关于小学“数学本质”的对话

桃小

关于小学“数学本质”的对话

作者:来自《人民教育》对话者：张奠宙(华东师范大学教授) 唐彩斌(浙江杭州现代小学数学教育研究中心主任)   

桃小

唐：常说“教什么比怎样教更重要”。今天我们讨论的话题是小学数学教学中常见的一些“数学问题”。不过许多人认为，小学数学谁都懂，您怎么看?

张：小学数学的内容并不简单。现在有关的教材、论文中就有不少数学上的瑕疵。作为小学数学教师，首先要居高临下，知道小学数学在整个教育当中的地位和作用；此外，小学数学也要“与时俱进”，体现时代特色。最重要的是，教师要展示数学的本质，提高学生的数学素养。今天，我们就来谈一些具体问题。

0为什么是自然数

  唐：小学数学中最大的学习领域是数与代数。关于自然数，大家议论最多的是，“0本来不作为自然数，现在怎么又说是自然数了”，究竟为什么?

    张：在上世纪90年代以前，自然数不包括0，但是1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》(GB3102．11)里规定：自然数包含0。

    唐：新课程小学数学教材，已经根据这一标准进行了修改。具体的表述是：用0表示“一个物体也没有”所对应的数。在教学中，有些老师觉得把0作为自然数，不大好接受。

    张：这只是习惯问题。0是自然数有许多理由。首先，人的经验是，从无到有。我们常说：“从零开始”、“零距离接触”，就表明0是最小的自然数。再比方说，魔术师总是先交代两手空空，再变出一只兔于，然后是两只兔子……铅笔盒中本来是空的，然后装进一支铅笔、两支铅笔，  等等。老子的《道德经》里说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”可见，一是由道——一种虚无的存在而产生的。第二，更重要的是书写的需要，10的位置记数写法是10。没有0，就写不出10，20，30，100。所以0，1，2……9这10个数字是最基本的。第三，0的出现可以保证自然数集有单位元a+0=0+a=a。在自然数中5-5=0，如果0不是自然数，那么5－5岂不是不能减了?

    唐：对啊。说到习惯，从某种意义上说是老师的习惯。对学生而言，由于尚未形成习惯，也未必就不好接受。

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感受100万粒米有多大有没有必要

    唐：近几年来，我们经常看到这样的教学片段：通过让学生认识“100万粒米的体积”，来认识100万有多大?您怎么看这样的教学?

张：当初设计这样的教案，初衷是好的，就是要大家体验一下100万是怎么来的。不过，数学教学要关注的是100万这个数的结构。至于说100万粒米有多大，知不知道无所谓。难道我们还要体验100万颗花生、100万个篮球有多大?有的文章问：100万张100元的人民币要多大的箱子装?这不是普通百姓需要的知识。关于100万的教学，主要精力要放在100万的结构，即如何形成100万上面。例如，我们可以设计这样的活动：从一个单位立方体出发，10个构成一排，10排构成一个正方形，10个正方形叠起来构成一个立方体，即1000。再以这个立方体作为新单位，10个一排构成万，10排形成新的正方形构成10万，最后，10个新正方形构成新的立方体，就是100万。这个过程是每个人都要弄明白的。

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分数究竟该如何定义

唐：很多教材都是这样定义分数的：单位1平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。这样的描述听起来比较自然，也符合“几分之几”的称呼，因而是引入分数的首选。
张：对，用份数的定义来引入分数是非常自然的。但这样说还没有体现引进分数的本质：分数是一个不同于自然数的新数。份数定义还停留在“几份”的思考上，还没有越出自然数的范围。1份，3份，是分数还是自然数?因此必须尽快过渡到分数的“商”定义：即分数是正整数a除以正整数b的商，记为a／b。用a除以b，当除得尽时(整除)，答案仍是“老朋友”——自然数。关键在于除不尽的情况，这时得到的商就是我们要结识的新朋友——分数。这个概念我们现在注意得不够，而这恰恰是我们学习分数的本质所在。
唐：您能举例说明一下吗?
张：比如1／4，它是一个整体平均分为4份中的一份。但是，这一份究竟有多大呢?1除以4的商是多大呢?它一定比1小，却又比0大。我们可以在数射线上标出它的位置：它在0和1之间，中间这一点是一半，就是1／2；在1／2和0之间再分一半，那个位置就应是1／4。这样一画，分数是“我们的新朋友”的特性就显示出来了。原来的自然数离散地分布在数射线上，现在的分数密密麻麻地填在射线上。商的分数的定义比份数的定义要深入一步，体现了引进分数的必要性。目前的教材只是说“分数和除法之间的关系”，未免不得要领。

