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标题: 北师大版八年级上册数学第七章解二元一次方程组教案导学案 [打印本页]

作者: admin 时间: 2012-9-3 15:17
标题: 北师大版八年级上册数学第七章解二元一次方程组教案导学案
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作者: admin 时间: 2012-9-3 15:17
第七章解二元一次方程组

§7.2.1  解二元一次方程组(一)

知识与技能目标：
1.代入消元法解二元一次方程组.
2.解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”的化归思想.
过程与方法目标：
1.会用代入消元法解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
情感态度与价值观目标：
1.在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的乐趣，提高学习数学的信心.
2.培养学生合作交流，自主探索的良好习惯.
教学重点
1.会用代入消元法解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
教学难点
1.“消元”的思想.
2.“化未知为已知”的化归思想.
教学方法
启发——自主探索相结合.
教师引导学生回忆一元一次方程解决实际问题的方法并从中启发学生如果能将二元一次方程组转化为一元一次方程.二元一次方程便可获解，从而通过学生自主探索总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.
教具准备
投影片两张：
第一张：例题(记作§7.2.1 A)；
第二张：问题串(记作§7.2.1 B).
教学过程
Ⅰ.提出疑问，引入新课
［师生共忆］上节课我们讨论过一个“希望工程”义演的问题；没去观看义演的成人有x个，儿童有y个，我们得到了方程组成人和儿童到底去了多少人呢？
［生］在上一节课的“做一做”中，我们通过检验是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34，得知这个解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根据二元一次方程组解的定义得出是方程组的解.所以成人和儿童分别去了5个人和3个人.
［师］但是，这个解是试出来的.我们知道二元一次方程的解有无数个.难道我们每个方程组的解都去这样试？
［生］太麻烦啦.
［生］不可能.
［师］这就需要我们学习二元一次方程组的解法.
Ⅱ.讲授新课
［师］在七年级第一学期我们学过一元一次方程，也曾碰到过“希望工程”义演问题，当时是如何解的呢？
［生］解：设成人去了x个，儿童去了(8－x)个，根据题意，得：
5x+3(8－x)=34
解得x=5
将x=5代入8－x=8－5=3
答：成人去了5个，儿童去了3个.
［师］同学们可以比较一下：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？
［生］列二元一次方程组设出有两个未知数成人去了x个，儿童去了y个.列一元一次方程设成人去了x个，儿童去了(8－x)个.y应该等于(8－x).而由二元一次方程组的一个方程x+y=8根据等式的性质可以推出y=8－x.
［生］我还发现一元一次方程中5x+3(8－x)=34与方程组中的第二个方程5x+3y=34相比较，把5x+3y=34中的“y”用“8－x”代替就转化成了一元一次方程.
［师］太好了.我们发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识转化为旧知识便可.如何转化呢？
［生］上一节课我们就已知道方程组的两个未知数所包含的意义是相同的.所以将       中的①变形，得y=8－x  ③我们把y=8－x代入方程②，即将②中的y用8－x代替，这样就有5x+3(8－x)=34.“二元”化成“一元”.
［师］这位同学很善于思考.他用了我们在数学研究中“化未知为已知”的化归思想，从而使问题得到解决.下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.
解：
由①得  y=8－x  ③
将③代入②得
5x+3(8－x)=34
解得x=5
把x=5代入③得y=3.
所以原方程组的解为
下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题.
［师生共析］解二元一次方程组：

分析：我们解二元一次方程组的第一步需将其中的一个方程变形用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，把表示了的未知数代入未变形的方程中，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程.
解：由①得x=2+y  ③
将③代入②得(2+y)+1=2(y－1)
解得y=5
把y=5代入③，得
x=7.
所以原方程组的解为即老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹.
［师］在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入第二个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”而得到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.这种解二元一次方程组的思想为消元思想.我们再来看两个例子.
出示投影片(§7.2.1 A)
［例题］解方程组
(1)
(2)

(由学生自己完成，两个同学板演).
解：(1)将②代入①，得
3× +2y=8
3y+9+4y=16
7y=7
y=1
将y=1代入②，得
x=2
所以原方程组的解是
(2)由②，得x=13－4y  ③
将③代入①，得
2(13－4y)+3y=16
－5y=－10
y=2
将y=2代入③，得
x=5
所以原方程组的解是
［师］下面我们来讨论几个问题：
出示投影片(§7.2.1 B)
(1)上面解方程组的基本思路是什么？
(2)主要步骤有哪些？
(3)我们观察例1和例2的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？

