中小学生提出数学问题能力评价探究

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摘要：自 20 世纪 80 年代以来，有关数学问题提出的教学研究已逐步引起国内外数学教育界的关注，对学生提出问题能力的评价也进行了一些探索性研究．对学生提出的问题可以从数量和质量两个方面进行评价．对于给定的同一情境，学生提出问题能力的水平可以用 5 个等级来刻画．学生提出问题的能力具有文化背景的差异．学生提出问题的数量多，或提出问题的速度快，并不能说明其提出问题的质量就好．

关键词：提出数学问题；评价指标；评价标准

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问题提出（Problem-posing）是人们基于一定的情境，通过对情境中已有数学信息的观察、分析，产生质疑、困惑，进而发现和产生新的数学任务或数学问题的过程．自 20 世纪 80 年代以来，有关数学问题提出的教学研究已逐步引起国内外数学教育界的关注．就学生提出数学问题能力的评价而言，国内外学者已进行了一些探索性研究．譬如，国外的Getzel 和 Jackson[1]曾要求测试对象提出运用与现实世界情境相关系列故事所提供的信息能解决的数学问题，根据为得到问题的结果所使用步骤的复杂性给被测者所提的问题打分．国内有贵州师范大学吕传汉教授和研究生周若虹采用定量评价和定性评价相结合的研究方法，在定量评价方面，以学生对“问题”信息的处理次数作为确立评价标准的主要依据；在定性评价方面，主要以学生的自我评价、学生小组评价、家长评价、教师评价等结果作为确立评价标准的主要依据[1]．本文试着对学生提出数学问题能力的水平进行等级划分，给出一个易于操作的关于学生提出问题能力水平的评价标准．

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  1 中小学生提出问题能力的评价标准    1.1 评价指标
对学生提出的问题，从数量、质量两个基本指标进行评价．
（1）数量：通过统计学生根据一个数学情境提出不同数学问题的数量及在一定时间内提出数学问题的速度来评价学生提出问题的能力．
     
首先区别什么是不同的数学问题．如对下面的数学情境：小红有 30 个玻璃弹珠，明明有 25 个玻璃弹珠，胖胖有20 个玻璃弹珠．学生提出以下 3 个问题：3 个人总共有多少个玻璃弹珠？如果把所有玻璃弹珠放在一起，将有多少个玻璃弹珠？所有玻璃弹珠的总数是多少？这 3 个问题虽然每一个都不同于另两个的说法，但它们都是对 3 个数的求和，其数学意义是一样的．所以这 3 个问题属于同一种问题，只能算一个．
其次，对于学生提出数学问题的速度，我们将学生根据同一数学情境提出不同问题的总数除以测试时间来衡量．在相同的时间内学生提出的问题越多，说明该学生提出问题的速度就越快，反之就越慢．
（2）质量：通过分析学生根据同一数学情境所提出问题的意义（价值）与复杂性两个层面来评价学生提出问题的能力．
我们将学生提出的问题作如图 1 所示的分类：