唐：确实，以前我们描述分数与除法的关系时只是一般地描述为：分数中的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数。但到底是怎样的一种关系，尚不明晰。分数的商的定义，强调分数是一个新的数，这太重要了。张老师，您以前还提到了分数的另外一种定义，那是一种怎样的定义?
张：分数的第三个定义是比的定义：两个自然数a和b，b≠0，把比值a／b叫做分数。比和除，本来是一个问题的两个方面，我的意思是说，用比的概念之后，分数就可以扩大它的应用范围，使我们的视野更广阔。我记得我曾经请你做过一个调查。
唐：是的。当时我们组织了100多名学生，分别来自三、四、六年级。给他们看屏幕上的一个圆，这个圆被分成4份，其中的一份被涂成蓝色。然后问学生，你看到了哪些分数呢?让他们想两分钟，尽量写答案。结果如下表。

	总人数	1/4	3/4	1/2	4/1	1/3	3/1
三年级	39	38	14				0
四年级	39	36	17	10	8	8	2
六年级	38	36	8	3		3
合计	116	110	39	13	8	11	2
百分率		94.83	33.62	11.2	6.90	9.48	1.72

张老师，你怎么看这个数据?

张：我想，比的定义和我们原来份数的定义是相关的。份数的定义是说，分数表示的是一个整体平均分之后，其中的几份。从这个小调查看出，以整个圆作为“整体单位”的思维定式还是太强了。不仅仅是一个圆可以作为整体，1个半圆或3／4个圆也可以是整体。灵活地选择整体是理解分数的重要一步。我作为一个大学数学教师，看到的是1个圆里面有1块蓝、3块白，它们的比是1：3，首先想到的分数是1／3。所以，不能把一个整圆四等分作为一种定式，以至于看不到1块蓝与3块白之间的比。我想，比的定义也许和份数之间的灵活转换有一定的关系，我也希望老师们能把份数和比的定义联系起来思考。

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什么是代数

    唐：《数学课程标准(实验稿)》设置了“数与代数”的学习领域。过去，在小学里，对于数的认识我们比较熟悉。至于代数，相对来说比较陌生一些。怎么理解代数?

    张：代数学的英文名称是algebra，是9世纪阿拉伯数学家花拉子米一部著作的名称。原意是“还原与对消的科学”。什么叫做对消?大家知道的有正负对消，就是解方程时所谓的移项。所谓还原，就是把本来淹没在方程中的未知数x暴露出来，还原了x的本来面目。所以方程是和代数紧密联系在一起的。

    唐：一般在学习方程之前，我们都要先学习“用字母表示数”。方程理论就是“用字母代表数”吗?它们之间到底是一种怎样的关系。

    张：单单用字母代表数，还不是代数。例如，加法交换律写为：a+b=b+a，虽然也用字母代表数，却和代数的思想方法没有关系。用字母代表数，即设某量为x的做法，只是运用代数方法的第一步。代数的思想方法，其核心是基于含有x的“式”的运算来求得未知数，最后解决数学问题。从数的运算到“式”的运算，实行对消和还原，是算术与代数的根本区别。

    唐：小学数学的“代数”内容就是能够部分地解出一元一次方程；ax+b=c。至于ax+b=cx+d这样的方程小学里解起来还是有些困难。

张：难在含x的项的合并，即关于“式”的运算。小学里解方程，用字母代表数之后，主要使用逆向思维进行对消和还原。例如2x-1=5，用逆向思维也可以还原出x=3。中学里则要引入负数、进行“式”的运算，用同解概念进行对消和还原，按照程式化的规则，一步步机械地做下去就能得到解。那就是代数思维。这就是说，算术中的逆向思维也有还原和对消的思想，需要学习，但是思维过程是一题一解，没有固定的程式，不能程式化。所以，小学学习逆向思维不要搞得太难。太多了，反而会干扰未来方程的学习。

唐：关于方程概念的争论也很多。如：x=l，是不是方程?