作者: admin 时间: 2012-9-3 15:17

(由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法)
［生］我来回答第一问：解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.
［生］我们组总结了一下解上述方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，把它变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数.
第二步：把表示另一个未知数的代数式代入没有变形的另一个方程，可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.
第五步：用“{”把原方程组的解表示出来.
第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)把求得的解代入每一个方程看是否成立.
［师］这个组的同学总结的步骤真棒，甚至连我们平时容易忽略的检验问题也提了出来，很值得提倡.在我们数学学习的过程中，应该养成反思自己解答过程，检验自己答案正确与否的习惯.
［生］老师，我代表我们组来回答第三个问题.我们认为用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的分数是1的方程进行变形；若未知数的系数都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.但我们也有一个问题要问：在例2中，我们选择②变形这是无可厚非的，把②变形后代入①中消元得到的是一元一次方程系数都为整数也较简便.可例1中，虽然可直接把②代入①中消去x，可得到的是含有分母的一元一次方程，并不简便，有没有更简捷的方法呢？
［师］这个问题提的太好了.下面同学们分组讨论一下.如果你发现了更好的解法，请把你的解答过程写到黑板上来.
［生］解：由②得2x=y+3  ③
③两边同时乘以2，得
4x=2y+6  ④
由④得2y=4x－6
把⑤代入①得
3x+(4x－6)=8
解得7x=14,x=2
把x=2代入③得y=1.
所以原方程组的解为
［师］真了不起，能把我们所学的知识灵活应用，而且不拘一格，将“2y”整体上看作一个未知数代入方程①，这是一个“科学的发明”.
Ⅲ.随堂练习
课本P192
1.用代入消元法解下列方程组
解：(1)
将①代入②，得
x+2x=12
x=4.
把x=4代入①，得
y=8
所以原方程组的解为
(2)
将①代入②，得
4x+3(2x+5)=65
解得x=5
把x=5代入①得
y=15
所以原方程组的解为
(3)
由①，得x=11－y  ③
把③代入②，得
11－y－y=7
y=2
把y=2代入③，得
x=9
所以原方程组的解为
(4)
由②，得x=3－2y  ③
把③代入①，得
3(3－2y)－2y=9
得y=0
把y=0代入③，得x=3
所以原方程组的解为
注：在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，不必强调解答过程统一.
Ⅳ.课时小结
这节课我们介绍了二元一次方程组的第一种解法——代入消元法.了解到了解二元一次方程组的基本思路是“消元”即把“二元”变为“一元”.主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值.即求得了方程的解.
Ⅴ.课后作业
1.课本P192习题7.2
2.解答习题7.1第3题
3.预习课本P193~P194
Ⅵ.活动与探究
已知代数式x2+px+q,当x=－1时，它的值是－5；当x=－2时，它的值是4,求p、q的值.
过程：根据代数式值的意义，可得两个未知数都是p、q的方程，即
当x=－1时，代数式的值是－5，得
(－1)2+(－1)p+q=－5    ①
当x=－2时，代数式的值是4，得
(－2)2+(－2)p+q=4    ②
将①、②两个方程整理，并组成方程组

作者: admin 时间: 2012-9-3 15:17

解方程组，便可解决.
结果：由④得q=2p
把q=2p代入③，得
－p+2p=－6
解得p=－6
把p=－6代入q=2p=－12
所以p、q的值分别为－6、－12.
板书设计

§7.2.1  解二元一次方程组(一)
一、“希望工程”义演

二、“谁的包裹多”问题

三、例题
四、解方程组的基本思路：消元即二元—→一元
五、解二元一次方程组的基本步骤

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§7.2.2  解二元一次方程组(二)

知识与技能目标：
1.用加减消元法解二元一次方程组.
2.进一步了解解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”化归思路.
过程与方法目标：
1.会用加减消元法解二元一次方程组.
2.根据不同方程的特点，进一步体会解二元一次方程组的基本思路——消元.
情感态度与价值观目标：
1.进一步体会解二元一次方程组的消元思想，在化“未知为已知”的过程中，体验学习的快乐.
2.根据方程组的特点，培养学生学习教学的创新、开拓的意识.
教学重点
1.掌握加减消元法解二元一次方程组的原理及一般步骤.
2.能熟练地运用加减消元法解二元一次方程组.
教学难点
1.解二元一次方程组的基本思路消元即化“二元”为“一元”的思想.
2.数学研究的“化未知为已知”的化归思想.
教学方法
启发——比较——自主探索相结合.
由一个引例启发学生除可以利用代入消元法可以消去一个未知数，获得问题的解答.通过观察比较可以发现如果某个未知数的系数相反或相同，这时我们就可以依据等式的性质将方程两边相加或相减，从而消去一个未知数，从而更进一步引导学生自主探索解二元一次方程组的加减消元法直至熟练掌握.
教具准备
投影片一张：问题串(记作§7.2.2 A).
教学过程
Ⅰ.提出疑问，创设问题情景，引入新课
［师］怎样解下面的二元一次方程组呢？

