几何画板与数学教学的高效整合

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几何画板与数学教学的高效整合
                                       山西省翼城县翼城二中    解佳
摘要：近年来，如何利用多媒体技术开发课件辅助课堂教学已成为热门话题，数学作为一门独立的自然科学，有它自身的特点、体系和规律。从国外引进的教育软件几何画板以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。本文就如何在中学数学教学中应用几何画板及其在教学活动中的重要作用等几方面做了系统的阐述和说明。
关键词：几何画板；操作简单；功能强大；创作平台
我国新数学课程标准指出：“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。”这种“信息技术与数学教学整合的教学模式”为我们指出了一条现代技术辅助学科教学新的、更宽广的道路。而几何画板是一个适用于数学教学的软件平台，为教师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境。
一、几何画板简介
几何画板（原名：The Geometer’s Sketchpad）是由美国Key Curriculum Press公司研制并出版的几何软件。它是一个适用于数学教学的软件平台，为教师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画和跟踪轨迹等方式，能显示或构造出较为复杂的图形。
（一）问题的提出
    数学是研究空间形式和数量关系的科学，在传统的认识中，数学学习只不过是一支笔一张纸的纯理论性学习，既枯燥又乏味，从而使人们逐渐对其产生了厌恶的心理，尤其是在中学数学中，有相当一部分的知识是比较抽象难懂的，如不等式解的讨论、三角函数的图像和性质、圆锥曲线方程等等，于是在一些学校中产生了数学教师难教学生难学的现象。然而，近年来，随着计算机和网络技术的飞速发展，现代信息技术渐渐地走进了课堂，并越来越多地影响着教师的教学和学生的学习活动。根据数学这门学科的特点，几何画板也正在渐渐地被越来越多的人所认识和应用。
（二）可行性研究
1、对硬件配置要求比较低，即使是在老式的386机器上也可以运行，并且不需要其他软件的支持就可以独立运行。这样即使计算机配置不是很好的学校也可以正常地使用它来进行教学；
2、如果已经有了操作WINDOWS的基础，具备简单的运用鼠标和键盘的技能，要掌握几何画板的基本功能，只要认真阅读它的《参考手册》就可以了。如果能够经过三、四天的培训，就可以比较熟练地掌握它，这样教师就不用花费更多的时间来学习课件的制作与运用；
3、制作出来的课件非常形象直观，有利于数学课堂教学。而且修改也非常方便，甚至可以在课堂上直接地对课件进行制作与修改。
（三）几何画板的优点   
1.体积小  一是软件本身的体积小，几何画板4.04安装版的大小只有大约600k，4.06安装版的大小也只有1M左右，并且软件当中还带有大量的自定义工具，可以使教师在制作数学课件时更加方便和快捷。并且它对系统要求不高，只需要PC486以上兼容机、以上内存、Windows3.X或Windows95简体中文版就可以。二是用几何画板制作的教学课件体积小，一般只有几十kB到几百kB，并且不论是原文件还是所制作的课件都可以压缩为.zip或.rar的形式，则体积会更小，只用一张软盘就可以装下，而不必携带硬盘或刻录到光盘上，方便于共享、上传、下载、携带、演示和交流。
    2.可以打包  几何画板虽然不像其他软件一样自带打包工具，所制作的课件一般情况下只能在安装有原程序的微机中才能运行，但是可以从网上下载金卫良老师制作的几何画板打包机，它能够将各种版本的几何画板课件进行打包，成为可以独立运行的.exe文件，这样就可以在没有安装原程序的微机中使用，更加方便于教学和管理。
    3.强大的动画功能  几何画板的运动按钮可以分为“动画”和“移动”两种。“动画”的运动方向可以分为向前、向后、双向、自由四种，速度又可以分为中速、慢速、快速和其他四种，并且在其他后面的输入框中可以输入任意一个合适的数值，自定教师认为合适的速度；“移动”中的速度也可以分为慢速、中速、快速和高速四种。经过巧妙组合后，所制作的点、线、面、体都可以在各自的路径上以不同的速度和方向进行动画或移动，可以产生良好、强大的动画效果，并且所度量的角度或线段的长度及其他的一些数值也可以随着点、线、面、体的运动而不断地发生变化，非常接近于实际，可以更好地实现数形结合，给学生一个直观的印象，起到良好的教学效果。
    4.操作简单  几何画板一切操作都只靠工具栏和菜单实现，而无需编制任何程序。整个只有一个常用工具栏，一个工具箱、一个运动控制台和一个文本工具栏，并且工具箱、运动控制台和文本工具栏还可以利用显示菜单中的工具使它们处于隐藏状态，使整个画面尽可能地最大化。在常用工具栏的菜单中所涉及的制作工具都与数学内容紧密联系在一起，使用的都是数学中的名词和术语，只要熟悉数学知识，这些内容一看就懂，非常简单。用几何画板进行开发速度非常快，一般来说，如果有设计思路的话，操作较为熟练的老师开发一个难度适中的软件只需5～10分钟。
    5.具有广泛的兼容性  不仅利用几何画板中的“页”功能可以制作出完整的数学课件，而且不论是原程序还是由它所制作的课件（包括打包之后的）都可以在Authorware、PowerPoint、Flash、方正奥思等软件中直接调用，从而可以弥补几何画板交互能力弱的特点，能够使它的动画效果发挥得更加生动、形象、丰富。另外还可以用剪贴板与Windows中其他程序交换信息，比如把word中的艺术字或图片粘贴到画板中，还可以把几何画板中所画的几何图形复制到word中编辑数学试卷，等等。
    6.有记录和制作工具功能  在工具箱的最下方有一个自定义工具按钮，利用这个按钮可以由教师自己制作具有个性的工具，并保存下来，留到以后继续使用，不必每次用到时都重复制作。
7.可以作为研发工具直接应用于课堂在教学过程中  教师可以随时根据学生的实际情况边授课边制作，或者由学生小组亲自动手，制作一些简单的数学内容，例如平面上的任意一点，线段上的任意一点，三角形的中线、角平分线、高，等等，可以使学生不仅明白“任意”的意思，更综合运用了平时所学的数学知识，方便地用动态方式表现对象之间的结构关系，实现直觉思维与逻辑思维相结合，并且学生还可以从中学会软件的一些使用方法，体会到信息技术的优势，