    张：毛病出在“含有未知数的等式叫方程”。大家都把它当作方程的定义，所以会出现x=l，0xx=0，x-x=0是不是方程这样的怪问题。其实，这句话只谈了方程的表面，实在不重要。方程的本质是为了求未知数，在已知数和未知数之间建立一种等式关系。既然方程的本意就是要求未知数，如果x=l，未知数已经求出来了，也就没有方程的问题了。这类问题与我们学习方程知识没有关系，应当淡化。正如西南师范大学的老校长陈重穆先生所说，需要“淡化形式，注重实质”。

    唐：陈重穆先生是代数学家，首批代数学博士导师。他提出“淡化形式，注重实质”，值得深思。

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解决问题与应用题是什么关系

    唐：在数学新课程中，以前特别熟悉的应用题不见了，取而代之的是解决问题。请张老师从数学的角度谈谈这两者之间的关系。

    张：数学问题可以有多种分类方法。例如，可以分为常规的练习题和非常规的探究性问题。通常所说的“解决问题”，则比较关注非常规问题。另外，还可以分为纯数学问题和应用数学问题。像歌德巴赫猜想这样的纯数学问题，来源于数学内部；至于“神舟7号”飞行轨道的计算问题，则属于应用问题，来源于现实生活中各行各业所涉及的数量关系。小学数学里的应用问题是客观存在的，似乎不必回避。应用题可以改进，却不能取消。我们反对的是过去小学数学中那些矫揉造作、远离现实、缺乏教育价值的应用题。新的应用题，强调数学模型的建立，问题的条件可以冗余，数据需要取舍，模型需要建立，结果需要验证，值得提倡。

    唐：张老师，你常常提起20世纪最伟大的数学教育家弗赖登塔尔举过的一个例子：“昨夜外星人访问我校，留下了一个巨大的手印(图)，今夜他还要来，试问：我们给他坐的椅子应该有多高?他用的新铅笔应该要多长?”这个问题是应用题吗?

    张：我认为这是好的应用题。首先，这是一个学生喜欢的  题材，虽然不是实际发生的问题，却是可以领会理解的情境。正如鸡兔同笼问题一样，是一种好的数学模型。其次，它蕴含了丰富的数学思想，非常深刻地体现了比例的思想。学生通过测量巨人的手和自己的手的大小比值，然后按比例放大，将比值用于设计椅子高度和铅笔长度。这  是比、比例、相似等数学本质的体现。再如，日本有一堂公开课，内容是要求学生在一块矩形场地上设计花坛，使得花坛的面积为场地的一半。这是数学和艺术相结合的应用题。类似这样的问题就和过去的应用题有很大的区别，是我们需要关注的。

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小学几何内容为什么要增加

    唐：新课程在空间与图形领域增加了一些新的内容，从您的角度看，为什么要增加?

    张：几何学的内容很丰富。首先是直观几何，就是对平面图形、立体图形的认识；其次是一些求面积、体积的问题，属于度量几何。在实施新课程以前，小学数学主要包括这两部分内容。后来我们发现，大学数学的许多问题，它的原始思想是非常简单、非常朴实又非常重要的。于是就增加了以下三个方面的内容。第一是演绎几何，比如说垂直、平行、线段、射线这些名词都属于演绎几何的范畴。第二是运动几何，如平移、旋转和对称，是小学生需要和可以接受的内容。第三是坐标几何。总体来看，现在小学数学里的几何学，包括直观几何、度量几何、演绎几何、运动几何、坐标几何这五大块。  从过去的两块扩大到五块，扩大了我们几何学的视野，丰富了我们对几何学的感受，是十分有意义的改革。

唐：不过对于小学来说可能还是直观几何最为基本。张老师您认为直观几何学教学的重点是什么?

张：我想小学数学当中，直观几何最根本的或者最核心的内容就是用平面来描述立体。事实上我们生活的空间是三维的，接触的物体都是立体的，但是留在眼睛视网膜上的、画在教科书上的都是平面的；因此，空间图形平面化，通过平面图形想象空间物体是直观几何的重要内容。新课程的教材中，通过照相机从“不同角度下拍摄照片”，通过三视图科学描述简单对象，都是要用平面图形描写立体事物。