［生1］解：把②变形，得x= ③
把③代入①，得
3× +5y=21,
解得y=－3.
把y=3代入②，得
x=2.
所以方程组的解为
［生2］解：由②得5y=2x+11  ③
把5y当做整体将③代入①，得
3x+(2x+11)=21
解得x=2
把x=2代入③，得
5y=2×2+11
y=3
所以原方程的解为
［师］我们可以发现第二种解法比第一种解法简单.有没有更好的解法呢？也就是说，我们上一节课学习了用代入的方法可以消元，从而使“二元”变为“一元”.那么有没有别的消元办法也可以使“二元”变为“一元”.
［生］我发现了方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据互为相反数的和为零，如果能将方程①和②的左右两边相加，根据等式的性质我们可以得到一个含有x的等式，即一元一次方程，而5y+(－5y)=0消去了y.
［师］很好.这正是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法.
Ⅱ.讲授新课
［师］下面我们就用刚才这位同学的方法解上面的二元一次方程组.
解：
由①+②，得
(3x+5y)+(2x－5y)=21+(－11),
即3x+2x=10,
x=2,
把x=2代入②中，得
y=3.

作者: admin 时间: 2012-9-3 15:17

所以原方程组的解为
［师生共析］一个方程组我们用了三种方法，从中可以发现，恰当地选择解法可以起到事半功倍的效果.回忆上一节的练习和习题，看哪些题用代入消元法解起来比较简单？哪些题我们用加减消元法简单？我们分组讨论，并派一个代表阐述自己的意见.
［生］我们组认为课本P192的随堂练习的(3)(4)小题用加减消元法简单.
［师］你们组能派两位同学有加减消元法把这两个方程组解一下吗？
［生］可以.
(学生黑板板演，接着听其他组讨论的结果)
［生］我们组认为习题7.2.1(2)也可以用加减消元法，我可以到黑板上做.
［生］老师，习题7.2.1(4)把方程组变形后，得也可以用加减消元法.我在黑板上做.
［师］下面，我们讲评一下刚才这几位同学解方程组的方程.(1)  (2) 这两个方程组中，y的系数都是互为相反数，因此这两位同学都用了用方程组中的两个方程相加，从而把y消去，将二元转化为一元，最后解出了方程的解，很好.(3)       我们观察此方程y的系数都是1，因此这位同学想到了用②－①,得x=3，代入①就解出y=2.(4)       这位同学将方程组整理，得       由②－③得8n=－16，n=－2，把n=－2代入②便得m=5.这几位同学的解法很好，同学们已经发现了方程组中如果一个未知数的系数相反或相同，我们就可以用加减消元法来解方程组.
［生］老师，我有一个问题：习题7.2的(3)小题，用代入消元法解，较麻烦.用加减消元法解，x、y的系数不相同也不相反，没有办法用加减消元法.是不是还有别的方法.
［师］这个同学提的问题太好了.能发现问题是我们学习很重要的一个方面，同学们应该向他学习.接下来，同学们分组讨论，方程组       不用代入消元法如何解？
［生］老师，我们组想出了一个办法，能不能用等式的性质将这个方程组中的x或y的系数化成相等(或相反)呢？
［生］可以.我只要在方程①和方程②的两边分别除以3和4，x的系数不就变成“1”了吗？这样就可以用加减消元法了.
［生］我不同意.这样做，y的系数和常数项都变成了分数，比代入消元法还麻烦.我觉得应该找到y的系数－2的绝对值和3的最小公倍数6，在方程①两边同乘以3，得9x－6y=－12③,在方程②两边同乘以2，得8x+6y=－22④,然后③+④，就可以将y消去，得17x=    －34,x=－2.把x=－2代入①得，y=－1.所以方程组的解为
［师］同学们为他鼓掌，他的想法太精彩了，我们祝贺他.其实在我们学习数学的过程中，不一定二元一次方程组中未知数的系数刚好是1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反.我们遇到的往往就是象习题7.2.1.(3)题这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的.下面我们看一个例子.
解方程组
分析：未知数的系数没有绝对值是1的，也没有哪一个未知数的系数相同或相反.我们观察可以发现，x的系数绝对值较小，因此我们找到2和3的最小公倍数6，然后①×3，②×2，便可将①②的x的系数化为相同.
解：①×3得6x+9y=36  ③
②×2,得6x+8y=34  ④
③－④，得y=2.
将y=2代入①，得x=3.
所以原方程组的解是
［师］我们根据上面几个方程组的解法，接下来讨论下面两个问题：
出示投影片(§7.2.2 A)
(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？
(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？
(由学生分组讨论、总结)
［师生共析］(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤.
第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边分别相减，消去这个未知数.
第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数的绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元.
第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等).通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑.
Ⅲ.随堂练习
课本P195.用加减消元法解下列方程组：
1.解：(1)
①+②，得16x=－16
x=－1
把x=－1代入①，得
y=－5
所以原方程的解为
(2)
②－①，得6y=－18
y=－3
把y=－3代入①，得
x=－2
所以原方程组的解为
(3)
①－②×2得5t=15
t=3
把t=3代入②，得
s=－1
所以原方程组的解为
(4)
①×2－②×3,得－11x=33
x=－3
把x=－3代入①得y=－4
所以原方程组的解为

