小学生五年级数学奥数集训名师专题讲座辅导讲解WORD版

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五年级奥数集训专题讲座（一） ----有趣的平均数问题
我们研究平均数问题，首先要掌握以下基本数量关系：
①总数量÷总份数=平均数
②平均数×总份数=总数量
③总数量÷平均数=总份数。
在总数量不变情况下“移多补少”，得到平均数是解决这类题的重要思想和解题思路，找准总数量与对应的总份数是难点。
1. 修路队修两条公路，第一条路长900米，用10天修完，第二条路的长比第一条的2倍多100米，用的时间是第一条的1.8倍，这个修路队，修完这两条公路平均每天修多少米？
分析：要想求出结果，就要先求出两条路的总长（总数量），再求出修完这条公路共需要的天数（总份数）和平均数。
解900＋900×2＋100)÷(10＋10×1.8)
　＝2800÷28
　＝100(米)
答：修完这两条公路平均每天修100米。
例2. 一个水果店三种水果的单价平均是1.6元，已知香蕉比苹果贵0.2元，比柚子便宜0.5元，请你算一算每种水果的单价多少元。
分析：这是一道平均数问题逆向思考题，根据已知条件给出平均价钱是1.6元，这样就可以求出三种水果单价和的钱数，即1.6×=4.8（元），在此基础上再根据三种水果单价的数量之间的关系，运用假设思想求出问题的答案，可以用下面的线段图表示上述关系。
解：(1.6×3＋0.2－0.5)÷3
＝4.5÷3
＝15(元)
1.5－0.2＝1.3(元)
1.5＋0.5＝2(元)
答：香蕉单价是1.5元，苹果单价是1.3元，柚子的单价是2元。
想一想，如果假设和苹果单价一样多，该怎样列式？
例3.五名裁判给一名运动员评分，去掉一个最高分和一个最低分，平均得分9.58分；如果只去掉一个最高分，均分为9.46分；如果只去掉一个最低分，均分为9.66分。求这名运动员的最高得分和最低得分分别是多少？
分析:该题实质上是已知部分数的平均数,求个别数.依题意:去掉最高分和最低分后,该运动员的总得分为:9.58×3(分);去掉最高分后,该运动员的总得分为:9.46×4(分);去掉最低分后,该运动员的总得分为:9.66×4(分);因此,该运动员的最高分为:9.66×4-9.58×3=9.1(分)，最高分为:9.46×4-9.58×3=8.3(分)
例4．一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地,到达乙地后,又以每小时60千米的速度从乙地返回甲地,求这辆汽车往返一次的平均速度.
分析:往返一次的平均速度=往返一次的总路程÷往返一次的总时间.这一数量关系是正确解答这道题的  关键.
     由于往返一次的总路程题目没有告诉我们,我们不妨假设甲地到乙地的路程为S千米.所以:
　   S×2÷( S÷100+S÷60)   （请根据提示试着思考并解答）
我也能行
1．甲、乙两数的平均数是1.58，再加上丙则平均数是3.52，丙数是多少？
2．在爬山活动中，李林同学上山的速度为每小时0.24千米，6小时到达山顶，然后又以每小时0.4千米的速度沿原路下到山底，请算一算他上、下山的平均速度是多少
3．甲乙两数和是194，如果再加上丙数，这时平均数比甲乙两数平均数多2，丙数应是多少？
4．玲玲和明明的平均年龄是12岁，明明和林林的平均年龄是14岁，玲玲和林林的平均年龄是15岁，三人中年龄最大的是谁？最小的是谁？

5.甲、乙两数的平均数是3.21，丙数是2.64，若再加进丁，则四个数的平均数是3.6，丁是多少？
6.五个裁判给一个选手打分，如果去掉最低分，平均分是96.5分，如果去掉最高分，则该选手平均分是91.5分，请你算一算最高分与最低分相差几分？
7．小丁上学期数学测验前4次的平均成绩是88分，第五次测验后，平均成绩提高到90分，第五次他考了多少分？
8.有四个数，用其中三个数的平均数，再加上另外的一个数，按这样的方法计算，分别得到：28、36、42、46，那么原来四个数的平均数是多少？

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李况况

谢谢楼主~

amyi399

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五年级奥数集训专题讲座（十一）——时钟问题
时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟，
具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度
时针速度：每分钟走 小格，每分钟走0.5度
注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。
要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。
例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为 分。
教学目标：
①　行程问题中时钟的标准制定；
②　时钟的时针与分针的追及与相遇问题的判断及计算；
③　时钟的周期问题.

