提升数学素养 修炼教学点化之功

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小学数学是人类在文明进程的漫长跋涉中，所创造的数学文化中最为基本的奠基性内容。作为一名小学数学教师，只有具备了较为深厚的数学科学的知识积淀和素养，而不仅仅是满足于稍稍高出儿童的、初等浅显的学科修炼，才能在日常的学科教学中高屋建瓴、应付裕如、免出纰漏、秀出精彩。

记得在十多年前的一堂六年级的关于圆面积计算公式推导的课上，我孜孜不倦地讲解了怎样利用半径把圆面平均分成若干等份，然后交叉相插，成为一个近似的平行四边形，再由16等份、32等份、64等份……的图形变换，让学生看到：随着平分的份数越多，所成的图形就会越来越接近于一个平行四边形，这样就可以用平行四边形的面积计算方法求得圆的面积计算公式：S=лr×r。

我讲得有板有眼，演示得层次分明，自认为把握了教材，天衣无缝，学生会顺利接受。可谁知，一个平时不怎么起眼的学生开始向我发难：“张老师，我觉得圆面积计算结果都是近似的，因为平分圆拼凑成的平行四边形都是近似的。”我想也没想到，就顺口答到：“对，没错，圆的面积是近似的结果！”这一下，可捅了“马蜂窝”，不少已经确认了圆面积计算公式的孩子，也开始动摇了——

“我认为既然是近似的，就应当用约等号，不能用等于号！”

“那么，圆面积有没有可以得到准确结果的计算方法呢？”

……

学生的“起哄”令我紧张，我有点怀疑了，到底圆面积的计算是不是该用约等号呢？我一时陷入了迷茫之中。我赶紧用圆周率本身就是一个无限不循环小数来自圆其说，中止了学生对公式推导的质疑。但课后我还是心怀忐忑，惴惴不安——教材上可不是约等号呀！其后的业务研修，使我马上明白了“纰漏”之所在。想象中对于圆面的无限平分，是一个无限过程。所谓“割拼成的、和圆面等积的图形的极限是一个平行四边形”，是指这个无限过程中的终极状态。在这个无限过程中，每个拼得的图形都是近似的平行四边形，但不排斥终极状态可以是一个真正的平行四边形。就象无穷数列1，,……的每一项都不是0，但这个无穷数列的极限可以是0。极限理论知识的缺失造成了我面对学生质疑的“尴尬”。可见，教师数学学科素养少了一块基石，在教学中就极有可能留下一个误人子弟的祸根。

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从此，我十分注意研习数学知识，厚筑学科根基，积累高等数学的学养，杜绝了此类科学性失误。我印象最深的有这么一件事：在小学中年级“直线、射线和线段”的教学中，为了辨析，我引导学生比较三线的联系与区别：直线是向两方无限延伸的，没有端点；射线是向一方延伸的，有一个端点；而线段是有限长度的，有两个端点。线段和射线都是直线的一部分，它们都是直线——这是他们的联系。这也是教材、教辅资料上的知识要点。可是，我发现有本教辅资料上出现了这样的判断检测题：“射线比直线短，比线段长（  ）”书后的附录答案是对号。对此，其他老师均无异议。我却认为，此答案有误，而且压根就不应该这么命题。因为射线与直线都是无限延伸的，它们是无所谓长短的，它们之间不可以像线段那样比较长短，特别是，根据有限大小的量归纳出来的公理“全量大于它的一部分”，对于无限的量不再适用。集合论认为：一条直线上包含的点与一条线段上包含的点一样多，因为在这两个无限的点集之间同样可以建立一一对应的关系。这些，不根据无穷集合的基数大小的比较理论是无法得出的。以有限思考无限，是数学素养不足所致。无限之间如何比较要另行定义。

实践使我认准了一个颠扑不破的真理：“打铁还得本身硬。”要培养学生的的数学素养。教师本身必须具备深厚的数学学养；数学教师数学素养的进修是长期、甚至是伴随职业生涯的终身过程。这种修炼不像某些教学技能进修那么功利性强，可以立竿见影。“欲穷千里目，更上一层楼。”王之涣的名句留给我们太多的业务联想。旨在做个研究型、学者型教师的人，就必须具有这种远大的追求和长远的业务境界，数学学科知识积累得多，研究得深，才能免除教学失误，并会在某个教学瞬间迸发出智慧的火苗，点燃学生学习创新的火花，引领孩子们进入数学高品位的追求之中。