作者: admin 时间: 2012-9-3 15:17

注：在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，不必强调解答过程统一.
Ⅳ.课时小结
关于二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法我们全部学完了.比较这两种解法我们会发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”.
Ⅴ.课后作业
1.课本P197、习题7.3
2.阅读P195读一读•你知道计算机是如何解方程组吗.
Ⅵ.活动与探究
解三元一次方程组：

过程：解二元一次方程组的实质是消元，即通过消去一个未知数，由“二元”变为“一元”，于是我们联想，能否借助解二元一次方程组消元的思路，将三元一次方程组消元，由“三元”消为“二元”，不就是我们刚学过的二元一次方程组吗.我们观察这个方程组②中不含未知数z，如果能利用①和②消去z，不就又得到一个和②一样只含x,y的二元一次方程④，将②和④联立成二元一次方程组.也就将三元一次方程组消元，由“三元”变为“二元”.
结果：解：由①－③得
－x+2y=8  ④
联立②、④得
由②+④得y=9
把y=9代入②，得x=10
把x=10、y=9代入①得z=7
所以三元一次方程组的解为：
板书设计
§7.2.2  解二元一次方程组(二)
一、学生板演

解法一：代入消元法
解法二：(加减消元法)
解法三：(整体代入法)
二、加减消元法的思路和步骤
三、例题(用加减消元法求解)
四、课时小结

§7.3  鸡兔同笼

知识与技能目标：
1.会用二元一次方程组解决实际问题.
2.在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界.
过程与方法目标：
1.在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程解决现实问题的意识和应用能力.
2.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，进一步提高解方程组的技能.
情感态度与价值观目标：
1.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养应用数学的意识.
2.在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣.
教学重点
1.让学生经历和体验到方程组解决实际问题的过程.
2.进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力.
教学难点
用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学建模的过程.
教学方法
自主发现法.
学生在教师的启发引导下通过对具体实际的问题分解，组织学生自主交流，探索去发现列方程建模的过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学的意识.
教具准备
投影片一张：鸡兔同笼(记作§7.3 A).
教学过程
Ⅰ.提出问题，激发兴趣
［师］我们本章的开头就介绍过“鸡兔同笼”的问题，这节课我们接着用方程来解决此问题，看结果如何？
Ⅱ.讲授新课
出示投影片(§7.3 A)
1.今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
(1)“上有三十五头”“下有九十四足”如何解释？
(2)你能根据(1)中的数量关系列出方程组吗？
(3)你能解决这样的问题吗？
2.有2元，5元，10元人民币共50张，合计305元，其中2元的张数与5元的张数相同，三种人民币各有多少张？
(1)这个问题和上面的“鸡兔同笼”问题有联系吗？
(2)你准备设几个未知数？
(3)你能根据题目中的已知量、未知量及它们之间的关系列出方程组吗？
(4)你能解决这样的问题吗？
［师］就上面的问题，我们先分组讨论.
(学生在讨论时，教师可参与到学生的讨论，听学生的想法，以便能及时了解学生的思路)
［师生共析］1.(1)“上有三十五头”是指“鸡和兔共有35只.即“鸡的只数+兔的只数=35只”.“下有九十四足”是指鸡的腿与兔子的腿的和为94条.即“鸡的腿+兔子的腿=94”.
(2)根据(1)中的数量关系，我们可以设鸡有x只，兔有y只，可得x+y=35  ①，2x+4y=94  ②,把①和②联立方程组，得

