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质数 合数 分解质因数
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作者:
admin
时间:
2009-6-25 09:40
标题:
质数 合数 分解质因数
在自然数中，一个数除
1
和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如
2
，
3
，
5
，
7
，
11
，……都是质数．一个数除了
1
和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如
4
，
6
，
8
，
9
，
12
，……都是合数．
1
既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和
1
．
偶数中只有
2
是质数，而且是所有质数中最小的一个．除
2
以外所有的偶数都是合数，除
2
以外所有的质数都是奇数．
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为
70=2
×
5
×
7
，所以
2
，
5
，
7
是
70
的质因数．
把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，
60=2
×
2
×
3
×
5=22
×
3
×
5
，把
60
这个合数用
2
×
2
×
3
×
5
或
22
×
3
×
5
的形式来表示，就是把
60
分解质因数．
例
1
两个质数的积是
46
，求这两个质数的和．
分析：
两个质数的积是
46
，
46
是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有
2
，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决．
解：
因为
46
是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有
2
，另一质数
46
÷
2=23
，所以
2
与
23
的和为
25
．
例
2
用
2
，
3
，
4
，
5
中的三个数能组成哪些三位质数？
分析：
首先考虑个位数字是几，如果个位数字是
2
或
4
，这样的三位数必能被
2
整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是
5
，这样的三位数必能被
5
整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是
3
，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是
3
的三位数为：
243
，
423
，
253
，
523
，
453
，
543
，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数．
解：
如果组成的三位数的个位数字是
2
、
4
、
5
时，这个数必能被
2
或
5
整除，因此个位数字只能是
3
，而个位数字是
3
的三位数有
243
，
423
，
253
，
523
，
453
，
543
，其中
243
，
423
，
453
，
543
均能被
3
整除，
253
能被
11
整除，所以只有
523
是质数．
质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，最好记住
100
以内的所有质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数．
例如，判断
100
以内的数是否是质数，只需用
2
、
3
、
5
、
7
这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数．判断
97
是不是质数，因为
97
不能被
2
，
3
，
5
，
7
中的任何一个整除，因此
97
是质数．为什么不必去试除比
97
小的所有的质数呢？因为
97
不能被
2
，
3
，
5
，
7
中的任何一个整除，它就一定不能被
4
，
6
，
8
，
9
，
10
等数（分别为
2
，
3
，
5
的倍数）整除，又因为，如果用
11
或大于
11
的质数去试除，
97
÷
11=8
…
9
，
97
÷
13=7
…
6
，其商为
8
、
7
，比除数还小，都已试除过，因此判断
100
以内的数是否是质数只需用
2
，
3
，
5
，
7
去试除．
判断
200
以内的数是否是质数，只需用
2
，
3
，
5
，
7
，
11
，
13
，
17
这七个质数去试除；判断
300
以内的质数，只需用
2
到
17
这七个质数去试除；判断
400
以内的质数，只需用
20
以内的八个质数与去试除；判断
500
以内的质数，只需
2
到
23
的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下
1000
以内的质数如何判断？
例
3
将
40
，
44
，
45
，
63
，
65
，
78
，
99
，
105
这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．
分析：
如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的．要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的答案．
解：
将八个数分解成质因数：
40=2
3
×
5
44=2
2
×
11
45=3
2
×
5
63=3
2
×
7
65=5
×
13
78=2
×
3
×
13
99=3
2
×
11
105=3
×
5
×
7
这八个数分解质因数后一共有
6
个
2
，
8
个
3
，
4
个
5
，
2
个
7
，
2
个
11
，
2
个
13
．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有
3
个
2
，
4
个
3
，
2
个
5
，
1
个
7
，
1
个
11
，
1
个
13
，这样可以得到两组分别为：
40
，
63
，
65
，
99
和
44
，
45
，
78
，
105
．
例
4
360
有多少个约数？
分析：
如果先求
360
的所有约数，再数出它们的个数，显然比较麻烦．为此，先将
360
分解质因数：
360=2
3
×
3
2
×
5
，
360
的任意一个约数均由若干个
2
或
3
或
5
组成，我们将
360
的所有约数列成下面的数阵：
1
2
2
2
2
3
3
2
×
3
2
2
×
3
2
3
×
3
3
2
2
×
3
2
2
2
×
3
2
2
3
×
3
2
5
2
×
5
2
2
×
5
2
3
×
5
3
×
5
2
×
3
×
5
2
2
×
3
×
5
2
3
×
3
×
5
3
2
×
5
2
×
3
2
×
5
2
2
×
3
2
×
5
2
3
×
3
2
×
5
这个数阵共
6
行，每行
4
个约数，所以
360
共有
4
×
6=24
个，而
24=
（
3+1
）×（
2+1
）×（
1+1
），这里
3
，
2
，
1
恰好是
360
分解质数式子中
2
，
3
，
5
的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论：
一个大于
1
的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加
1
的连乘积．用数字式子表示为：
如果
A
分解质因数为：
则
A
的全体约数的个数为：
（
r
1
+1
）×（
r
2
+1
）×…×（
r
n
+1
）
例
5
有
30
个约数的最小自然数是多少？
分析：
设所求的数为
A
，则
A
有
30
个约数，因为
30= 30
×
1=2
×
15=6
×
5=10
×
3=2
×
3
×
5
，要使
A
最小，一般使
A
的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，
所以
A
必为下列形式：
其中
a
1
，
a
2
，
a
3
为互不相同的质数．
要使
A
最小，
a
1
，
a
2
，
a
3
尽可能小，显然
a
3
=2
，
a
2
=3
，
a
1
=5
，这样
A=2
4
×
3
2
×
5=720
解：
因为
30=30
×
1=2
×
15=6
×
5=10
×
3=2
×
3
×
5
，而且题中要求
a
2
、
a
3
为互不相等的质数，为了使
A
最小，
a
3
=2
，
a
2
=3
，
a
1
=5
，所以
A=24
×
32
×
5=720
．
例
6
九个连续自然数中至多有四个质数，例如
1
至
9
中有
2
、
3
、
5
、
7
四个质数．请在
200
以内再找出五组这样的质数．
分析：
9
个连续自然数中至多有
5
个奇数．在两位数中，个位是
5
的数必能被
5
整除，而且三个连续的奇数必有一个能被
3
整除，所以只有当个位数字为
5
的两位数又能被
3
整除时，其余的四个奇数才有可能是质数．当找到一组这样的两位以上的质数时，另一组与这组对应的数的差必定是
30
的倍数．按照上述办法找出后，再根据质数的判断方法去筛选就可得出结果．
首先容易得出
3
，
5
，
7
，
11
；
5
，
7
，
11
，
13
；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数：
11
，
13
，
15
，
17
，
19
；
41
，
43
，
45
，
47
，
49
；
71
，
73
，
75
，
77
，
79
；
101
，
103
，
105
，
107
，
109
；
131
，
133
，
135
，
137
，
139
；
161
，
163
，
165
，
167
，
169
；
191
，
193
，
195
，
197
，
199
；
根据质数的判断方法可以得出两位数中还有
11
，
13
，
17
，
19
；
101
，
103
，
107
，
109
；
191
，
193
，
197
，
199
这三组符合条件．
解：
200
以内另外五组这样的质数为：
3
，
5
，
7
，
11
；
5
，
7
，
11
，
13
；
11
，
13
，
17
，
19
；
101
，
103
，
107
，
109
；
191
，
193
，
197
，
199
．
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