绿色圃中小学教育网

标题: “曲线与方程”的教学实践与反思 [打印本页]

作者: jyw 时间: 2009-8-8 10:42
标题: “曲线与方程”的教学实践与反思
2008年10月17日~19日，在嘉兴，那是思绪飞扬与心情澎湃的日子．尽管西塘古镇那通向久远的小巷故事伴着轻风潜入记忆滋润着心灵，但脑海中却总想着自己要送给孩子们什么？是“曲线的方程”？还是“方程的曲线”？或者是别的什么？
在第七次课题研讨会上，笔者以“曲线与方程”为课题进行了教学设计并进行了教学实践．本文是根据教学设计实施后，通过两次重新设计与教学实践再写出的反思，希望能为一线教师的教学提供参考．
第一部分　教学反思
在秀州中学上完课后，看着自己眼前的那群孩子，内心充满遗憾．那一刻，我甚至在想，自己要是能留在秀州中学一段时间该多好！
虽然感慨万千，但现在想来，最想写下来的有以下几点：
1．了解学生基本情况是进行教学设计和实施教学的重要条件
在设计和实施教学时，笔者不仅关注概念的形成，而且充分关注知识间的联系以及知识所体现出来的思想方法．但是，如果设计离学生原有的认知环境、认知水平有较大差异的话，在教学实施时是很难达到预期目标的．因此，进行教学设计时，了解学生是非常重要的．
例如，原设计中的“引子”是想让学生体会坐标法在刻画点中的重要作用，为将曲线与方程之间的对应关系转化为“点”与“坐标”之间的对应关系作准备．但是“引子”中的聚会地点是深圳市的某个位置，秀州中学的学生是不熟悉的，讲解时学生脑子中根本没有这个位置，所以教师费了较多的时间来说明环境，这是不可取的．
又如，原设计[问题1]中“台风”发生后轮船航道是否需要变化的问题，是学生在《数学2》中学习过的问题，设计的意图是想让学生在回顾的基础上重新认识“试验”的方法不可取，建立坐标系后可以通过考察直线与圆的方程所组成的方程组是否有解来解决问题，让他们体会坐标法的重要作用，为曲线与方程的学习提供兴趣与动力．但教学中发现不少学生对这个问题不了解（似乎没有学习过一样），被提问的学生回答说“把台风范围与航道画在纸上就能看出有没有危险”，这说明学生没有用坐标法思考问题的意识，这也就使得实现原设计的意图费时耗力．如果学生学习《数学2》时对这个问题所渗透的思想方法有深刻印象，或者课前让学生重新回顾了《数学2》上的这个问题，课堂上是可以做到更流畅地实现意图的．当然，从这个问题也能看到，教学中思想方法的渗透是多么重要！
再如，原设计中的[问题2]的设计意图，一方面是想为归纳曲线与方程提供特例，另一方面，我们知道曲线上的点的几何特征是求曲线方程的重要基础，而直线是没有定义的，因而直线上的点的几何特征难以表述，因此，这里试图以向量方法来刻画直线上的点的几何特征，以方便求出直线的方程，并从“统一性”的角度说明直线方程的形式是二元一次方程．在实际教学中，我们看到学生对两个向量平行的坐标刻画方式是不熟悉的，这也为课堂教学增加了难度．
由此可见，应充分重视了解学生、根据学生的认知水平设计问题的重要性．如果是给自己不了解情况的学生上课，教学设计中的问题应在能达到目标的前提下尽可能简单．
2．数学内容的地位与作用决定教学目标，教学目标的份量产生教学重点
如果不明确教学过程中的数学内容，或者不明确数学内容的地位与作用，我们就不可能制定出恰当的教学目标，就不可能通过教学培养学生的能力与素质．因此，对教学内容的解析，不仅可以明确内容中所涉数学概念的核心是什么，概念是否是核心概念，而且还是确定教学目标的依据．但有些情况下教学目标是不唯一的，不同目标在教学中所占的份量（或比重）也是不同的．因此，按照各教学目标所占的份量来产生教学重点就是一件自然的事情．笔者认为，应该在对教学目标进行解析时给出教学重点．
例如，对曲线与方程的内容进行分析后，我们确立了四个教学目标（见后），在对目标进行解析时，我们指出了目标中的（1）、（2）分别为第一课时、第二课时的教学重点．
3．教学过程的设计，必须紧密围绕教学目标（特别是教学重点）
