获奖教学设计《与圆有关的面积计算（专题复习课）》教学设计与说明

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优质课资料 《与圆有关的面积计算（专题复习课）》教学设计
广西桂林市第七中学　徐　健
一、教学目标

（一）知识目标：

1．  掌握圆、扇形、三角形的面积计算公式；

2．  熟悉平行线、三角形、四边形以及多边形等基本几何图形的性质；

3．  熟悉圆的性质.

（二）能力目标：

1．  能运用平移、旋转、轴对称等图形变换等方法对图形进行再构造；

2．  在解决问题的过程中能合理运用转化的数学思想把复杂图形转化为基本几何图形求解．

（三）情感目标：

通过本专题的学习，培养学生自主探究与合作交流的能力，收获解题的成功感，并受到数学图形美的熏陶．

二、过程与方法

1、指导学生经历观察、猜想、验证、计算，归纳平移、旋转、轴对称、割补、等积变换等方法，掌握平行线、三角形、圆的有关性质定理的运用；

2、鼓励学生在认真观察之后进行小组讨论，交流解题方法，探索最优解题途径；

3、引导学生利用知识把复杂图形转化成简单几何图形进行求解，掌握转化的思想．

三、教学重难点：

重点：与圆有关的面积计算；

难点：如何将复杂问题（图形）转化为简单问题（图形）．

四、教学过程：

(一)运用知识，发现方法

本环节主要是通过三个引例，达到让学生回顾知识，归纳出解决面积计算的基本思路和方法。该环节对整节课起到一个开篇布局的作用。

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问题	学生活动	教师活动
引例1：如图，正方形ABCD边长为2cm，以C点为圆心，BC长为半径作弧，图中阴影部分的面积为         ．（结果保留π） 引例1	本题是一道基础题；图形简单，解题思路明确，计算简单，由学生独立完成．	教师引导学生发现常用面积计算公式与和差法．
引例2：如图，要在三角形广场ABC的三个角处各建一个半径为20米的扇形草坪，则草坪总面积是            ．（结果保留π）                 引例2	本题在让学生充分观察图形、相互讨论交流．	教师运用多媒体课件演示，让学生直观的感受到图中阴影部分通过平移、旋转，可转化为半径为20米的一个半圆，从而体会到当和差法不能解决时，可利用图形变换来解决问题．
引例3：如右图，A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连接AC，则阴影部分面积为         ． 引例3	采用先让学生独立思考探究，然后鼓励学生在自己独立思考探究的基础上，充分的发表自己的意见．	教师参与到小组的讨论中，引导学生发现通过做辅助线把阴影部分转化为扇形求解．教师要关注学生能否利用平行线将三角形进行等积变换．

归纳：

通过以上的三个引例，引导学生归纳得出与圆有关的面积计算的问题所涉及到的有关知识和主要方法．

有关知识：三角形、四边形、圆的面积公式，涉及解直角三角形、解方程等有关知识．

主要有三种方法：

1．和差法：S总体-S空白=S阴影

2．整体求解法（化零为整）：把不规则图形分成几个规则图形的面积之和．

      3．图形变换法：通过图形变换 (平移、旋转、对称、割补)使其转化为基本几何图形的面积计算，或者为使用和差法提供条件．此法包括割补、平移、旋转、等积代换等方法．

从方法的应用上，和差法属直接应用型；而整体求解法和图形变换法则属于构造型．

(二) 巩固提高，强化方法

（对应上环节，在知识、方法及思维层面进行适度拓展．该环节设置了3 个问题．）

问题	学生活动	教师活动
1．如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆半径为2，则阴影部分的面积为         ． 第1题	本题由学生独立完成。要能说出解题时用了哪些图形变换方法．	教师提问：常用的图形变换方法有哪些？
2．如图，已知正方形ABCD外接于⊙O，且⊙O的半径为2，那么图中阴影部分的面积为         ． 第2题	学生分小组进行交流和讨论，充分说明思路和解题方法．	由于该题难度不大，在提问时要多关注中下学生．教师要注意学生在利用半径（直径）求解正方形面积的方法是否最优．
3．（2000年广西中考题改编）如图，⊙O2的弦AB切⊙O1于C点且AB∥O1O2，AB=8,则阴影部分的面积为      ． 第3题		教师可先适当引导学生分析，然后通过课件演示来帮助学生理解．利用勾股定理整体求解半圆环面积是本题的解题关键．

