？”

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学生4：“当然是学生3的解法了.”
“大家想想为什么？”
学生5：“图像具有直观性，能够很快看出来答案.”(认识到了数形结合的优势)
学生3：“我是根据表格中的数学判断出对称轴，再根据增减性判断出开口方向的…”（学生3对二次函数的性质有了深刻认识，是解题成功的关健.）
我说：“其实这道题考察的是二次函数的性质，学生3对函数的性认识比较到位，所以解答更好，如果我们将数学换大，这种优越性就充分体现出来了，如果不画图，能不能做？”（目的是启发学生更好地用函数的性质解题）
学生3经过一会思考，又一次举手回答：“老师，我知道了，开口向下的抛物线，离对称轴远的点小，近的大.”
学生们听了学生3的回答，热烈地讨论起来，学生5：“老师，我总结出来的规律是，开口上，远大近小(离对称轴)，开口下，远小近大.”
此时学生中响起了掌声，课堂中充满了快乐，通过本例，我发现能够引导学生对解题过程进行深入反思，可以通过比较，让学生产生优化解题过程的意识，对学生的思维层次的提高具有重要的作用，这样可以在优化素质的同时，让学生欣赏数学的简捷美。
什么样的教学理念，决定什么样的教学方法，优秀的教师之所以优秀是因为有一种教学思想在支配着他的行动，教学工作在一种理论的指导下，有目的有计划地展开，而不是盲目的，因此必是高效的，好的教师是一个思想家，他总是在不断地调整自己的教学方法，以更好地适应学生的学，他的教学出发点是为了学生更好地发展，在这一理念的支撑下，他总是充满信心[3]。数学教学是教师通过不断学习、研究不断完善的过程，是教会学生生学会思考与形成分析问题、解决问题的过程，引导学生在学习中学会反思，并通过反思发现问题，寻找解决问题的方法，是提高教学质量重要环节，通过引导学生反思解题过程中用到的定理、概念，领悟命题中体现的思想方法、解题技巧，并归纳、概括出一系列适合自己的学习方法，再通过反思后的适当练习强化反思的功效，必能减少错误再次发生，使学生的思维发生质的飞跃，笔者多年坚持这一教学理念，在教学中获得了成功，所教学的思维能力得到了发展，取得了良好的教学效果。