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二、几何画板应用
（一）几何画板在初中数学教学中的应用
1、 绘制精确的几何图形
    规范准确的几何图形往往能给人以美的享受。而几何画板是一种开展CAI实验的计算机应用软件。不同于一般的绘图软件，它所作出的图形、图象都是动态的，注重数学表达的准确性，不仅如此，它还可以在运动的过程中动态地保持元素之间的几何关系。初中代数虽然涉及图形的内容较少，但是在某些方面仍然可以发挥出几何画板强大的绘图功能。
比如初三代数中的二次函数内容，在讲解它的顶点、对称轴、开口方向及 其他一些变化规律时，一般情况下只是由教师在黑板或纸上画出抛物线图像进行理论上的说明，学生对于抛物线的形状是否受到系数a、b、c的影响和受到怎样的影响不容易理解，总会有一种模糊的感觉，好像明白却又不是非常透彻。而如果用几何画板来讲授抛物线是如何随着系数a、b、c的变化如何发生变化的过程就会变得清楚、形象、直观，学生不用再单凭脑筋想象，而是可以做到一边用眼睛观察，一边动脑想象。如果有条件的话，还可以使学生亲自操作电脑，这样可以充分发挥左右脑的功能，可以达到事半功倍的教学效果。
    再例如初中的“勾股定理”是几何中一个非常重要的定理，在数学的发展史上有着非常重要的地位。在常规的教学中，往往是先由教师给出定理，再证明定理，最后举例应用。这样处理教材的内容往往使勾股定理失去了它应有的魅力，难以激发学生学习数学的热情和兴趣。如果在教学中能把几何画板引入课堂，并制作成相应的课件，利用它的拖拉、测算等功能，可以任意地拖动A、B、C三点以改变该直角三角形的大小，让同学观察相应地正方形面积的变化有何特点，并试着用自己的语言进行归纳总结，进而提出勾股定理，有条件的话，可以让学生自己动手亲自实验；在同学观察实验的基础上，教师再利用构造图形的方法对该定理给予证明。这样能把勾股定理的精华之处一步一步地展现的学生的面前，让他们感受其中的规律，体会其中的艰苦，尝试成功后的喜悦，从而培养他们学习几何的兴趣。
2、几何画板直观的反映函数中两个变量的关系