我们把问题根据其内容分类：（1）没有意义（价值）的问题，包括一般陈述、非数学问题、不可解的数学问题．（2）有意义（价值）的问题：可解的数学问题．
1.2 评价标准
根据评价指标将问题分为以下 3 类：
第一类：一般陈述、非数学问题、不可解的数学问题．
第二类：简单的数学问题：对已有事实、公式以及定义的机械性重现，或有确定的、可以遵循的一般规则、原理的解法，或运算、推理两步之内的问题．
第三类：有意义（价值）的或复杂的数学问题．复杂的数学问题指数学自身的复杂、繁难程度，如反问题、变式问题、拓展问题、原创问题、迁移问题、开放问题、探究问题、发展问题等．
对于给定的同一情境，学生提出问题能力的水平，我们用 5 个等级来刻画：
一级：提出 3 个以上不同问题中至少有一个属于第三类的问题和一个属于第二类的问题．
二级：提出 3 个以上不同问题中至少有一个属于第三类的问题和一个属于第一类的问题．
三级：提出的两个以上不同问题中至少有一个属于第二类的问题．
四级：提出一个属于第一类的问题．
五级：未能提出问题．
2 初中生提出问题能力的评价
2.1 研究对象及研究方法
由贵州师范大学吕传汉、汪秉彝主持的中小学“数学情境与提出问题”教学实验（以下简称数学“情境—问题”教学）[2]，在培养学生提出问题能力方面收到了良好的效果．本文正是以此实验为平台，采用定量评价的方法，对比经过两年多连续实验的初三实验班和未参加实验的初三班级的学生，根据同一数学情境提出数学问题能力的水平．分别选择了城市、城乡结合、乡镇 3 所中学的 4 个初三班级进行测试：贵州师大附中（以下简称师大附中）初三（2）班（实验班，47 人）和初三（3）班（非实验班，32 人）、贵州兴义市神奇中学初三（1）班（实验班，69 人）；贵州兴义市巴结镇巴结中学初三（1）班（非实验班，35 人）．共计初试 183人．以问卷的方式进行，发放测试卷 183 份，收回有效卷183 份．测试时间 20 分钟，并结合课堂观察及访谈方法．
    2.2 测 试 题
研究采用两个数学情境题，一个是代数情境，一个是几何情境．要求学生根据所给出的数学情境，提出尽可能多的数学问题．两个数学情境如下：
数学情境 1：“妈妈给小红 20 元钱，叫她买学习用品，商店里的笔记本价格是 3 元/本，圆珠笔 2 元/支……．”
数学情境 2：顺次连接一个正三角形各边中点，构成一个新的正三角形，并将此过程往复进行，如图 2．

2.3 学生提出问题举例
根据情境 1 提出的问题：
第一类：小红买了 5 本笔记本，又买了 5 支圆珠笔．（一般陈述）
第二类：买 6 支圆珠笔要多少钱？（简单的数学问题）
第三类：如果买笔记本超过 5 本，商店将打九折，20元最多能买多少笔记本？（发展问题）
根据情境 2 提出的问题：
第一类：第 100 个三角形它们的体积是多少？（不可解的数学问题）
第二类：第（2）图有几个三角形？（简单的数学问题）
第三类：当进行 n 次以后，阴影部分的周长与图（1）正三角形周长的比值为多少？（探究问题）
2.4 测试结果分析
2.4.1 根据两个情境提出问题水平的刻画
按照 1.2 的评价标准，对于测试卷的两个情境，我们采取综合统计分析的方法，用 5 个等级来刻画学生提出数学问题能力的水平．
一级：提出的 6 个以上不同问题中，至少有两个属于第三类的问题．
二级：提出的 6 个以上不同问题中，至少有一个属于第三类的问题和一个属于第二类或第一类的问题．
三级：提出的 4 个以上不同问题中，至少有两个属于第二类的问题或一个属于第二类的问题、一个属于第一类的问题．
四级：提出的两个以上不同问题中，至少有两个属于第一类的问题或提出一个属于第一类的问题．
五级：未能提出问题．
2.4.2 结果分析
（1）实验班与非实验班的学生根据两个情境提出问题的等级分析（如表 1）．

从表 1 我们可以初步看出，实验班 70%左右的学生提出问题能力的水平集中在一级水平，明显好于非实验班．
（2）实验班与非实验班显著性分析．
用 SPSS13.0 统计软件对实验班和非实验班进行问题总数、提出问题的速度和提出问题的质量的 t 检验．问题总数=第一类问题个数+第二类问题个数+第三类问题个数．对于学生提出问题的质量，我们采用权重计分的方法，按学生提出问题的类别赋予权值，分别赋予第一类、第二类、第三类问题的权值为 1、2、3，权重=1×第一类问题个数+2×第二类问题个数+3×第三类问题个数．
神奇中学实验班与巴结中学非实验班显著性分析结果如表 2 所示。