作者: admin 时间: 2012-9-3 15:17

(3)解法一：由①得y=35－x    ③
把③代入②中，得2x+4(35－x)=94
解得x=23
把x=23代入①，得y=12.
所以原方程组的解为
解法二：②－①×2，得
2y=24
y=12
把y=12代入①，得x=23
所以原方程组的解为
答：鸡有23只，兔子有12只.
和这一章最开始引言中用算术方法和一元一次方程的方法来解“鸡免同笼”的问题来比较，用列二元一次方程组来解决此题会更直观，更容易理解.
2.(1)这个问题类似于“鸡兔同笼”的问题.因为它也是将“2元，5元，10元”的人民币混合在了一起，只知道总共有多少张，合起来共多少元，求2元，5元，10元的人民币各有多少张？
(2)在这个题目中，设两个未知数也可以；设三个未知数也可以.我们先来看设两个未知数的情况.由于2元和5元的张数相同，我们可以各设有x张，10元的张数有y张.
(3)根据题目中的已知条件可找到两个等量关系即：2元的张数+5元的张数+10元的张数=50张，2元的总面值+5元的总面值+10元的总面值=305元，于是我们根据(1)中的未知数列出二元一次方程组：

(4)用代入消元法和加减消元法都可解决.可由同学们板演完成.
解法一：由①得y=50－2x       ③
把③代入②，得x=15
把x=15代入③，得y=20
所以原方程组的解为
解法二：①×10－②，得
x=15
把x=15代入①，得y=20
所以原方程组的解为
答：2元和5元的人民币各有15张，10元的人民币有20张.
［议一议］如果2、(2)中设有三个未知数，即如果设2元的人民币有x张，5元的人民币y张，10元的人民币z张，如何列出方程组，解上述问题呢？
［生］我们在设未知数时，没有利用2元的人民币和5元的人民币张数相等这个条件，因此列出的方程就多出一个，再加上我们刚才的两个相等关系，列出的是一个三元一次方程组即由x=y  ①，x+y+z=50  ②，2x+5y+10z=305  ③，组成的三元一次方程组.
［师］我们没有详细地讲过三元一次方程组的解法，但我们借鉴二元一次方程组的基本思路——消元，可以解答这个三元一次方程组.下面我们一同来解方程组

我们可以将①代入②和③，得二元一次方程组

解这个二元一次方程组，得

把y=15代入①得x=15
所以方程组的解为
［生］老师，看来解方程组未知数出了并不可怕，关键是掌握解方程组的基本思路——消元.
［师］的确如此.我们学会了解方程组可以解决许多问题.下面我们再来看一下例子.估计大家小学的时候见过.
［例1］以绳测井.若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？
谁来给大家解释一下题意.
［生］老师，我试一下.这个题目的大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子三折即折成三等份，则一份绳子的长度比井多五尺；如果将绳子四折即折成四等份，则一份绳子的长度比井深多一尺.绳长、井深各是多少尺？
［师］这位同学解释得很棒.接下来我们就将此问题转化成数学模型方程组来解决它.首先我们可以从题目中找到相等关系.你知道相等关系蕴含在哪两句话里?你能用含文字的等式表示出来吗?
［生］可以.我认为相等关系蕴含在“将绳三折测之，绳多五尺”和“若将绳四折测之，绳多一尺”.这两句话中，用等式表示出来为：
绳长÷3－井深=5             ①
绳长÷4－井深=1             ②
［生］老师，我认为相等关系也在这两句话中，但我用下面的等式表示：
绳长－3×井深=5×3          ③
绳长－4×井深=1×4          ④
［师］很好.我们现在设出未知数，设绳长为x尺，井深为y尺，根据①、②得方程组为：

根据③、④得方程组：

我们观察这两个方程组虽然形式上不同，但我们将第一个方程组中的方程化简，整理便可得出第二个方程组.因此这两个方程组是“同工异曲”的效果.下面我们在练习本上解出方程组的解，你可以任意选其中之一.
(然后让两位学生黑板上板演，教师讲评)
解法一：设绳长x尺，井深y尺，则