案例一：利用几何画板帮助学生理解函数与图像的关系，化抽象为具体。
函数及其图像对于初一的学生难于理解，为了展示图像对函数关系的动态反映，把抽象变为具体，以课堂演示 这条直线的形成为例。打开几何画板，建立坐标系，先在x轴上取点A，度量该点的横坐标，然后利用“度量”菜单中的“计算”功能计算出2x，“度量”菜单下的“绘制点”绘出点B（x,2x）,最后将点B设置为“显示”菜单下的“追踪绘制的点”。
师：图中的点B是满足 函数关系的点，大家知道这样的点有多少个吗？
生：无数个
师：这无数个满足 函数关系的点有什么特点呢？请大家仔细观察（慢慢的拖动
图1中的A点）拖动的过程中请同学们注意变化的点B的横纵坐标的数值，是否满足 关系？
生：都满足。                  
师：这些点形成了什么图形？
生：点动成线，形成了一条直线。               
这个演示的两个作用：①帮助学生理解函数图像是由无数个满足函数关系的点形成的；
                        ②弥补了描点法画图像只能由有限个点来猜测图像形状的弱点，仅仅是在纸上描点，学生不禁会问为什么图像就是直线呢？通过课件演示，学生清楚地看到了直线的形成过程，印象十分深刻。

                                    图1

案例二：利用几何画板形象地反映双曲线的图像特点，深化对图像的理解。
反比例函数的图像双曲线的特点，学生也不好把握，什么叫“与坐标轴无限接近，但永不相交”？为了帮助学生理解双曲线的特点，可以利用几何画板来形象地展示这一特点。
首先建立坐标系，在x轴上取点A，度量该点的横坐标，然后利用“度量”菜单中的“计算”功能计算出 ，“度量”菜单下的“绘制点”绘出点B（x,  ），最后依次选中点A、B，选择“构造”菜单中的“轨迹”，完成双曲线的绘制。
师：当x>0 时，x越大， 的值如何变化？
生：x越大， 越小。
师：大家能想象随着x的增大，点（x,  ）的变化吗？（学生思索）

                                    图2
师（演示向右拖动图2中的点A），横坐标x的数值越来越大，大家观察双曲线上的点有什么特点？
生：向右运动，与x轴的距离越来越小。
师：图像上的点会与x轴相交吗？
生：不会，因为y不为0。
再观察双曲线与y轴的关系，师生共同总结双曲线特点：无限接近坐标轴，但永不相交。
通过这样的演示，学生对双曲线的特点有了更加直观的感受和深刻的印象，同时更进一步帮助学生认识了函数和图像的关系。

案例三：利用几何画板帮助学生理解函数的自变量的取值范围对函数图像的影响。
初学函数时，学生往往无法结合自变量的取值范围去画函数图像，比如函数 ,同学容易画成直线而不是线段。
打开几何画板，在x轴上取 范围的线段，在线段上任取点A，度量该点的横坐标，然后利用“度量”菜单中的“计算”功能计算出2x，“度量”菜单下的“绘制点”绘出点B（x,-x+2）,最后将点B设置为“显示”菜单下的“追踪绘制的点”，并向坐标轴引垂线。

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师：（拖动图3中的点A）请同学们观察图中自变量x的取值范围？
生：
师：观察最左端点B能到达的位置，最右端能到达的位置？
生：最左端到点 ，最右端到点
师：观察点B形成的图像是什么形状的？
生：线段
师：为什么图像不是直线而是线段呢，这是由什么决定的？
生：由自变量限制在一定范围内决定。
通过几何画板的动态演示，学生在变化的点、变化的横纵坐标中去寻找规律，去理解自变量和自变量的函数这两个变量之间的关系，突破了传统教学无法展示点的变化，从而一切只能靠想象，而初一的学生抽象思维能力又比较弱的现实。通过几何画板的演示，将抽象的思维过程形象地展示出来，学生很容易接受。
3、几何画板在初中图形变换方面的尝试

案例一：利用几何画板展现平移、轴对称、旋转的动态过程。
初中阶段主要学习三种全等变换：平移、轴对称、旋转，一种相似变换：位似。这是新课改加强的部分，帮助学生从动态变换的角度去理解平面几何。在讲解《三角形全等的条件》时，设计这样一个问题去理解“全等变换”：
如图4，AB=DE，画出与⊿ABC全等的⊿DEF。
同学通过反复尝试、互相补充画出了四个三角形与⊿ABC全等（如图4）。
               
