初中数学公开课一元二次方程根与系数的关系优秀教学设计和反思 - 绿色圃中小学教育网

教学过程

教学环节

教师活动

预设学生行为

设计意图

问题引探

解下列方程：

2x2+5x+3=0 3x2-2x-8=0

并根据问题2和以上的求解填写下表

请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？

问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。

问题5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。

分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。

若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为

x1= ，x2= 。

则

x1+x2= + = ；

x1 x2= ·

此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。

这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。

探索发现

问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）

①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；

②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；

③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；

④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。

⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。

学生交流探讨

本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。

尝试发展

根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）

1）2x2-3x+1=0 x1+x2= ________ x1x2= _________

（2）3x2+5x=0 x1+x2= ________ x1x2= __________

（3）5x2+x-2=0 x1+x2= _________ x1x2= __________

（4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _________ x1x2= __________

此试一试、巩固知识

拓展创新

利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和。

讨论：解上面问题的思路是什么？

x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;

将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式

师生共同归纳小结

本课主要研究了什么？

1、方程的根是由系数决定的。2、a≠0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。4、b2-4ac的值可判定根的情况。5、方程根与系数关系的有关应用。

回顾总结

板书设计

一元二次方程根与系数的关系

如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。

问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？

①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；

②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；

③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；

④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。

⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。