设计问题串引导学生思考是教学过程设计的重点之一，设计的指导思想是有利于以最小的教学资源（如教学时间）来达成教学目标，也就是说所设计的问题必须紧密围绕教学目标，必须始终关注学生的知识构建和思想方法的提炼．
例如，在曲线与方程的第一课时中，我们的问题始终是围绕“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念形成（也是第一课时的教学重点）来设计的；而在曲线与方程的第二课时中，我们的问题就是围绕“求曲线的方程，并证明方程就是曲线的方程”（也就是第二课时的教学重点）来设计．在对原设计进行修改时，第一课时删去原来的[问题1]，增加[问题2]、[问题3]、[问题6],修改原来的[问题3]为现在的[问题4]，并把原来的[问题2]作为第二课时的[问题10]，第二课时设置[问题11]、[问题12]、[问题14]，就是基于上述原因．
4．教学支持条件不应仅是客观条件（如信息技术），更重要的是学生的认知基础
就本节课而言，学生对函数及其图象的了解，以及在《数学2》的学习中对直线方程和圆的方程的了解均是现在学习曲线与方程的重要支持条件．同时，学生对向量知识与向量运算的掌握程度，也是教学设计得以顺利实施的重要条件．如果没有这些基础，学生对曲线与方程的理解会更困难，也直接影响到教学过程的设计与实施．
第二部分　反思后的教学设计
一、教学内容与内容解析
1．内容：
（1）曲线的方程与方程的曲线的概念；（2）求曲线的方程；（3）坐标法的基本思想.
其中（1）、（3）为第一课时的内容，（2）、（3）为第二课时的内容．
2．内容解析：
“曲线与方程”是《普通高中数学课程标准》规定的教学内容．这一内容既是直线与方程、圆与方程理论的一般化，也是进一步学习椭圆、双曲线、抛物线的指导思想．尽管学习这一内容是学生体会并理解圆锥曲线与其方程的基础，但是更为重要的是使人们通过坐标系这座桥，可以利用方程以及代数的运算来研究曲线，这正是这一内容成为数学的核心概念的原因，也是曲线与方程这一概念的核心之所在．因此，教学时不仅要让学生学习如何求曲线的方程，而且要通过这一内容培养学生的坐标法思想，使学生明白求出曲线方程的真正意义在于利用曲线的方程去研究曲线.
事实上，研究曲线与方程的过程，就是把曲线的几何特征转化为代数中的数量关系，并通过代数中的运算等方便手段，处理已得到的数量关系来得出曲线的几何性质，并达到利用曲线为人们服务的目的．因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．
在平面直角坐标系建立以后，任何曲线都有惟一的方程，任何方程也都有惟一确定的曲线(或点集)．曲线与方程之间的一一对应的关系，是通过曲线上的点所成的集合与方程所有解所成的集合之间存在一一对应关系来建立的．因此，曲线的方程是曲线的惟一表示．这种表示，不仅为我们研究曲线提供了方便，还为人们表达自己的思想观点提供了一种规范，这是人们应该具备的基本素养．
二、教学目标与目标解析
1．目标：
（1）通过实例理解曲线的方程与方程的曲线的概念，能判断已经学习过的特殊的曲线与方程之间是否具有互为表示的关系；
（2）通过实例体会求曲线的方程的基本步骤，能求出给定了几何特征的曲线的方程；
（3）通过实例体会不同的平面直角坐标系对同一曲线方程的影响，体会如何“恰当”地建立平面直角坐标系.
（4）通过一些简单曲线的方程及其研究，体会坐标法的基本思想．
2．目标解析：
教学目标（1）、（4）是第一课时应该完成的目标，其中（1）是教学重点；（2）、（3）、（4）是第二课时应该完成的目标，（2）是教学重点．教学时，落实好目标（1）、（2）和（3）是实现教学目标（4）的前提与保证.
学生通过函数及其图象、直线的方程与圆的方程的学习，对曲线的方程与方程的曲线有了初步认识，但这只是一种意会，我们现在的任务是要建立曲线与方程之间的一般性的概念，让学生能从“定义”的角度去理解这些概念.