        图4
师：大家通过尝试得到了这四个三角形，那么现在我们来考虑一下它们是不是有章可循的呢？图中的绿色三角形是如何得到的？
（1）连接AD，在线段AD上取点M，依次选中点A、M，选择“变换”菜单下的“标记向量”，然后选中⊿ABC，选择“变换”下的“平移”，按标记的向量平移。
师：拖动点M（图5），三角形开始平移，引导学生观察三角形动态的平移过程。

                                  图5
生：图中的绿色三角形是通过平移得到的。
师：图中的红色三角形是如何得到的呢？
生：将图中的绿色三角形翻折得到的。
（2）双击DE，选中图中的绿色三角形（图6），选“变换”下的“反射”，作出红色三角形。

图6
师：图中的粉红色三角形是如何得到的呢？
（3）选中DE的中点，双击它，选择红色三角形，按标记的角度旋转180°。（如图7）

图7
师引导学生观察三角形旋转的过程，
生：粉红色三角形是由红色三角形绕DE中点旋转180°得到的。
    师：黑色三角形是如何得到的呢？
生：由粉色三角形翻折得到的。
通过几何画板动态的演示平移、旋转的过程，形象生动的反映了各种变换，加深了学生对全等变换的理解，同时也提示学生学会用全等变换的眼光去认识和看待图形。

案例二：利用几何画板在变化中寻求特殊，发现解题的思路。
在初三总复习阶段有这样一道题：如图， 和 均为等边三角形，点O即是AC的中点，又是 的中点，求 的值。


打开几何画板，做等边 ，取AC中点O，再做等边 ，
生1：能不能将 的位置放到一个比较特殊的位置去研究线段的比值呢？
师在几何画板中选中点A1，拖动它，旋转 ，学生观察寻找特殊位置。
生2：让 点放到线段AC上是一个特殊位置。（如图8）
            
                图8
生3：让 放到AC上，会更简单。（如图9）
            
                图9
师：大家的想法很好，这是特殊值法。有没有一般位置的解题方法？
师生共同得到了构造相似三角形的一般解法。
师： 在旋转的过程中，这两个黄色三角形始终保持相似吗？ （学生思考）
师演示在几何画板中旋转 （图10-1，10-2），学生直观的看到，无论什么位置，这两个三角形始终相似。

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一道有一定难度的题目，在几何画板的帮助下，学生探索了图形的特殊位置，从中受到启发解决了问题，同时进一步研究了在变化的过程中不变的规律（三角形的相似关系不变）。学生经历了观察、猜想、从特殊到一般的思维过程，培养了学生的数学思维能力和创造力。

案例三：利用几何画板探索图形的发展变化，寻求辅助线的规律。
已知Rt△ABC中， ， ，有一个圆心角为 ，半径的长等于 的扇形 绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线 交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形 绕点C在 的内部旋转时，如图①，求证： ；
思路点拨：考虑 符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ 沿直线 对折，得△ ，连 ，只需证 ， 就可以了．





（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．






这是一道考察图形变换的几何证明题，学生对第二问的辅助线添加方法感到有些困难。如果学生能够从第一问到第二问的联系上，从旋转过程中图形中的量的变化和不变上去考虑，也许就要简单一些。
在讲解完第一问之后，可以利用几何画板将扇形旋转的过程展现出来，帮助学生梳理本题的思路，总结提升，从而得到第二问的辅助线：
师：在第一问中通过什么全等变换来构造的辅助线呢？
生：轴对称变换，翻折 和 ，构造全等三角形。
师：轴对称变换的目的？
生：将三条线段AM、BN、MN集中到了直角 中。
师：如果将扇形绕点C旋转一周，结论是不是不变呢？（学生思考）
打开几何画板，做等腰三角形ABC和扇形CEF，双击CE，选中点A，选择“变换”下的“反射”，作出点A’，连接CA’，构造三角形MNA’。
师在几何画板中演示，选中点E，旋转扇形CEF，学生观察图中的红色三角形。（见下图）