（三）灵活运用，拓展延伸

（该环节可视情况机动处理．既可在课堂上作为课堂练习，也可作为课外作业，还可留作下一课时的内容．）

问题	学生活动	教师活动
4．如下图，有六个等圆按如图甲、乙、丙三种形状摆放，使邻圆互相外切，且圆心连线分别构成正三角形、平行四边形、正六边形，将圆心连线外侧的六个扇形（阴影部分）的面积之和依次记为S、P、Q则（    ）． A、S>P>Q  B、S>Q>P  C、S>P=Q  D、S=P=Q       甲           　　　　　  乙           　　　   丙	学生： 1.仔细观察图形特点； 2.结合条件能联系起哪些相关知识？	教师引导： 1.图形整体有什么特点？ 2.可以根据图形特点将图形进行怎样的移动？ 3.扇形圆心的角是多少？教师关注，学生对图形的观察是否到位．
5．矩形ABCD中,BC=4,DC=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,则阴影部分的面积是（    ）． A、2 B、4 C、4- D、                   第5题
6．有一张矩形纸片ABCD,AD=4,上面有一个以AD为直径的半圆,正好与对边BC相切,如图(甲).将它沿DE折叠,使A点落在BC上,如图(乙),这时,半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是多少？                         甲图                      乙图	1.学生分小组进行讨论； 2.由学生分批次讲述他们阶段性的发现和结论．	教师提问： 1.阴影部分是什么图形？ 2.弓形面积怎样求？ 3.扇形的圆心角是多少？教师关注学生是否存在畏难情绪，鼓励学生进行猜想、验证、计算．

（四）学习回顾  归纳总结

本环节主要由学生完成，教师对学生的归纳总结要注意上升到数学思想方法的层面．和差法、图形变换法和等积变换都是把复杂图形再构造为简单几何图形，体现转化的思想．

（五）板书设计与作业

与圆有关的面积计算（复习课）

1．基础知识

S圆=πR2

S扇形= nπR2/360

S弓形=S扇形 - S三角形

2．基本方法

①和差法

②图形变换法

③等积变换

作业：完成（拓展延伸）第4、5、6题

（六）课后反思

本节专题复习课是为了帮助学生将学过的数学知识进行再学习、再认识，并通过学生的实践对所学知识进行系统梳理，达到概括和综合提高的目的，从而实现知识的迁移和再建构．本节课的设计考虑到了九年级学生的兴趣和认知水平，注重对知识方法的发现和归纳．从教学效果来看，由于采用了由浅入深、层层递进、一例一练、一例多练的形式，学生对该节课的内容掌握较好，能较好的应用转化的数学思想来解决问题．

遗憾的是由于是现场课，教师对学生的实际了解不够，部分设计的内容不能在课堂上完成．在今后的教学过程中，还要学习多与学生沟通，掌握与学生交流的技巧，从学生的实际学生能力出发，“不拔不压”，切实帮助学生获得成长．

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《与圆有关的面积计算（复习课）》教学设计说明
广西桂林市第七中学　徐　健
一、         本节课内容的数学本质与教学目标定位

学生在问题驱动的形式下，经历有目的的观察、猜想、验证、计算的过程，解与圆有关的面积计算这一类题目，藉着总结知识和方法的脉络，回归到数学学习的灵魂——数学转化的思想。