由表 2 可以看出，神奇中学实验班学生提出问题的总数、提出问题的速度、提出问题的质量都好于巴结中学非实验班．神奇中学实验班相对于巴结中学非实验班学生提出的问题总数和提出问题的速度经双测显著性检验，t=2.122，P=0.036<0.05，都具有显著性差异；提出问题的质量经双测显著性检验，t=4.643，P=0.000<0.05，具有显著性差异．
师大附中实验班与师大附中非实验班显著性分析结果如表 3 所示

由表 3 可以看出，师大附中实验班学生提出问题的总数、提出问题的速度、提出问题的质量都好于师大附中非实验班．师大附中实验班相对于师大附中非实验班学生提出问题总数和提出问题的速度经双测显著性检验，t=1.550，P=0.128>0.05，都不具有显著差异；提出问题的质量经双测显著性检验，t=2.963，P=0.005<0.05，具有显著性差异
师大附中实验班与巴结中学非实验班显著性分析结果如表 4 所示。

由表 4 可以看出，师大附中实验班学生提出问题的总数、提出问题的速度、提出问题的质量都好于巴结中学非实验班．师大附中实验班相对于巴结中学非实验班学生提出问题总数和提出问题的速度经双测显著性检验，t=10.505，P=0.000<0.05，都具有显著性差异；提出问题的质量经双测显著性检验，t=13.208，P=0.000<0.05，也具有显著性差异．
神奇中学实验班与师大附中非实验班显著性分析结果如表 5 所示

由表 5 可以看出，师大附中非实验班学生提出问题的总数、提出问题的速度、提出问题的质量都好于神奇中学实验班．神奇中学实验班相对于师大附中非实验班学生提出问题总数与提出问题的速度经双测显著性检验，t=?4.914，P=0.000<0.05，都具有非常显著差异；提出问题质量经双测显著性检验，t=?2.946，P=0.004<0.05，也具有非常显著差异．
师大附中实验班与神奇中学实验班对比结果如表 6。

由表 6 可以看出，师大附中实验班学生提出问题的总数、提出问题的速度、提出问题的质量都好于神奇中学实验班．师大附中实验班相对于神奇中学实验班学生提出问题总数和提出问题的速度经双测显著性检验，t=9.851，P=0.000<0.05，都具有显著性差异；提出问题的质量经双测显著性检验，t=9.062，P=0.000<0.05，也具有显著性差异．

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从上述统计分析可以看出：

第一，实验班与非实验班学生提出数学问题的能力存在显著性差异，实验班学生提出问题的能力明显高于非实验班的学生．

第二，学生提出问题的能力具有文化背景（主要指不同地区的教师素质、学生素质等）的差异．由表 5 和表 6 发现，师大附中不管是实验班还是非实验班，学生提出问题的情况都好于神奇中学实验班．师大附中是贵州省教育厅直属的重点中学，学校师资力量雄厚，教师基本上都具有本科学历，学生素质也比较好；神奇中学是一所城乡结合的中学，是一所集资创办的学校，学校办学不到 10 年，教师学历大部分是中师或专科，学生主要来源于城区其它中学筛选后的学生和一些郊区农村学生，家长多数为农民或个体经营者，家庭收入不是很稳定，文化水平不高，对子女的学习期望也不高。

第三，学生提出问题的数量多，或提出问题的速度快，并不能说明其提出问题的质量就好．从表 3 我们看出，师大附中实验班学生提出问题的数量和提出问题的速度与师大附中非实验班学生提出问题的数量和提出问题的速度没有显著性差异，但实验班学生提出问题的质量明显好于非实验班的学生．

第四，非实验班的学生对问题的描述、文字表达能力比实验班的学生要差．实验班学生经过一定阶段的提出问题能力培养以后，对数学问题的表达、描述要比非实验班的学生强．本研究尚有很大的发展空间，首先，研究可扩展到小学生、高中生，以及其它地域；其次，对评价指标、等级划分等还需深入探究．另外对于问卷的编制也需继续开发。

［参考 文 献］

[1] 周若虹，吕传汉．学生提出数学问题能力的评价[J]．贵州师范大学学报（自然科学版），2002，（2）：24-30．

[2] 吕传汉，汪秉彝．论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J]．数学教育学报，2001，10（4）：9-14。