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生：无论扇形CEF旋转到什么位置，线段AM、BN、MN围成的三角形都是直角三角形，结论不变。
师：大家能发现红色三角形构造的规律吗？
生：都是翻折 和 ，构造全等三角形。
师：对，大家已经在变化的图形中找到了不变的规律，无论扇形的位置在哪儿，只需分别以CM、CN为轴翻折 和 ，构造全等三角形即可。
通过这样的演示，训练学生在变化的图形过程中去观察、比较、归纳、总结图形的规律，即提高了学生学习几何的兴趣，也锻炼了学生在复杂变化的图形中去抓住本质规律的能力，提升了学生的数学思维品质。
（二）几何画板在高中数学教学中的应用
1、几何画板在函数教学中的应用
“函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，函数的思想方法贯穿高中数学课程的始终。在讲解基本初等函数（幂函数，指数函数，对数函数，三角函数）的图像与性质时，传统教学中多以教师在黑板上手工绘图为主。但手工绘图有不精确、速度慢、不易修改、容量小等弊端，应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，达到事半功倍的效果。
具体说来，可以用几何画板根据函数的解析式快速作出函数的图象，并可以在同一个坐标系中作出多个函数的图象，如在同一个直角坐标系中作出函数 的图象，比较各图象的形状和位置，归纳幂函数的性质（如图1）；还可以作出含有若干参数的函数图象，当参数变化时函数图象也相应地变化，如在讲函数 的图像时，传统教学只能将 、 、 代入有限个值，观察各种情况下的函数图象之间的关系；利用几何画板则可分别以 点、 点到x轴的距离为参数 、 ，以 为 作图（如图2），当点击 按钮时分别改变三角函数的振幅、周期和初相，通过动画可以直观形象地显示当参数改变时图像的变化，这样在教学时既快速灵活，又不失一般性。

     几何画板在高中代数的其他方面也有很多用途。例如，借助于图形对不等式的一些性质、定理和解法进行直观分析——由“半径不小于半弦”证明不等式“a+b≥2 （a、b∈R+）等；再比如，讲解数列的极限的概念时，作出数列an=10-n的图形（即作出一个由离散点组成的函数图象），观察曲线的变化趋势，并利用几何画板的制表功能以“项数、这一项的值、这一项与0的绝对值”列表，帮助学生直观地理解这一较难的概念。                                 
2、几何画板在立体几何教学中的应用
立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质；它所用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。从平面图形到空间图形，从平面观念过渡到立体观念，无疑是认识上的一次飞跃。初学立体几何时，大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平面与空间图形的转化能力，主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体的各面不能都画成正方形等。这样一来，学生不得不根据歪曲真象的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。而应用几何画板将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。像在讲二面角的定义时（如图3），当拖动点 时，点 所在的半平面也随之转动，即改变二面角的大小，图形的直观地变动有利于帮助学生建立空间观念和空间想象力；在讲棱台的概念时，可以演示由棱锥分割成棱台的过程（如图4），更可以让棱锥和棱台都转动起来，使学生在直观掌握棱台的定义，并通过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时，让学生欣赏到数学的美，激发学生学习数学的兴趣；在用祖恒原理推导球的体积时，运用动画和轨迹功能作图5，当拖动点O时，平行于桌面的平面截球和柱锥所得截面也相应地变动，直观美丽的画面在学生学得知识的同时，给人以美的感受，创建一个轻松、乐学的氛围。  在讲锥体的体积时，可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程（如图6），既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力。

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3、几何画板在平面解析几何教学中的应用
平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，它研究的主要问题，即它的基本思想和基本方法是：根据已知条件，选择适当的坐标系，借助形和数的对应关系，求出表示平面曲线的方程，把形的问题转化为数来研究；再通过方程，研究平面曲线的性质，把数的研究转化为形来讨论。而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化，导致点、线按不同的方式作运动，曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，显而易见，展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的。这样，几何画板又以其极强的运算功能和图形图象功能在解析几何的教与学中大显身手。如它能作出各种形式的方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行“追踪”，并显示该对象的“轨迹”；能通过拖动某一对象（如点、线）或制作一个动画按钮观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。
具体地说，比如在讲平行直线系 或中心直线系 时，（如图7）所示，分别拖动图7（1）中的点 和图7（2） 中的点 时，可以相应的看到一组斜率为1的平行直线和过定点（0，2）的一组直线（不包括 轴）。再比如在讲椭圆的定义时，可以由“到两定点 、 的距离之和为定值的点的轨迹”入手——（如图8），令线段 的长为“定值”，在线段 上取一点 ，分别以 为圆心、 的长为半径和以 为圆心、 的长为半径作圆，则两圆的交点轨迹即满足要求。先让学生猜测这样的点的轨迹是什么图形，学生各抒己见之后，老师演示图8（1），学生豁然开朗：“原来是椭圆”。这时老师用鼠标拖动点 （即改变线段 的长），使得| |=| |，如图8（2），满足条件的点的轨迹变成了一条线段  ，学生开始谨慎起来并认真思索,不难得出图8（3）（| |<| |时）的情形。经过这个过程，学生不仅能很深刻地掌握椭圆的概念，也锻炼了其思维的严密性。