教学目标（3）是学生初学时不易达到的目标，教学时要提供学生熟悉的曲线（比如直线，圆等）在不同坐标系中的方程的简洁程度，让学生体会建立坐标系时应该关注的要点．
对许多与曲线有关的具体问题而言，原本是没有坐标系的．因此，通过这样的问题，可以使学生体会如何建立坐标系，求出问题中曲线的方程，并通过曲线的方程帮助解决问题，这应该是实现教学目标（4）的一种较好的方法．
三、教学问题诊断分析
1．如何理解曲线与其方程之间的关系？学生可以很流利地背出曲线与其方程应该满足的两条，但是如何证明“一条曲线与一个方程之间具有互为表示的关系”，这是学生学习时可能遇到的第一个教学问题，也是第一课时的教学难点. 这个教学问题可以结合“直线与其方程”、“圆与其方程”进行说明．
2．在求曲线的方程时，如何建立平面直角坐标系？这是学生会遇上的第二个教学问题，也是第二课时的教学难点．教学时，应通过实例，帮助学生总结出建立坐标系的基本要点，并用具体问题让学生练习进行体会．
3．在将曲线上的点应该满足的几何特征转化为点的坐标应满足的等式后，常常遇上“将所得等式化简得到所求方程”的问题．对于有些复杂的等式，化简是一个学生不易把握的问题，学生在此极易出错，这是第三个教学问题.教学时不能因为这个问题而使教学偏离重点，因此教学时可适当使用信息技术工具以解决这个问题.
4．学生学习时，可能会因更多地关注代数运算而忽略数学思想的提炼，这个教学问题的解决，需要教师有目的地进行引领.
四、教学支持条件
1．在进行曲线与方程的教学时，学生已经在数学必修1中学习了函数及其图象，在数学必修2中学习了直线的方程与圆的方程，这些内容是学生理解曲线与方程概念的重要条件，因此教学时应予以充分注意，引导学生多进行归纳与概括.
2．向量是刻画直线的几何特征、位置关系以及进行运算的重要工具，学生在数学4时学习了平面向量，这就使其成为学习本内容的重要支持．
3．曲线与方程是数形结合的典范，教学这一内容时会涉及大量图形的绘制与方程的简化等代数运算，因此，图形计算器或几何画板是重要的支持条件，教学时充分注意这一条件，不仅可以节省大量时间用于学生思考，而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分

作者: jyw 时间: 2009-8-8 10:43
、教学过程设计
第一课时
[问题1]如果你邀请朋友在你所在城市的某餐馆聚会，你会怎样告诉他（她）聚会地点？例如，如果聚会地点在“深圳市笋岗路南，宝安路东的澳葡街”（如图一），你会怎样说？
　　　
　　　　　　（图一）　　　　　　　　　　　　　　　　（图二）
意图：通过建立平面直角坐标系，用坐标来刻画点的位置，为后面用点与坐标的对应关系来研究曲线与方程的关系作准备，同时让学生体会坐标法思想．
师生活动：教师提出问题让学生思考，然后通过建立平面直角坐标系，给出聚会地点的坐标（如图二）．
[问题2]请你先在纸上画出一条直线与一个圆，然后与你同桌同学所画的图形进行比较，你们所画的图形一致吗？如果要大家画的直线与圆都一样，然后研究直线与圆的位置关系，该怎么办？
意图：通常情况下，不同学生画出的图形是不一致的．如果是在平面直角坐标系中，只要给出了直线与圆的方程，那么不同学生画出的直线与圆应该是一样的位置关系，提此问题主要是让学生增加曲线与方程的感性认识，并由此认识坐标系的重要作用，进一步体会坐标法思想．
师生活动：（1）教师提出问题后让学生先画一条直线与一个圆，然后同桌进行比较．
（2）给出直线与圆的方程分别为、，然后让学生在同一坐标系（两轴上的单位长为1 cm）中画出图形．
（3）计算圆心与直线的距离，并回答直线与圆的位置关系．（4）学生回答问题．
[问题3]为什么说方程表示一、三象限的平分线？
意图：学生已经知道平面直角坐标系中的点与坐标是一一对应的，也知道方程确实可以表示一、三象限的平分线，但并不知道这是为什么，而这正是本节课要学习的内容．因此，本问题是为引出曲线与方程的概念作准备．