①－②，得 =4,

作者: admin 时间: 2012-9-3 15:17

=4
x=48
将x=48代入①，得y=11
答：绳长48尺，井深11尺.
解法二：设绳子长x尺，井深y尺，则

由③－④，得y=11
把y=11代入④，得x=48
答：绳长48尺，井深11尺.
［师生共析］我们在列方程组解决实际问题时，应先分析题目中的已知量、未知量是什么，各个量之间的关系是什么，找出它们之间的相等关系，列出方程(组)，建模过程就可完成，因此我们说解决实际问题的建模过程非常重要.
Ⅲ.随堂练习
课本P199.
1.解：设每头牛值“金”x两，每只羊值“金”y两，则
由①×2－②×5，得y= .
把y= 代入②，得x= .
所以，每头牛值“金” 两，每头羊值“金” 两.
2.解：设甲带钱x，乙带钱y，
则
由①×2－②，得x=37
把x=37 代入①，得y=25
所以甲带钱37 ，乙带钱25.
Ⅳ.课时小结
本节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程，体会到方程组是刻画现实世界的有效模型，从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.
Ⅴ.课后作业
1.课本P199习题7.4.
2.收集资料：算经+书(网址：www.CBE21.com)的数学史料，以一组为单位办1份数学史料手抄报.
Ⅵ.活动与探究
如图，在一个正方体的顶点处填上1~9的数码中的8个，每一个顶点只填一个数码.使得正方体每个面上的四个顶点所填数码之和均为18，那么未被填上的数码是什么？
过程：如果用1~9中的每一个数去试，过程会很繁.根据题意，我们可以利用方程这个数学模型，使问题简单化.

结果：设未被填上的数为x，根据题意，可得：
(1+2+…+9－x)÷2=18
得45－x=36
x=9
所以未被填上的数是9.
板书设计
§7.3 鸡兔同笼
一、鸡兔同笼
解：设鸡兔各有x只、y只，
根据题意，得：

(由学生板演解方程组的过程)
二、例题讲解
例1(课本P198)
三、随堂练习
(由学生板演)

§7.4 增收节支

知识与技能目标：
1.会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组.
2.继续熟练二元一次方程组的解法和基本思路.
过程与方法目标：
1.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力.
2.加强学生列方程组的技能训练，形成解决实际问题的一般性策略.
情感态度与价值观目标：
1.通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性.
2.培养学生的创新、开拓、克服学习中困难的科学精神.
教学重点
用列表的方式分析题目中的各个量的关系.加强学生列方程组的技能训练.
教学难点
借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系.
教学方法
学生自主活动探究的方法.
学生在列一元一次方程解决实际问题经验的基础上，根据基本量关系，由学生自主探索，列表分析问题中所蕴涵的数量关系.从而列出二元一次方程组，解决实际问题.
教具准备
投影片两张：
第一张：问题串(记作§7.4 A)；
第二张：例1(记作§7.4 B).
教学过程
Ⅰ.创设情境，引入新课
［师］我们来看一组填空题.(出示投影片§7.4 A)填空：
(1)某工厂去年的总产值是x万元，今年的总产值比去年增加了20%，今年的总产值为_________.
(2)某工厂去年的总支出为y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出为_________.
(3)某工厂今年的利润为780万元，根据(1)、(2)可得_________=780万元(利润=总产值－总支出).
下面我们就一起分析上面的三个填空.
［师生共析］(1)今年的总产值比去年增加了20%，即今年的总产值=去年的总产值×(1+20%)=(1+20%)x万元.
(2)今年的总支出比去年减少了10%，即今年的总支出=去年的总支出×(1－10%)=(1－10%)y万元.
(3)今年的利润为780万元，由(1)、(2)可得今年的利润又可表示为［(1+20%)x－(1－10%)y］万元，所以(1+20%)x－(1－10%)y=780
这节课我们就来研究一下增收节支的问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］我们来看一个生活中实例：我校校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加了10%，总支出节约了20%，因而总收入比总支出多100万元.求去年我校校办工厂的总收入和总支出各多少万元？
［师生共析］我们可以注意到这个例子中蕴涵的数量关系比较复杂，我们是否可以用列表的形式将今年和去年的总支出和总收入列表进行对比，从而使他们的关系一目了解.
［议一议，试一试］如果设去年的总产值是x万元，总支出是y万元，根据题意，填充下面表格：
总收入/万元总支出/万元
去年 x y
今年 (1+10%)x (1－20%)y

作者: admin 时间: 2012-9-3 15:17

所以根据题意可填入表格，今年的总产值为(1+10%)x万元，总支出为(1－20%)万元，由条件就可得到方程组

［师］下面我们就来解上面这个方程组，分组来完成，看哪一个组做得快.
［生］老师，我们组解出来了.解法如下：
解：化简方程组，得

由①得x=50+y ④
把④代入③，得
1.1(50+y)－0.8y=100,
0.3y=45
y=150
把y=150代入④，得x=200
所以方程组的解为
即去年的总产值是200万元，总支出为150万元.
［生］我们组也解出来了.我觉得刚才的一组在处理方程组中的方程②处理得不彻底，因此，系数是小数，给解方程带来了不必要的麻烦.我们组的解法如下：
解：由②，得1.1x－0.8y=100
方程两边再同时乘以10，得
11x－8y=1000 ③
由①，得x=50+y ④
把④代入③，得3y=450
y=150
把y=150代入④，得x=200.
［师］不错.能够恰当地利用等式的性质，使问题简化，值得提倡.
［生］我们组用的不是代入消元法，我们组是在第二组解法的基础上，用的加减消元法.
［师］我们已能用多种方法解方程组，看来我们最关键的一步应是如何根据题意，列出方程组，下面我们再来看一个例子.
出示投影片§7.4 B
［例1］医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位蛋白质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位蛋白质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？