例题精讲：
模块一、时针与分针的追及与相遇问题
【例 1】        王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快 30 秒.而闹钟却比标准时间每小时慢 30 秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？
【解析】        闹钟比标准的慢 那么它一小时只走（3600-30）/3600个小时，手表又比闹钟快 那么它一小时走（3600+30）/3600个小时，则标准时间走1小时 手表则走（3600-30）/3600*（3600+30）/3600个小时，则手表每小时比标准时间慢1—【（3600-30）/3600*（3600+30）/3600】=1—14399/14400=1/14400个小时 ，也就是1/14400*3600=四分之一秒，所以一昼夜24小时比标准时间慢四分之一乘以24等于6秒
【巩固】        小强家有一个闹钟，每时比标准时间快3分。有一天晚上10点整，小强对准了闹钟，他想第二天早晨6∶00起床，他应该将闹钟的铃定在几点几分？(6：24)

【巩固】        小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢3分。有一天晚上9点整，小翔对准了闹钟，他想第二天早晨6∶30起床，于是他就将闹钟的铃定在了6∶30。这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分？(7点)

【巩固】        当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的钝角是多少度？(142.5度)

【例 2】        有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?

【解析】        在10点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“l”，有时针速度为“ ”，于是需要时间： ．所以，再过 分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显然为12点整，所以再经过 分钟，时针与分针第二次重合．标准的时钟，每隔 分钟，时针与分针重合一次． 我们来熟悉一下常见钟表(机械)的构成：一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数．所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟(1小时)，时针的速度为分针速度的 ．如果设分针的速度为单位“l”，那么时针的速度为“ ”．
【巩固】        钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？
【解析】        此题属于追及问题，追及路程是20格，速度差是 ，所以追及时间是： （分）。
【巩固】        现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？

【解析】        根据题意可知，3点时，时针与分针成90度，第一次重合需要分针追90度， （分）
【例 3】        钟表的时针与分针在8点多少分第一次垂直？
【解析】         此题属于追及问题，但是追及路程是4 格（由原来的40格变为15格），速度差是 ，所以追及时间是： （分）。
【例 4】        2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？
【解析】        根据题意可知，2点时，时针与分针成60度，第一次垂直需要90度，即分针追了90+60=150（度）， （分）
【例 5】        现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？
【解析】        时针的速度是 360÷12÷60=0.5(度/分),分针的速度是 360÷60=6(度/分),即 分针与时针的速度差是 6-0.5=5.5(度/分),10点时，分针与时针的夹角是60度， ,第一次在一条直线时，分针与时针的夹角是180度，,即 分针与时针从60度到180度经过的时间为所求。,所以 答案为  (分)
【巩固】        在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？

【解析】        根据题意可知，9点时，时针与分针成90度，第一次在一条直线上需要分针追90度，第二次在一条直线上需要分针追270度，答案为 （分）和 （分）
【例 6】        晚上8点刚过，不一会小华开始做作业，一看钟，时针与分针正好成一条直线。做完作业再看钟，还不到9点，而且分针与时针恰好重合。小华做作业用了多长时间？
根据题意可知， 从在一条直线上追到重合，需要分针追180度， （分）

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五年级奥数集训专题讲座（十）——牛吃草问题

英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．
“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．
解“牛吃草”问题的主要依据：
①        草的每天生长量不变；
②        每头牛每天的食草量不变；
③        草的总量 草场原有的草量 新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值
④        新生的草量 每天生长量 天数．
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度 (对应牛的头数 较多天数 对应牛的头数 较少天数) (较多天数 较少天数)；
⑶原来的草量 对应牛的头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数；
⑷吃的天数 原来的草量 (牛的头数 草的生长速度)；
⑸牛的头数 原来的草量 吃的天数 草的生长速度．
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．

教学目标：
①　理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.
②　初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系

例题精讲：
板块一：一块地的“牛吃草问题”