师生活动：（1）教师提出问题后让学生说说“为什么表示一、三象限的平分线？”
（2）指出：一、三象限的平分线上的点组成集合，方程的全部解组成集合，那么P、Q之间有什么关系呢？
（3）通过说明P、Q之间存在一一对应关系，让学生体会方程与一、三象限的平分线可以互相表示的原因．
[问题4]我们知道，圆心在(0,1)，半径为2的圆C可用方程表示，可这是为什么呢？
意图：通过对本问题的研究，让学生发现圆与其方程之间的关系和直线与其方程之间的关系完全类似，以此丰富学生对曲线与方程的认识，为归纳得出曲线与方程的概念作进一步的准备．
师生活动：（1）教师结合讲解给出下列过程：
设点是圆C上任意一点，则
，
因此，即的坐标是方程的解．
反过来，设是方程的解，则
，
即　　　　　　　　　　．
所以，对应的点M满足，即点M在(0,1)为圆心，2为半径的圆C上．
（2）给出，，帮助学生体会到：P、Q之间存在一一对应关系．
[问题5] 对一般的曲线与方程，你能给出方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线的概念吗？
意图：让学生在归纳概括[问题3]、[问题4]的基础上，给出曲线的方程与方程的曲线的概念.
师生活动：（1）让学生先思考，然后教师引领学生阅读教科书上的“定义”，给出曲线的方程与方程的曲线的概念：如果曲线C上的点的坐标都是方程f (x,y) = 0 的解；反过来，以方程f (x,y) = 0 的解为坐标的点都是曲线C上的点，那么，方程f (x,y) = 0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f (x,y) = 0的曲线.
（2）教师引导学生总结出：若，，则“方程f (x,y) = 0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f (x,y) = 0的曲线”等价于“P、Q之间存在一一对应关系”．
[问题6]我们知道，直线x-y = 0上的点到两坐标轴的距离相等，你认为到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是否为x-y = 0？
意图：让学生根据曲线与方程的概念来判断，以此加深对概念的理解，并得到“方程是曲线的方程”或“曲线是方程的曲线”否定方法．
师生活动：（1）学生思考、交流，发现“直线x-y = 0上的点到两坐标轴的距离相等”，但是，发现点（－1,1）到两坐标轴的距离相等，但（－1,1）的坐标不是方程的解，而是方程的解．
（2）得出结论：“到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程不是x-y = 0，而是”．
（3）在教师启发下，帮助学生总结出“方程是曲线的方程”或“曲线是方程的曲线”的否定方法：若曲线C上存在点，其坐标不是方程f (x,y) = 0 的解，或方程f (x,y) = 0存在解为坐标的点不是曲线C上的点，则方程f (x,y) = 0不是曲线C的方程，曲线C也不是方程f (x,y) = 0的曲线.
（4）学生完成教科书P37练习第1题，并将题中的“中线AO（O为原点）所在直线的方程”修改为“中线AO（O为原点）的方程”后，提问学生结论有无改变？
（5）学生完成P37练习第2题．
[问题7] 你能画出函数的图象吗？图象上的点相应于坐标轴的距离而言具有怎样的几何特征？是否具有这些几何特征的点都在图象上？
意图：在一定意义上，这个问题是[问题6]的延续,用以帮助学生巩固刚得到的认识，进一步体会如何判断“方程不是曲线的方程”或“曲线不是方程的曲线”．同时使学生认识到，用解析式表示的函数与其图象之间的关系，其实就是方程与曲线之间的关系，以此可以丰富并巩固对曲线与方程之间的关系的认识.