［师生共析］我们可以设每餐甲、乙两种原料各x、y克恰好满足病人的需要.根据题意可知每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，所以x克甲原料含0.5x单位蛋白质和x单位铁质.每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质，所以y克乙原料含0.7x单位蛋白质和0.4x单位铁质，因此，我们可列出下列表格：
甲原料x克乙原料y克所配制的营养品
其中所含的蛋白质 0.5x单位 0.7y单位 35单位
其中所含的铁质 x单位 0.4y单位 40单位

根据题意，得
化简，得
①－②，得5y=150
y=30
将y=30代入①，得
x=28
所以每餐需甲原料28克，乙原料30克.
Ⅲ.随堂练习
课本P201.
1.解：设一、二两班学生数分别为x名、y名，填写下表：
一班二班两班总数
学生数/名 x y 100
达标学生数/名 87.5%x 75%y 81%(x+y)

根据题意，得
化简，得
③+①×60，得125x=6000
x=48
把x=48代入①，得y=52
所以一班有48人，二班有52人.
2.解：设甲、乙两人每时分别行走x千米，y千米，填写下表并求x、y的值.
甲行走的路程乙行走的路程两人行走的路程和
第一种情况(甲先走2小时) (2+2.5)x 2.5y (2+2.5)x+2.5y
第二种情况(乙先走2小时) 3x (2+3)y 3x+(2+3)y

根据题意可得：

化简，得
③×2－④得6x=36
x=6
把x=6代入④，得y=3.6
所以，甲乙两人每小时各走6千米，3.6千米.
Ⅳ.课时小结
这节课我们借助于列表分析具体问题中蕴涵的数量关系，使题目中的相等关系随之而清晰地浮现出来.同时，我们通过解二元一次方程组使问题得以解决，提高了列方程组的技能.
Ⅴ.课后作业
1.课本P202习题7.5.
2.总结列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
Ⅵ.活动与探究
现有两种溶液，甲种溶液由酒精1升，水3升配制而成，乙种溶液由酒精3升，水2升配制而成，要配制成50%的酒精溶液7升，问两种溶液各需多少升？
过程：题目中的数据较多，我们可以将它们统一列在表格中，从而使它们之间的关系一目了然，便于寻找等量关系.
首先有：
酒精(升) 水(升) 溶液(升) 浓度
甲 1 3 4 25%
乙 3 2 5 60%

设甲、乙两种溶液分别需要x,y升，则：

溶液(升) 浓度酒精(升)
甲 x(x≤4) 25% x•25%
乙 y(y≤5) 60% y•60%
合计 7 50% 3.5

作者: admin 时间: 2012-9-3 15:18

有等量关系：
结果：解：设甲、乙两种溶液x升、y升，根据题意，可得：

解得
所以需甲种溶液2升，乙种溶液5升(全部溶液)，可配制成50%的酒精溶液7升.
板书设计
§7.4 增收节支
一、例1(P200)增收节支
分析：用表格分析题意：
解：(学生板演)
二、随堂练习
(由学生板演)
三、课时小结
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§7.5 里程碑上的数