与圆有关的面积计算这一内容相对地独立于课本而设计，不按照传统的教师复习基础知识-学生做练习-教师讲解的模式进行，而是采用问题驱动-探索发现-归纳方法的模式。这样做是针对初三学生已经具有一定的数学基础知识的特点，强调有背景的数学运用，让学生在运用知识、发现解题方法的过程中自觉地把所用的方法系统化、情境化。不同层次的学生在这样模式下的教学中仍然可以获得不同程度的成功体验。从直观观察到照套公式再到有目标地把问题进行转化后求解，符合从特殊到一般的数学学习规律，改变系统的、演绎的学习节奏，使得学生在复习过程中有新的体验。在课程结构上，可在本节课圆与基本几何图形间关系的基础上，后续设置圆与平面直角坐标系、解直角三角形等课程，把圆与其他几何知识交叉，构建学生的知识体系。

本节课的教学目标：

（一）知识目标：

1．        掌握圆、扇形、三角形的面积计算公式；

2．        熟悉平行线、三角形、四边形以及多边形等基本几何图形的性质；

3．        熟悉圆的性质.

（二）能力目标：

1．        能运用平移、旋转、轴对称等图形变换等方法对图形进行再构造；

2．        在解决问题的过程中能合理运用转化的数学思想把复杂图形转化为基本几何图形求解．

（三）情感目标：

通过本专题的学习，培养学生自主探究与合作交流的能力，感受到成功的快乐，并受到数学图形美的熏陶。

二、         学习本节内容的基础、地位作用、与其他知识内容的联系

学习本节内容所需要的基础：

平行线、三角形、多边形以及圆的性质，平移、旋转、轴对称、割补、等积变换等图形变换的方法，以及三角形、四边形、圆（扇形）的面积公式，用特殊角或者三角函数解直角三角形等。涉及的内容内容多，联系广。

本节内容的地位作用：

本节课是基于人教版新教材九年级下册的有关圆面积计算的专题复习课。由于圆本身所具有的数学美、趣味、规则、对称等特点，使得研究圆可以系统、规范、严谨地培养学生的数学思维。本节课通过把圆与面积计算相结合，运用平行线、三角形、四边形等基本几何图形的性质，引导学生去探索最优解题路径和方法，以提高学生对数学解题方法的认识，更好理解一些基本数学思想。同时通过本专题的学习，提高学生观察图形、分析、归纳整理信息以及应用转化的数学思想方法解决问题的能力，为后续的深入复习与提高打下良好的基础。

与其他内容的联系：

本节内容实际上是圆与基本几何图形间关系的运用，上承平行线、三角形、四边形、圆等基本几何图形的性质，下接平面直角坐标系、三角函数、解直角三角形等，是考察学生几何知识与能力的热点和难点，对学生的数学素养提出了较高的要求。设计本节课时我注重启发引导学生对基础知识和基本方法的发现和归纳，在此基础上进行拓展。

三、         教学诊断分析，学习本节内容时容易产生的问题

初三学生经过将近三年的学习有一定的数学基础，但是学习层次各有不同。大致可分为以下三个层次：

1.能通过观察发现图形所具有的特点，并能大概判断解题方向，但对基本几何图形的性质和计算公式不熟悉；

2.熟悉基本几何图形的性质、公理、定理、公式等，但不知道在什么样的条件下用哪些方法将知识综合运用；

3.对基本公理、定理、性质熟练，并掌握一定数学思想方法，在解题过程中能较为自如地运用。

由于学生的学习层次不一样，基础差的学生在得不到小组或者教师的支持时可能会放弃学习和讨论，因此教师要充分关注基础差的学生的学习状态，及时给予帮助和指导。

如引例3中，把阴影部分看成三角形和弓形组成的图形是解题的开始，发现面积相等的扇形是关键。引导学生看到切线和弦想到做辅助线（半径），看到平行线和三角形想到同底等高的三角形面积相等，明确每一步转化的意义，把原来阴影部分转化为扇形面积求解。

四、         本节课的教法特点以及预期效果分析

采用问题驱动的方式教学是本节课的特点。在教学过程中，分解目标、分小组讨论，重视学生的学习实际，发挥教师的引导作用。

教学指导思想是以教师为主导，以问题探究解决为主线，以培养学生的数学能力为目的；在问题解决过程中让学生体会、感悟、进而理解和逐渐掌握研究数学问题的基本思路和方法，在提高学习能力的同时提高自身的综合素质，为学生的终身学习与发展奠定坚实的基础。