师生活动：（1）师生画出函数的图象（可以利用信息技术工具）．
（2）学生思考“图象上的点相应于坐标轴的距离而言具有怎样的几何特征”，利用信息技术工具探究，可能归纳出的几何特征是“图象上的点到两坐标轴的距离的乘积是常数”．
（3）学生思考：“到两坐标轴的距离的乘积是常数的点都在图象上”吗？
（4）师生得出“到两坐标轴的距离的乘积是常数的点的轨迹方程是”．
（5）证明所得结论，完成教科书P35例1．
[问题8]你能说说本节课学习的主要内容是什么吗？
意图：对本节课进行总结，并以此帮助学生归纳与概括学习内容．
师生活动：让学生明确本节课主要研究的内容是：（1）满足怎样的条件，方程f (x,y) = 0与曲线C的可以互相表示？（2）怎样证明一个方程是曲线的方程，或曲线是方程的曲线？
第二课时
[问题9] 阅读教科书P35“2．1．2求曲线的方程”的第一段内容，你能得出什么结论？
意图：明确解析几何研究的基本内容：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质．
师生活动：学生阅读教科书并提炼回答内容，请学生回答，教师点评．教师指出，本节课的主要任务是求曲线的方程．
[问题10]我们知道，在平面直角坐标系中，经过点，且方向向量为的直线是惟一确定的，你能求出这条直线的方程吗？怎么说明你所求得的方程就是这条直线的方程呢？
意图：直线是没有定义的，因此要想像圆那样把直线上的点所满足的几何特征表达出来是一件困难的事情，但[问题10]蕴含了刻画直线上的点应满足的几何特征的一种方式，并且这种方式具有普遍意义．同时，[问题10]还给出了求曲线方程的最重要的环节：将曲线上的点应满足的“几何特征”等价转化为点的坐标应满足的“数量关系”.
师生活动：（1）教师引导学生复习两个向量平行的刻画方式：在平面直角坐标系中，若，则　
（2）教师讲解：设点是所求直线上的任一点，则点应满足的几何特征是：
　　　　　　　　　　　　．
因此，所求直线可以看成点集．
因为，又，所以
　　　　．
设，下面证明所求的直线方程为：
　　　　　　　　　　　．　　　　　①
设点是所求直线上的任一点，由上面的过程知点的坐标是方程①的解；反过来，设是方程①的解，由于以上每一步都可逆，所以对应的点在所求直线上．
所以，方程①就是所求的直线方程．
（3）教师引导学生对[问题10]中的直线进行分析，然后指出：方程①可以表示平面直角坐标系中的任意一条直线，由此可以看到：任何直线的方程均是二元一次方程，任何一个二元一次方程均表示直线．
[问题11] 如果给出A，B两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)，动点P到A,B的距离相等. 你知道动点P的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？
意图：学生通过已学知识知道，本问题中的点的轨迹是直线（而且是线段AB的垂直平分线），他们可能会用中点公式求出线段AB的中点，并通过求出AB的斜率而得出直线的斜率，最后用直线的点斜式写出直线方程．但如果问学生：为什么问题中的点的轨迹是直线？如果所求轨迹不是直线，你怎么能用求直线方程的方法去求呢？很有可能学生回答不出原因来，这就为用求曲线方程的一般方法求出轨迹方程，并用[问题10]的结论说明“点P的轨迹是直线”提供了可能．这个问题的另一个意图是让学生体会求曲线方程的步骤．
师生活动：（1）教师给出问题后问学生：你知道点P的轨迹是什么吗？你会怎样求出点P的轨迹？
（2）如果学生是用求线段AB的中垂线的方式求出点P的轨迹方程，那么问点P的轨迹为什么是线段AB的中垂线？
（3）教师按教科书P35例2　的方式求出点P的轨迹方程，并按定义证明自己的结论．
[问题12] 已知A，B 是平面上两个定点，动点P到A,B的距离相等. 你知道动点P的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？
意图：［问题11］可以让学生体会到求曲线方程的基本步骤，但由于问题中已经建立了坐标系，所以步骤不完整．本问题的一个重要作用就是让学生体会如何建立平面直角坐标系，并以此完善求曲线方程的步骤．
师生活动：（1）让学生比较［问题12］与［问题11］有什么相同点与不同点．
（2）让学生尝试着建立平面直角坐标系，体会建立平面直角坐标系的要点．
（3）教师帮助学生总结出以下两种建立坐标系的方式：

（4）师生一起总结建立坐标系的要点：如果曲线（或轨迹）有对称中心，通常以对称中心为原点；如果曲线（或轨迹）有对称轴，通常以对称轴为坐标轴；尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上.
