人教版九年级数学上册一元二次方程根与系数的关系教学设计和反思 - 绿色圃中小学教育网

教学过程

教学环节

教师活动

预设学生行为

设计意图

问题引探

解下列方程：

2x2+5x+3=0 3x2-2x-8=0

并根据问题2和以上的求解填写下表

请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？

问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。

问题5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。

分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。

若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为
x1= ，x2= 。

则

x1+x2= + = ；

x1 x2= ·

此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。

这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。

探索发现

问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）

①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；

②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；

③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；

④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2= ，x1x2= 。

⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。

学生交流探讨

本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。

尝试发展

根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）

1）2x2-3x+1=0 x1+x2= ________ x1x2= _________

（2）3x2+5x=0 x1+x2= ________ x1x2= __________

（3）5x2+x-2=0 x1+x2= _________ x1x2= __________

（4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _________ x1x2= __________

此试一试、巩固知识

拓展创新

利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和。

讨论：解上面问题的思路是什么？

x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;

将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式

师生共同归纳小结

本课主要研究了什么？

1、方程的根是由系数决定的。2、a≠0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。4、b2-4ac的值可判定根的情况。5、方程根与系数关系的有关应用。

回顾总结

板书设计

一元二次方程根与系数的关系

如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。

问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？

①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；

②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；

③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；

④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2= ，x1x2= 。

⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。