【例 1】        一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）
【解析】        设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了 份；23头牛吃9周共吃了 份．第二种吃法比第一种吃法多吃了 份草，这45份草是牧场的草 周生长出来的，所以每周生长的草量为 ，那么原有草量为： ．
供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要 (周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周．

【巩固】        牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？
【解析】        设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了 份；15头牛吃10天共吃了 份．第一种吃法比第二种吃法多吃了 份草，这50份草是牧场的草 天生长出来的，所以每天生长的草量为 ，那么原有草量为： ．
供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要 (天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．


【例 2】        牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？
【解析】        设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为 ，原有草量为 ，可供 （头）牛吃18周

【巩固】        (2007年湖北省“创新杯”)
牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则        头牛96天可以把草吃完．
【解析】        设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为 ，牧场原有草量为 ，要吃96天，需要 (头)牛．

【例 3】        有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？
【解析】        设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为 ，原有草量为： ．
现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这4头牛，那么原有草量需增加 才能恰好供这些牛吃8天，所以这些牛的头数为 (头)．

【巩固】        一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？
【解析】        设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为 ，原有草量为： ．如果4头牛吃30天，那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，此时原有草量还剩 ，而牛的头数变为6，现在就相当于：“原有草量30，每天生长草量1，那么6头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为： (天)．

模块二：“牛吃草问题”的变形
【例 4】        一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
【解析】        设1人1小时淘出的水量是“1”，淘水速度是 ，原有水量 ，
要求2小时淘完，要安排 人淘水

【巩固】        一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？
【解析】        设1人1分钟淘出的水量是“1”， 分钟的进水量为 ，所以每分钟的进水量为 ，那么原有水量为： ．5人淘水需要 (分钟)把水淘完．

【例 5】        画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。
【解析】        设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。 8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入 。8:30到8:45 共15分钟 5个入口共进入 ，15分钟到来的人数  ，每分钟到来 。8：30以前原有人 。 所以应排了 （分钟），即第一个来人在7：30

【巩固】        画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间．
【解析】        如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增长速度”，那么本题就是一个“牛吃草”问题．
设每一个入场口每分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为 ，即1分钟来的人为 ，原有的人为： ．这些人来到画展，所用时间为 (分)．所以第一个观众到达的时间为8点15分．
【疯狂操练】
1、一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天?



2、仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？



3、一水库原有存水量一定，河水每天匀速入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？




4、早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站．这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客．现要求5分钟放完，需设立几个检票口?
【解析】        设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客．
①1分钟新来多少个单位的旅客

②检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候，
  4×１５－ ×15=52
③5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客
52 + ×5=55
④设立几个检票口
(个)

5、食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派5个工人加工食品30天可以把面粉用完，如果派4个工人，40天可以把面粉用完，现在派4名工人加工了30天后，又增加了2名工人一起干，还需要几天加工完？
【分析】        开工前运进的面粉相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草”，工人加工食品相当于“牛在吃草”．
设1名工人1天用掉面粉的量为“1”，那么每天运来的面粉量为 ，原有面粉量为： ．如果4名工人干30天，那么将会加工掉30天新运来的面粉量以及90原有的面粉量，原有还剩 未加工，而后变成6名工人，还需要 (天)可以加工完．

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五年级奥数集训专题讲座（九）——行程问题（一）

        行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。行程问题的主要数量关系是：
路程=速度×时间。知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。
例1：甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行 56 千米，乙车每小时行 48 千米。两车在距中点 32 千米处相遇。东、西两地相距多少千米？




【思路导航】两车在距中点 32 千米处相遇，由于甲车的速度大于乙车的速度，所以相遇时，甲车应行了全程的一半多 32 千米，乙车行了全程的一半少 32 千米，因此，两车相遇时，甲车比乙车共多行了 32 × 2= 64 （千米）。两车同时出发，又相遇了，两车所行的时同是一样的，为什么甲车会比乙车多行 64 千米？因为甲车每小时比乙车多行 56－48 = 8 （千米）。 64 ÷8 =8 所以两车各行了 8 小时，求东、西的路程只要用（ 56 + 48 ）× 8 即可。
32× 2 ÷（56－48 )= 8 （小时）      
(56 + 48) ×8 = 832 （千米）
答：东、西两地相距 832 千米。