综上所述，使用几何画板进行数学教学，通过具体的感性的信息呈现，能给学生留下更为深刻的印象，使学生不是把数学作为单纯的知识去理解它，而是能够更有实感的去把握它。这样，既能激发学生的情感、培养学生的兴趣，又能大大提高课堂效率。
三、几何画板的作用
（一）在数学教学中的作用
    “现代技术的使用将会深刻地影响数学教学内容、方法和目标的改变。”在中学数学教学中应用几何画板的作用主要体现在以下几个方面：
1、激发学生的对数学的学习兴趣，让学生在“做中学”
传统的教育模式留给学生的印象是枯燥和抽象的。绝大部分的学生对数学敬而远之，甚至是惧怕和厌恶，特别是在初中接触了几何与函数之后。这种情绪极大地压抑了学生的学习潜力。几何画板具有强大的动态变化功能，一流的交互功能，能以浓缩的形态给学生提供数学背景，通过学生的参与和亲手操作，枯燥抽象的内容变成生动形象的图形，原本不明白或不甚明白的概念等变得一目了然。以往用圆规、三角板绘制几何体，是不动的一个图形，几何画板运用动态的几何图形培养了学生空间想象的能力。
当我们使用几何画板动态地、探索式地表现直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，还有象圆锥的侧面展开图等等，都能把形象变直观，实现空间想象能力的培养，原本静止枯燥的数学课变成了生动、活泼、优美感人的舞台，学生情绪高涨，专注、渴求和欣喜的神情挂在脸上，作为老师的我们感到无限欣慰，几何画板一时成了师生的热门话题。使学生深刻体会到：“自己的眼睛可以看到自己在现实生活中看不到的一面”、“数学原来也能这样来学”、“想不到数学还真有趣”……
兴趣是学生学习的最好的老师，是原动力。实践证明使用几何画板探索学习数学不仅不会成为学生的负担，相反使抽象变形象，微观变宏观，给学生的学习生活带来极大的乐趣，学生完全可以在轻松愉快的氛围中获得知识。
2、利用几何画板动态展示教学内容或数学问题，把抽象的数学教学变得形象、直观。
动态展示教学内容或数学问题，能够化抽象为具体，化具体为形象，因而，使教学更加直观、生动，有利于激发学生的学习兴趣，增强教学的趣味性。数形结合思想是一个非常重要的数学思想。数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”几何画板为“数形结合”创造了一条便捷的通道，它不仅对几何模型的绘制提供信息，同时，可以解决学生难以绘制的图形，而且提供了图形“变换”的动感，丰富多彩的“动画”模型，给学生一种耳目一新的视觉感受，使学生从画面中去寻求到问题解决的方法和依据，并从画面中去认清问题的本质。在引入几何画板之后，可以测量各种数值以及进行各种函数运算，在图形的变化过程中，数量变化特征也可以直观地展现在学生眼前，“以形助数”，“用数解形”，这在传统教学中无法办到。如在“二次函数y=ax2+bx+c的图像”一节中，如何向学生说明y=ax2、y=ax2+k、y=a（x-h）2、y=a（x-h）2+k等函数图像的相互关系一直是传统教学中的重点和难点，学生难以理解，教师也难以用文字语言说明。通过几何画板只需用鼠标上下移动点a、h、k，y=ax2、y=ax2+k、y=a（x-h）2、y=a（x-h）2+k等函数图像便可一目了然，难题也就迎刃而解，学生也在a、h、k的变化过程中加深对二次函数的理解。利用几何画板反复动态演示y=ax2、y=ax2+k、y=a（x-h）2、y=a（x-h）2+k等函数图像的相互变换，学生便可比较顺利地掌握二次函数的图像上下左右平移的知识难点。
3、利用几何画板进行数学实验，让学生自主 “研究数学”
几何画板是一种适合数学教学的简单工具，我要在开始的时候利用几节课或兴趣小组活动中教会学生使用几何画板的基本功能和数学内涵，上数学课(特别是函数、几何课)的时候学生自己动手分析会产生意想不到的效果，用几何画板可以教师演示，也可以学生实验，自己探索。在教师的引导下，几何画板可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境，学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测和验证结论，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景从而更有助于学生对数学的学习和理解，同时几何画板还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现在的数学教学不仅要培养学生计算、演泽等具有根本意义的严格推理的能力，还培养学生尝试归纳、“假设——检验”、简化然后复杂化，寻找相似性等非形式推理或似真推理的能力。实验方法在数学科学中的作用愈来愈被重视，除了直接观察、假想试验，统计抽样等方法也日益被采用。而几何画板的使用，使学生进行数学实验多了一件有用的工具，使得在课堂上让每个学生进行数学实验成为可能。这种数学实验，对学生主体意识的形成，主动参与数学实践本领的提高，自行获取数学知识的能力培养，都将发挥作用。例如：