[问题13] 你能简要地说出求曲线方程的步骤吗？
意图：帮助学生总结求曲线方程的基本步骤，并了解各个步骤的地位与作用．
师生活动：通过引导学生归纳总结［问题11］与［问题12］的求解过程，得出下列求曲线方程的步骤：
(1)建系设点：设动点M的坐标为（x,y）；
(2)写出集合：P={M|p(M)}；
(3)写出方程：根据p(M）写出f(x,y)=0;
(4)化简方程：化f(x,y)=0为最简形式；
(5)验证结论：解为坐标的点在曲线上.
[问题14]已知平面上的线段的长为，动点位于线段所在直线的同一侧，且向线段所张的角恒为，动点的轨迹是否有有限长度？若有，你能求出其长度吗？
意图：学生通过平面几何知识可以知道动点的轨迹是一段圆弧，但他们并不知道这是为什么，或者说很难由平面几何的方法证明他们的结论．通过求曲线方程的方法，我们可以得出点的轨迹方程，并可由方程说明轨迹是一段圆弧．因此，本问题可以让学生更深刻地感受曲线与方程之间的关系，体会求曲线的方程的重要意义不仅在于寻求曲线的表示，而且在于研究曲线的性质．
师生活动：
（1）教师讲解：以所在的直线为x轴，以线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则，．设点在x轴的上方，坐标为，则点的集合为
　　　　　　　
．
由于
因为所以
　
所以，点的坐标满足方程；
反过来，由于上述的步骤均可逆，所以方程①的解作为坐标的点都在集合P中．
所以，点的轨迹方程是①，点的轨迹是一段以2为半径的圆弧，它的长度是整个圆的．因此，动点的轨迹的长度为
（2）提问学生，有无其它建立坐标系的方法使点的轨迹方程更简单，更简单的原因是什么？
（3）提问学生思考：为什么不能把作为点的轨迹方程？
（4）学生练习教科书P37练习第3题．
[问题15] 已知一条直线和一个点，点到的距离是2．一条曲线上面的点到的距离减去到的距离所得的差都是2．你能建立适当的坐标系，求出这条曲线的方程吗？
意图：这是根据教科书P36的例3改编的问题，意在帮助学生熟悉和巩固求曲线方程的步骤.
师生活动：
（1）师生一起讨论如何画出图形，如何建立坐标系．
（2）让学生按步骤求出曲线的方程．
（3）师生一起讨论如何避免轨迹中出现多余的点或方程中出现多余的解．
（4）简化求解步骤．
[问题16]建立坐标系后，是否存在一条曲线有两个不同的方程？你能以[问题14]和[问题15]为例，归纳一下你本节课学得的东西吗？
意图：归纳总结本节内容.
师生活动：学生思考交流，教师帮助总结出以下值得关注的问题：
（1）如何建立平面直角坐标系？
（2）准确写出几何特征p(M).
（3）将几何特征转化为数量关系而得出方程.
（4）简化方程的过程是否同解变形.
六、目标检测设计
1．求中心在原点，半径为2的圆位于直线上方部分所对应的方程．
设计意图：让学生体会曲线与方程之间的对应关系．
2．教科书P37，习题2.1：A组第3、4题；B组第1题．
　设计意图：巩固曲线与方程的概念，体会如何求曲线的方程（或求轨迹方程）．
3．已知平面上的线段的长为，动点向线段所张的角恒为，你能求出动点运动的轨迹的长度吗？
　设计意图：让学生学会用方程来判定轨迹是什么，并进一步研究曲线的几何性质．
结语：“世界上所有的勇士，无不为这伟大的心灵而心潮澎湃，从中国的高山到海岸，我们依然能听到李小龙的呐喊．”这是人们对中国功夫“截拳道”的创立者李小龙的赞美！李小龙说过，“截拳道”不是一种拳术，不是一个门派，它是一种融会贯通的武学思想．李小龙正是由于掌握和运用了武学思想，才使得他打败众多敌手，并使中国功夫名扬天下，他也因此获得人们的崇敬和赞美，并永远地活在人们心中．我在想，一个学生的数学功夫要好，是只掌握解题中的“一招一式”就行呢，还是要更多地关注“招式”中的数学思想呢？
文

欢迎光临绿色圃中小学教育网 (http://lspjy.com/)