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2012年11月18日五年级奥林匹克数学题《数论问题》难题练习及答案
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作者:
admin
时间:
2012-11-20 14:34
标题:
2012年11月18日五年级奥林匹克数学题《数论问题》难题练习及答案
【
数论问题
】 1.难度:★★
一个房间中有100盏灯,用自然数1,2,…,100编号,每盏灯各有一个开关。开始时,所有的灯都不亮。有100个人依次进入房间,第1个人进入房间后,将编号为1的倍数的灯的开关按一下,然后离开;第2个人进入房间后,将编号为2的倍数的灯的开关按一下,然后离开;如此下去,直到第100个人进入房间,将编号为100的倍数的灯的开关按一下,然后离开。问:第100个人离开房间后,房间里哪些灯还亮着?
2.难度:★★
,a,b均为自然数。a有种不同的取值。
作者:
admin
时间:
2012-11-20 14:35
【
答案解析
】 1.【解析】对于任何一盏灯,由于它原来不亮,那么,当它的开关被按奇数次时,灯是开着的;当它的开关被按偶数次时,灯是关着的;
根据题意可知,当第100个人离开房间后,一盏灯的开关被按的次数,恰等于这盏灯的编号的因数的个数;
要求哪些灯还亮着,就是问哪些灯的编号的因数有奇数个。显然完全平方数有奇数个因数。所以平方数编号的灯是亮着的。
而
内的完全平方数有
,所以当第100个人离开房间后,房间里还亮着的灯的编号是:1,4,9,16,25,36,49,64,81,100。
2.【解析】由题意可知,ab=2011-9=2002。a是2002的因数而且a>9,求a有多少种取值,则求2002的所有因数中大于9的有多少个,2002=2×7×11×13,共有因数2×2×2×2=16个,其中1,2和7不能取,所以共有13种取法。
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