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（1）在计算机上用几何画板软件画任意一个三角形，再画出它的三条中线，有什么规律？（三角形三条中线交于一点）然后拖动三角形的顶点A随意改变所画的三角形的形状，看看这个规律是否改变。
    （2）在计算机上用几何画板软件画任意一个三角形，量出它的各内角并计算它们的和，然后拖动顶点改变所画三角形的形状，再量出变化后的各内角计算内角和。从而得出“三角形内角和等于180度”这一结论。

    4、利用几何画板搭建验证问题和揭示问题本质的技术平台。
在解决数学问题中，由于问题本身的抽象性和推理的复杂性，花费了很多时间都未能把问题证明出来，此时，产生对问题的疑义并对问题真实性进行验证是一种极为可能并欲想去做的事。验证一方面可以缓解心理紧张和心理焦虑，变换思维角度，对问题进行再认识；另一方面可以调节心理平衡，重塑解题信心。学生在通过实验验证得出问题是真实的时，将会激发起信心，增强解决问题的动力。从而，有效地克服推理过程中产生的心理障碍。例如研究函数图象的性质，特别是增减性，是教学中的难点，有了几何画板，我们就很容易解决这一问题。
（1）一次函数：在坐标系内，任作一条直线，很容易得到它的解析式，我们拖动直线，就可以看到它的k和b在不断变化，学生们自己操作，仔细研究，就可以总结出，k、b大小与图象所经过的象限的关系。如下图，如果，拖动直线上的点P，则它的横坐标和纵坐标都在同时变化，变化趋势明显。这样，当k>0和k<0时，极易掌握一次函数的增减性。
     （2）二次函数：在研究二次函数图象的增减性时，我们拖动抛物线上点P，可以很形象地看到，y随着x的增大，一会儿增大，一会儿减小。问及同学们它的分界线在哪里，再次研究后都能回答是抛物线的对称轴。
（二）在培养学生能力方面的优势
    几何画板的很多不同于其他绘图软件的特点为教学过程中提出问题、探索问题、分析问题和进一步解决问题提供了极好的外部条件,为培养学生的能力提供了极好的工具。
1.培养学生的思维能力。在教师精心的设计下,恰当地利用几何画板的演示,协助学生思考而不是代替学生思考,可促进学生思维的发展。在椭圆的离心角的教学中,椭圆的半径为终边的角与椭圆离心角容易混淆。若利用几何画板,不仅可以使学生把这两个角的关系辨析清楚,而且电脑动态显示的优势抓住了时机,有助于发展学生的思维能力。
2.培养学生的探索观察能力。“探索是数学的生命线”。用几何画板进行探索思考、观察使学生的想象力得以发挥其显示功能通过动态的演示轨迹增强学生感性认识化抽象的事物为具体的事物。
3.解决许多带参数的轨迹问题培养学生分类讨论的能力。在画板的帮助下很多需要分类讨论的带参数的问题变得简单让学生们在思考过程中“兴奋”起来,学生对参数的改变引起轨迹的变化的认识也就更深刻了,分类讨论的思想迎刃而解。  
4. 有利于培养学生的创新能力。创新是一个民族生存、发展与进步的灵魂，是民族兴旺的动力。它以发掘人的创新潜能，弘扬人的主体精神，促进人的个性和谐发展为宗旨，而培养学生的创新意识是数学教学中的一个重要目的和一条基本原则。几何画板给学生提供了一个动态研究问题的工具，使他们有了创新的机会。
5、培养学生解决实际应用问题的能力。应用的广泛性是数学的又一特点,数学教学中注重应用。应用题往往难在对实际问题的数学化。而运用画板进行辅助教学将易于揭示其数学本质,有助于增强学生的数学应用能力。
