让学生自主建构解题策略的表征

桃小

　苏教版教材《百分数》单元中有这样一道习题（见文后）。
　　教学第（1）题时，学生很快理解了含糖率，但对计算表现得很不情愿。不少学生嘀咕着：不用算就知道哪杯含糖率高。孙辰迫不及待地站起来说：“被除数相同，除数小的商就大，所以右边一杯含糖率高。”但当同学们想以同样的方法解决第（2）题时却遇到了麻烦，因为被除数和除数都不相同。我因势利导：“要比较哪一杯糖水甜一些，是不是一定要比较含糖率呢？”一石激起千层浪，同学们纷纷从各个角度阐释自己的解题策略。
　　秦伟抢先说：“我觉得算糖占水的百分率比较方便，60÷300＝20%，45÷200＝22.5%，所以右边杯里糖水甜一些。”他的方法很快启发了其他同学。
　　思维敏捷的章杰接着说：“百分率又叫百分比，这里的水都是整百克数，我把糖和水的比化成后项是100的比进行比较……”
　　黄怡不甘示弱：“也可以求出糖和糖水的比，再化成前项相同的比，60∶（300＋60）＝1∶6＝9∶54，45∶（200＋45）＝9∶49……”
　　元昊“另辟蹊径”：“把左边杯里糖和水的克数同时扩大2倍，变成120克和600克，右边杯里的水和糖的克数同时扩大3倍，变成135克和600克……”通俗易懂的方法让同学眼前一亮。
　　受元昊的启发，马骁放鞭炮似的说：“我们也可以让糖变得一样多，60和45的最小公倍数是180，左边杯里糖和水的克数同时扩大3倍，右边杯里糖和水的克数同时扩大4倍……”
　　卢炜喜欢求异思维：“我分别比较两杯里水之间的倍数关系和糖之间的倍数关系。300÷200＝1.5，60÷45＝1■,1.5＞1■，所以左边杯里糖水淡一些。”这种想法也令同学们耳目一新。
　　提到分数，便激活了新的想法，石颖说：“右边杯里的水是左边杯里的■，如果右边杯里糖水含糖率跟左边杯里一样，就应该放60×■＝40克的糖，而实际放了45克糖，所以……”
　　想法太多了，我引导同学们进行整理：“如果给这些方法分分类，你觉得可以分成哪几类？说说你的理由。”

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实践中，含糖率计算的麻烦触发了学生尝试用除法计算规律对问题进行表征，为第二个问题形成新的解题策略表征激活了思维。从同样的角度对第二个问题的表征未能实现问题解决时，教师的因势利导打开了学生的多元表征。起初，学生联系具体的生活经验将含糖率转化为糖占水的百分率建立对问题的表征，不仅简化了计算，而且构建了一种“新”的数学模型实现对“甜的程度”的表征，接着学生又用“比”和“比的基本性质”建立对解题策略的另一种表征。直至第五种方法都可视作同一种策略，即将两组量的比较转化为一种量相等时对另一种量的比较，只是表征的抽象程度不同。最后两种表征更凸显出儿童不可小视的横向关系的抽象策略：同种量之间的倍数关系的比较和推理，体现出灵活应用倍、分率表征数量关系和解题策略的水平。学生所建构的这些对数学关系的独特表征都体现了化归的思想。
　　对数学的理解不仅表现在学生能够灵活地使用表征来表达他们在数学方面的理念和问题，而且表现在能够于不同的表征之间互相转换。上述案例中通过对策略的比较、分类，实际上是促进学生不停留于对各种策略的被动接纳，而是从更高的视角把握策略之间的内在联系，实现对不同表征的互通，帮助他们形成更多概括性的表征和策略。尽管学生思考的角度和深度会有所不同，但通过交流和引导却达到了发展学生对解题策略的抽象思维和概念性理解的目的。随着学生数学概念的发展和数学思考的深入，学生对数学问题和解题策略的表征会不断走向丰富、深刻和概括。（作者:汤卫红单位系江苏省如皋师范学校附属小学）　来源：中国教师报

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一直在认真倾听的袁婧缓缓地说：“我觉得秦伟的方法还是求百分率，但比求含糖率简单。章杰、黄怡的想法有相同之处，都是化成前项或后项相同的比进行比较。元昊和马骁利用求最小公倍数的知识，使一种量相等，再比较另一种量。卢炜和石颖都是比较两杯里的水、两杯里的糖之间的关系。”
　　张瑶可不喜欢人云亦云：“秦伟和章杰的想法其实是一致的，都还是利用了百分率（百分比）的知识，只不过形式不一样。元昊、马骁其实和黄怡一样都是为了便于比较，把一种量（份数）化成相等的。”
　　朗清边摸脑袋边说：“我怎么觉得两种说法都有道理。”同学们笑了。“你们可别笑，前五种方法其实想法是一致的。但后两种方法倒是换了一个角度。”
　　我及时进行评价：“很高兴同学们不仅善于倾听，还能够深入思考方法之间的联系。经常这样想问题，同学们的思考力将越来越敏锐，越来越深刻。下学期，学习了比例，同学们一定还会有新的思路。”
　　反思：
　　以往教学这一内容，我把重点放在对含糖率的理解和计算上。现在看来，这样的认识似乎太狭隘和浅显了。再次研读教材，不禁产生了这样的疑问：第二个问题与第一个问题相比仅仅是表述上的不同吗？尽管含糖率高的糖水就甜一些，但考量哪杯糖水甜一定要用求含糖率作为标准算法来比较吗？这样一想，不难发现：编者对这一表述的改变为我们的教学提供了难得的让学生自主构建解题策略表征的契机，真是用心良苦！
　　蔡金法教授在比较中美数学教育后指出：中国学生自己构建数学表征的机会较少，因此发散的创造性思维受到限制。求含糖率作为一个过程受限问题可以用标准的算法解决，学生必须知道该用哪种算法。而“哪杯糖水甜一些？”作为一个过程开放问题勿需用一个标准的算法来解，它不要求执行一个或一系列已知的程序，而是要求对问题情境及问题解答进行探索。作为六年级的学生并非没有这样的知识基础和能力前提，问题在于我们是否提供学生自主建构解题策略表征的平台。事实证明孩子们“给点阳光就灿烂”！