【疯狂操练】
1、小玲每分行 100 米，小平每分行 80 米，两人同时从学校和少年宫相向而行，并在离中点 120 米处相遇，学校到少年宫有多少米？


2、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每；小时行 40 千米，摩托车每小时行 65 千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距 75 千米，甲、乙两地相距多少千米？


3 ．小轿车每小时行 60 千米，比客车每小时多行 5 千米，两车同时从A、 B 两地相向而行，在距中点 20 千米处相遇，求A、 B 两地的路程。


例2：快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行 40 千米，经过 3 小时，快车已驶过中点 25 千米，这时快车与慢车还相距 7 千米。慢车每小时行多少千米？
【思路导航】快车3小时行驶 40×3 = 120 （千米），这时快车已驶过中点25千米，说明甲、乙两地间路程的一半是 120－25 = 95（千米）。此时，慢车行了 95－25－7 = 63（千米），因此慢车每小时行 63 ÷3 = 21 （千米）。
(40×3－25×2－7)÷3 = 2l (千米）           
答：慢车每小时行 21 千米。
【疯狂操练】
1、兄、弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。哥哥每分钟行 120米， 5 分钟后哥哥已超过中点 50 米，这时兄弟二人还相距 30 米。弟弟每分钟行多少米。


2、汽车从甲地开往乙地，每小时行 32 千米， 4 小时后，剩下的路比全程的一半少 8 千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到达乙地？


例3：甲、乙二人上午 8 时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快 6 千米。中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村 15 千米处遇到乙。求东、西两村相距多少千米？
      


【思路导航】二人相遇时，甲比乙多行 1 5 ×2 = 30 （千米），说明二人已行 30 ÷6 = 5 （小时），上午 8 时至中午12 时是 4 小时，所以，甲的速度是 15÷（5－ 4）= 15 （千米）。因此，东、西两村的距离是 15×( 5 － l ）=60 （千米）。
上午 8 时至中午l2时是4小时。
15×2 ÷ 6 =5 （小时）
15÷（5－4 ) = 15 （千米）
15× ( 5－1) = 60 （千米）
答：东、西村相距 60 千米。
【疯狂操练】
1、甲、乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250 米，乙每分钟走 90 米。甲到达 B 地后立即返回 A 地，在离 B 地 32千米处与乙相遇。 A 、 B 两地间的距离是多少千米？


2、小平和小红同时从学校出发步行去小平家，小平每分钟比小红多走 20 米。 30 分钟后小平到家，到家后立即原路返回，在离家350 米处遇到小红。小红每分钟走多少千米？


3 ，甲、乙二人上午 7 时同时从A地去 B 地，甲每小时比乙快8千米。上午 11 时甲到达 B 地后立即返回．在距 B 地 24 千米处与乙相遇。求A、 B 两地相距多少千米？


例4：甲、乙两队学生从相距18千米的两地同时出发，相向而行，一个同学骑自行车以每小时14千米的速度行驶，在两队之间不停地往返联络，甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米。两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？
【思路导航】 要求骑自行车的同学一共行多少千米，就要知道他的速度和所行时间。骑自行车同学的速度是每小时 14 千米，而他行的时间就是甲、乙两队学生从出发到相遇这段时间。因此，用18÷（4+5）=2（小时），用这个时间乘以他的速度就是他行的路程。
18 ÷( 4 + 5 ) = 2 （小时）
                                   14× 2 =28 （千米）  
答：骑自行车的同学共行 28 千米
【疯狂操练】
1、两支队伍从相距 55 千米的两地相向而行 。通讯员骑马以每小时 16 千米的速度在两支队伍之间不断往返联络。已知一支队伍每小时行 5 千米，另一支队伍每小时行 6 千米，两队相遇时，通讯员共行多少千米。


2、甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是 100千米。时行 6 千米，乙每小时行 4 千米。甲带着一只狗，狗每小时10千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇时。这只狗一共走了多少千米？


3 ．两队同学同时从相距 30 千米的甲、乙两地相向出发，一只鸽子以每小时 20 千米的速度在两队同学之间不断往返送信如果鸽子从同学们出发到相遇共飞行了 30 千米，而甲队同学比乙队同学每小时多走0.4 千米，求两队同学的行走速度.