    总之,在中学数学教学中利用几何画板辅助教学,可以创设更富有启发性的教学情境,设计学生动手做数学的实验环境,能灵活自如地进行变式教学,提高课堂教学效果;还可以启发学生更积极地思考,引导学生自己发现和探索?使教师的“讲更多地由学生积极参与的活动所代替。学生由“听讲”“记笔记”的被动学习方式更多地变为观察、实验和主动、积极的学习方式,从而达到知识、能力和素质的全面提高。   
四、几何画板的运用应注意的问题
几何画板在课堂教学中的运用产生了良好效应。它的启动，改变了常规教学的陈旧模式，使课堂教学更加形象和生动。实践中，学生从心理上所反映出来的是惊喜和兴奋，进而有一种强烈求知欲，它可以充分调动学生的学习积极性，同时也营造了一种学习活动的良好氛围，从知识学习的达成度看收效甚佳。但因为它：
1、缺乏绘图的具体步骤，易导致学生实际操作能力不足
几何画板绘图尽管快速，准确，但其图象的生成过程却无法完整的呈现在学生面前，学生看到的只是结果，长此以往，学生的实际动手操作能力将明显退化。因此，在教学中，我们需要借助几何画板，但不能一味的依赖它，一些传统的教学手段依然有着举足轻重的作用，如“五点作图法”等。所以，我认为，在教学中要合理、恰当的使用几何画板，并结合传统教学手段，使之相辅相成，相得益彰。
2、图象生成的原理欠缺，学生易知其然不知其所以然
在利用几何画板的教学中，尤其是一些定义，涉及参数的函数图象教学中，学生虽然能直观的观察到所需的图象，但对于图象生成、变化的原理却不知所以，使得所学知识易“教条化”，不利于学生思维的拓展和延伸。因此，我认为，在中学数学的教学中，利用几何画板教学时，应该先让学生对知识点有所理解，再通过几何画板在课堂上演示制作过程，并加以解释达到验证的目的，这样既能给学生留下深刻的印象，也能锻炼学生的思维能力。
所以在应用的过程当中也应注意几个问题：
1、作为一种新的认知工具的独特优势，是任何传统的教学手段和模型所无法替代的，而且有良好的教学效果，必能得到广泛的使用，前途光明。设想，如果学生能进一步掌握操作技能，在教师的引导下，自行构建模型，然后通过类比，优化模型，找到解决问题的途径，将起到事半功倍的成效。也为教育的一大目标，学会自己学习，发展自己的实现奠定基础。这也是需要广大数学教师进一步探讨的问题。
2、几何画板也不能走入误区,它与中学数学整合，其主体还是数学教学，“数学课应该教数学”的本质不能改变。几何画板只是辅助我们教学的工具，要充分地用它来引导学生的学习，让它帮助学生思考，而不是代替学生思考，作为教师要给予恰当的提示，通过计算机演示实验帮助学生完成思考过程，形成对知识的理解，而不是利用计算机直接地给出结论，否则会使学生养成过分依赖的习惯，挫伤学生的创造意识和实践能力。因此在使用几何画板教学时，切忌过于依赖，应该与传统教学手段相结合，使学生更自觉、更主动、深层次地参与到教学活动之中。这样，既能激发学生的情感、培养学生的兴趣，又能大大提高课堂效率。
另外，在农村，几何画板的使用情况令人担忧。一方面，中学数学教师教学压力较大，有时间也想休息，另一方面，一些教师缺乏学习新知识的主动性和积极性，对数学的发展动态不了解。
五、结束语
信息技术与数学教学的有机整合，标志着一个新的以教育技术的变革来推动教育本身变革的时代已经到来，几何画板只是其中一个成功的典范。而先进的教育技术的开发，必将为数学教学方法进一步改革和深化，使教学模式发生翻天覆地的改变，必将迎来数学教育的又一个春天。
参考文献：
［1］罗启勋.“简明朴素、短小精悍”——浅谈对“几何画板”的体会.
［2］王新厂.实现数形结合的桥梁——几何画板.   
［3］何克抗.现代教育技术与创新人材培养.
［4］高荣林.几何画板课件制作与实例分析.
［5］张献国.利用几何画板培养学生能力.