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探索规律中一类求和问题的解法
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作者:
网站工作室
时间:
2008-2-6 09:31
标题:
探索规律中一类求和问题的解法
同学们一定知道德国有一个数学神童，
在他十岁时，小学老师出了一道算术难题：
“
计算
1
＋
2
＋
3+
……＋
100
＝？
”
.
这可难为初学算术的学生，但是他却在几秒后将答案解了出来，他把数目一对对的凑在一起：
1
＋
100
，
2
＋
99
，
3
＋
98
，……，
49
＋
52
，
50
＋
51
而这样的组合有
50
组，所以答案很快的就可以求出是：
101×50
＝
5050
.
我想现在同学们一定想起他是谁了吧？他就是德国的大数学家高斯
(Gauss
，
1777-1855)
，他
和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有
“
数学王子
”
之称
.
有很多题目都与高斯做的这个求和题类似，现在，就让我们来共同探索一下其中的规律
.
一、规律总结
如果我们把高斯解的这个题一般化，那就是求
1+2+3+
……
+n
的和，把这组和首尾的数字对应相加，就可以得到
个（
n+1
），所以
1+2+3+
……
+n=
.
我们还可以假设
S=1+2+3+
……
+n
，再倒过来写一遍就是
S=n+(n
－
1)+
……
+1
，两式相加可以得到
2S=
（
n+1
）
+
（
n+1
）
+
……
+
（
n+1
）
=n
（
n+1
）
两边同时除以
2
得
S=
即：
1+2+3+
……
+n=
用类似的方法我们也可以求出：
1+2+3+
……
+
（
n
－
1
）
=
.
上面两个公式同学们可以记住，计算时不妨直接应用，这样我们在探索规律时就可以把主要精力放在思考问题上，而不是花费在复杂的计算上
.
二、典型例题
例1
足球比赛时要进行单循环的淘汰赛，
2
个球队要进行
1
场比赛，
3
个球队要进行
3
场比赛，
4
个球队要进行
6
场比赛，……，
n+1
个球队要进行多少场比赛？
解析：
假设
n+1
个球队进行的比赛场数为
S
，则可以得到
球队数
比赛场数
2 1
3 3=1+2
4 6=1+2+3
5 10=1+2+3+4
6 15=1+2+3+4+5
……
……
由规律可以得到
n+1
个球队需要进行的比赛场数为
S=1+2+3+
……
+n=
.
例2
在一条直线上有
n
个点
A1
，
A2
……
An-1
，
An
.
这
n
个点一共可以构成多少条线段？
解析：
点
A1
和点
A2
可以构成线段
A1A2
，点
A1
和点
A3
可以构成线段
A1A3
，……，点
A1
和点
An
可以构成线段
A1An
，一共是（
n
－
1
）条；点
A2
和点
A3
，点
A2
和点
A4
，……，点
A2
和点
An
，可以构成的线段一共有（
n
－
2
）条，依次类推，
n
个点可以构成的线段有：（
n
－
1
）
+
（
n
－
2
）
+
……
+2+1=
.
评注：例1中的球队我们也可以把它看作一个一个线段上的点，按照例2那样用画弧的方法，一边画
弧，一边按照例1那样记数，很快就能找到答案的！
其实，只要大家能够灵活运用所掌握的方法，探索规律的题目也是很简单的！
例3
我们知道
1
条可以将一个平面分成
2
部分，
2
条直线可以将一个平面分成
4
部分，
3
条直线最多可以将一个平面分成
7
部分，
4
条直线最多可以将一个平面分成
11
部分，你能探索出
n
条直线最多可以将一个平面分成几部分吗？
……
解析：
直线条数
分成的平面部分
1 2=1+1
2 4=(1+2)+1
3 7=(1+2+3)+1
4 11=(1+2+3+4)+1
……
……
n S=(1+2+3+
……
+n)+1=
+1
例4
如图
……
图形编号
①
②
③
④
⑤
⑥
三角形边数
第
n
个图形三角形的边数一共有多少？
解析：
如果我们把后一个图形看作是在前一个图形的基础上在下面补充几个三角形，那么探索起其中的规律来就很容易得到问题的答案
.
图形编号
三角形边数
①
3
②
9=3+3
×
2=3
×
(1+2)
③
18=9+3
×
3=3
×
(1+2+3)
④
30=18+3
×
4=3
×
(1+2+3+4)
……
……
n S=
3
×
(1+2+3+
……
+n)=
以上只是探索规律中求和的一种类型，实际上同学们只要注意总结，善于分类，深入研究，做一个有心人，你一定能够在探索规律中有出色表现的
.
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个（n+1），所以1+2+3+……+n=
.
.
