在体悟中深化思维——《找规律》教学实录及评析

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《找规律》是现行课标教材中的新增内容，是培养学生合作探究与创新思维能力的有效载体。教师在教学这一内容时往往更多地关注规律的获得，而恰恰相反，对规律获取的过程可能比掌握规律本身来得更重要。以下案例是我市一数学教师执教国标本苏教版五年级下册第五单元的施教过程，她较好地阐释了课标所倡导的教学理念：要让学生在获取知识的过程中进行动手操作、体验、感悟，以不断深化学生的数学思维。

    一、创设情境激发参与

    师：数字王国有许多数字朋友，瞧(多媒体课件出示)：1、2    、3、4、5、……、98、99、100。若每次用这个红框框住其中的两个数，那一共可以得到多少个不同的和?请同学们大胆猜想。

    生：可能有99个。

    生：可能有50个。(也有学生说可能有98个、100个等)

    师：到底有多少个呢?这儿100个数比较多，答案又不能确定，咋办?

    生：我们可以先选择其中较少的数，比如10个数进行研究，看看有没有什么规律。(学生齐声附和“对”)

    【评析】此处开课简单明晰，从”数字王国”有许多数字朋友谈起，若给你连续的100个自然数，每次框两个数，让学生猜想会有多少个不同的和，激发了学生参与学习的内需，而且题材与本课新授内容紧密结合，为探究新知作了较好的伏笔。同时，由于所给数字较多，答案不能确定，在教师的引导下学生想到了可用较少的数字作为研究对象，这本身就影射了一个重要的数学思想：难的不会想，想简单的。

    二、动手操作合作探究

1．了解平移，感知规律

师：下表的红框中两个数的和是3。在表中移动这个框，可以使每次框出的两个数的和各不相同。一共可以得到多少个不同的和？

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先引导学生读题，明晰题意后，教师提出：同学们可以动笔画、算、框，也可以借助提供给你的红框来框一框，看看到底有多少个不同的和。同桌同学可以合作。(学生合作探究)
师：谁愿意来汇报?并且要告诉我们，你是用哪种方法得到不同和的个数的?
生：我是用红框框的，共有9个不同的和。
师：你在框的过程中平移了几次?

生：8次。

师：哪8次?你能否到台前来演示一下给同学们看看?(该生到台前进行了演示)
师：你们还想用红框来再框一次吗?(生：想)要求：一个同学框，另一个同学帮着数一数，看看平移了几次、有几个不同的和，并把结果填到”研究表”中。(同桌学生开始动手操作、合作探究，并填写了下表)

每次框几个数	平移几个数	得到几个不同的和

师：有没有同学跟他思路不一样，但也能得到9个不同的和的?

生：我不是利用平移，而是用数的方法的，有(1、2)，(2、3)，(3、4)……(8、9)，(9、10)，共9个。师：这个同学的方法实际是用了我们以前学过的方法叫——?(生：列举)那不管是用平移的方法，还是用列举的方法找不同和的个数，它们都有一个共同的特点，你知道是什么吗?(生：要按照一定的顺序进行)对，我们在找规律或解决问题时，往往都需要“有序思考”(板书)。

【评析】在本块教学中，学生在操作的基础上清楚地了解了“平移”，为后面的探究过程扫除了认知障碍，能让学生更好地在操作中体悟规律。由于教师的开放教学，使得学生有了较大的探究空间，有学生用教师提供的学材进行”框”，从而得出结果，也有学生用列举的方法得出结果。不管是哪种方法省6应讲究“有序思考”，这是比找到规律本身更重要的数学思想，在本环节教学中得到了较好的体现。

2．猜想验证发现规律
师：如果每次框出3个数，一共可以得到多少个不同的和?你能通过平移找出答案吗?(多媒体课件同时出示下图)

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(同桌学生合作探究后汇报)
生：每次框3个数，平移了7次，得到8个不同的和。
教师请学生到台前来演示如何平移，让结果在操作的基础上得到了更好的诠释。

师：如果在上表中每次框出4个数或5个数，你能猜想一下分别能得到几个不同的和吗?

生：每次框出4个数时能得到7个不同的和。

生：每次框出5个数时能得到6个不同的和。

师：你们的猜想到底对不对呢?有什么好办法让别人心悦诚服吗?(生齐说动手验证，于是，学生两人一组合作进行了动手验证，并把操作的结果填到了上面的“研究表”中)
教师把一组学生探究后填写的“研究表”放到了实物投影仪上。

每次框几个数	平移几个数	得到几个不同的和
2	8	9
3	7	8
4	6	7
5	5	6

师：观察表格，你能发现什么规律?把发现的规律在小组内交流一下好吗?(学生组内交流后开始汇报)

生：每次框的数一次比一次多l。

生：平移的次数也是一次比一次少1。

生：我发现横着看表格也有规律，2+8：10、3+7=10……生：(激动地)我发现也就是“每次框几个数与平移的次数合起来正好是给定数的总个数即为10个”。(学生自发鼓掌，教师适时在表格前用大括号标出了10，并写上“总个数”三个字)

生：平移的次数总比不同和的个数少1。
生：也就是“平移的次数加1就能得到不同和的个数”。
……

【评析】每次框3个数能得到多少个不同的和”是学生在本节课中的第二次操作，至此学生已隐隐感觉到有一种内在规律，但还处于口欲言而不能达且不确定的状态。教师此时提出如果每次框4个或5个数分别能得到多少个不同的和，并没有让学生进行直接操作，而是让学生先作猜想，顺应了学生的学习状态，符合学生的认知规律，也进一步激发了学生动手验证猜想的欲望。在实例的基础上，教师又提了一个较为开放的问题：”观察表格，你能发现什么规律?”开拓了学生的思维空间，让“规律”渐显。

三、归纳类推完善认知
师：如果我们把数增加到15个，每次框2个数能得到多少个不同的和?是否也有类似的规律呢?(多媒体课件出示下图)

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(学生不需要教师吩咐，已自觉开始同伴合作、动手操作并进行了汇报)

生：通过操作，我们发现有14个不同的和。(该生还主动到台前来为同学们进行了演示验证)

生：跟我们上面发现的规律完全相同，每次框的个数与平移的次数加起来正好是15，即为数的总个数。平移的次数加1仍然是不同和的个数。(学生附和同意)

师：在这个1-15的数表中，若每次框3个或4个数呢?

(学生直接进行了口答)
师：那我们在课始时，提到了数字王国中1~100这连续的100个数排成一排，每次框两个数，现在你能准确地说出有多少个不同的和，并能说明理由吗?
生：100个数，每次框住两个数，需要平移98次，即有98个不同的和，再加上开始框住的两个数有1个和，那么肯定有99个不同的和。(生再次自发鼓掌)

师：若每次框3个数或4个数……(生答略)

师：同学们真聪明，这么快就找到了规律，那现在有一个稍难的题，不知你们敢不敢接受挑战?(众生：敢)如果现在有m个不同的自然数排成一行，每次框n个数，请问需要平移多少次?能得到多少个不同的和?(学生讨论后汇报)

生：平移的次数是(m-n)。

师：能说说你们的想法吗?

生：因为经过前面的研究，我们发现平移的次数加每次框的个数都正好是数的总个数，所以平移的次数应该是(m-n)。

生：不同和的个数是(m-n+1)。

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【评析】规律是否具有普遍适用性，光靠10个数不具有普遍意义。教师很快把学生的眼光引向15个数，甚至课始所提的问题100个数，既照应了开头，也把学生的思维引向深入。在大量的例证基础上，规律己不言自明，但教学并没有就此打住，而是把学生引向更深层次的思考：数的总个数为m，每次框n个数，结果会怎样?这样的教学环节，不仅把握住了学生思维发展的可能(用字母表示数己学过)，而且进一步完善了学生认知，深化了思维。

四、丰富题材灵活应用

    师：其实，今天学习的规律在我们的生活中也常常见到，接下来咱们一起来看一段视频“妙手推推推”节目，在看电视的过程中请同学们注意画面中出现了几个数，有没有我们今天学习的规律在其中体现。(播放视频，最后留下一视频主画面)

师：用数学的眼光，刚才你看到了什么?

生：我看到画面中有9个数。

    生：在推的过程中每4个数就正好组成了一个物品的可能价格。

生：这个电视画面中，有今天我们学习的规律隐藏在里面，正好有9个数，每次框住4个数，说明主持人刚才在推(平移)的过程中推了5次，一共有5+1=6种不同的框法，即有6种不同的价格组合。

……

师：这样的规律在我们学习26个英文字母中也可运用，如果每次框4个字母，共有多少种不同的框法?(多媒体课件出示)

A、B、C、D    、E、F、G、H……X、Y、Z

  (生直接口答并说明了理由，过程略)

  最后学生独立解决教材P56的练一练及P59的第1、2两题，并进行了交流。

【评析】“妙手推推推”节目让学生充分体会到数学在生活中的广泛应用，感受到数学是生活的、有趣的，让数学课堂变得更加生动。特别值得一提的是：学生在看视频时，教师不仅仅是让学生看，更注重让学生带着问题观察思考“有没有我们今天学习的规律在其中体现”，让精彩片段更精彩，更具有“数学昧”。由于教师提供了丰富的练习素材，学生在灵活运用中不断受到启迪，进一步深化理解了规律，从而达到了增强能力和发展智力的目的。

【总评】

    1．合理活用教材，重在“找”

    教学活动的组织与开展没有囿于教材。整堂课如行云流水，层次清楚，学生的思维在不断得到深化，这与教师深入研读教材、领会教材编写意图是分不开的：通过动手操作让学生发现规律，在规律的运用中深化理解。除教材中提供的学习材料外，教师紧扣“找规律”的“找”字，先从数字王国的话题谈起，激发学生欲”找”，而后通过一系列丰富素材让学生经历了实实在在的探究“找”的过程，可以说学生的智慧得到了启迪。最后，让数学规律回归生活，在灵活运用中感受到了数学的价值所在。

2．操作体悟规律，重在“思”

动手操作、合作探究，在教师的有效引导下体验感悟到规律是本节课的亮点，但比”找到规律”更重要的是启发学生进行”有序思考”并让学生的思维不断深化。当学生通过“研究表”发现很多规律时，教师没有停步，而是引导学生马上深入思考“10个数有这样的规律，那这种规律在15个数是否同样存在呢?100个数呢”，直至学生能用字母表示。学生发现规律应该是一个不完全归纳的过程，而只有通过更多实例才能让学生更信服”规律”，这本身又给了学生一个较规律本身更重要的科学思考问题的态度：思考问题要全面。好的数学课堂应该是以智慧来启迪智慧，让学生在不断的深“思”中提升数学思维品质。