知识与技能目标：
1.用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题.
2.归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
过程与方法目标：
1.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型.
2.初步体会列方程组解决实际问题的一般步骤.
情感态度与价值观目标：
1.“里程碑上的数”这一场景既是一个数字问题，又和行程有关.相对而言有一定难度，让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气.
2.鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神.
教学重点
1.用二元一次方程组刻画数学问题和行程问题.
2.初步体会列方程组解决实际问题的步骤.
教学难点
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型.
教学方法
引导——讨论——发现法.
“里程碑上的数”既是一个数字问题，又是一个行程问题，相对较难，学生在教师的引导下化解成几个简单问题，通过学生讨论解决关键问题，从而使问题迎刃而解.同时通过学生自己讨论发现数学问题不同情况下的字母表示方法.
教具准备
投影片两张：
第一张：问题串(记作§7.5 A)；
第一张：例1(记作§7.5 B).
教学过程
Ⅰ.创设情境，引入新课
出示投影片(§7.5 A)
［问题1］(1)一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为_________；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为_________.
(2)有两个两位数x和y,如果将x放在y的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数就可以表示为_________；如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数，那么这个新的四位数又可表示为_________.
(3)一个两位数，个位上的数为m，十位上的数为n，如果在它们之间添上一个零，就得到一个三位数，用代数式表示这个三位数为_________.
［师生共析］(1)个位上的数字是a，即有a个1，十位数字是b个10,所以这个两位数是b个10和a个1的和即10b+a；如果交换它们的位置，得到一个新的两位数，即a个10与b个1的和即10a+b.
(2)两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，这时，x的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x个100，而两位数y在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y个1.因此用x、y表示这个四位数为100x+y.同理，如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数为100y+x.
(3)一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在它们之间添上零，十位上的几便成了百位上的数.因此这个三位数是由n个100，0个10，m个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n+m.
［师］下面我们就用上面几个小知识解决下面的综合性问题.
Ⅱ.讲援新课
［师］翻开课本P203，我们来研究“里程碑上的数”.同学们先阅读课本上的第一段文字及文字下的三幅图片，然后我请一位同学陈述一下问题的内容.
［生］这个问题讲的是：小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶.小明在12∶00时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是7；在13∶00时看到的里程碑上的数十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；在14∶00时小明看到的里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多个0.试确定小明12∶00时看到里程碑上的数.
［师］我们可以注意到“里程碑上的数”这一场景是非常有趣的，它既是一个数字问题，又和行程有关,同时，相对而言又有一定的难度.但我们知道一个复杂的问题往往是由几个简单的问题组合而成的,要想求出12∶00时小明看到的里程碑上的数，就得确定这个两位数个位和十位上的数字.我们不妨设小明在12∶00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，根据题意，你能将12∶00、13∶00、14∶00时小明看到的里程碑上的数表示出来吗？
［生］小明12∶00时看到的里程碑上的数可以表示为10x+y；13∶00时看到的里程碑上的数可表示为10y+x;14∶00时看到的里程碑上的数可表示为100x+y.
［师］我们要想求出x、y的值，就得建立关于x、y的二元一次方程组这样的数学模型，为此，我们必须找出题目中的等量关系.
［生］12∶00时小明看到的里程碑上的数，它的两个数字之和是7，于是我们可得到一个等量关系，用x，y表示即为x+y=7.
［生］从题目中，我们还可以注意到小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上是匀速行驶的.说明12∶00~13∶00与13∶00~14∶00两段时间内所行驶的路程相等.现在我们最关键的是用x、y表示出12∶00~13∶00时间段所行驶的路程，13∶00~14∶00时间段所行驶的路程.
［生］根据12∶00、13∶00、14∶00时小明看到的里程碑上的数可得：12∶00~13∶00间摩托车行驶的路程为(10y+x)－(10x+y);13:00~14:00间摩托车行驶的路程为(100x+y)－(10y+x).因此可列出相应的方程为(10y+x)－(10x+y)=(100x+y)－(10y+x).
［师］根据以上分析，同学们在练习本上列出方程组，解出方程组的解.
(由两位同学黑板上板演)
解：设小明在12∶00时看到的十位数字是x,个位数字是y，根据题意，得方程组

作者: admin 时间: 2012-9-3 15:18

化简，得
把②代入①，得x=1
把x=1代入②，得y=6
所以，这个方程组的解为
因此，小明在12：00时看到的里程碑上的数是16.
［师］从对上述问题的求解过程，我们可以得到一点启示：遇到较复杂的问题，我们通过把它化解为几个简单问题去分析，可以使思路清晰，使复杂问题在化解的过程中迎刃而解，下面我们再来看一下例题.
出示投影片(§7.5 B)
［例1］两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2718，求这两个两位数.
分析：(1)本题目中的两个等量关系为：较大的两位数+较小的两位数=68；前一个四位数－后一个四位数=2178.
(2)设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为100x+y；在较大的数左边写上较小的数，所写的数可表示为100y+x.
解：设较大的两位数为x,较小的两位数为y，则

化简，得

即
解该方程组，得

所以这两个两位数分别是45和23.
Ⅲ.随堂练习
课本P202.
1.解：设十位数字是x,个位数字是y，则有方程组
解得
所以，这个两位数是56.
Ⅳ.课时小结
［议一议］列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？
(引导学生回顾本章各个问题的解决过程，归纳出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.不一定要明晰一个十分具体的步骤.只要学生了解这个过程即可，不必要求学生回答规范化、统一化)
［师生共同分析］
列二元一次方程组解应用题的主要步骤：
(1)弄清题意和题目中的等量关系.用字母表示题目中的两个未知数.
(2)找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系.
(3)根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组.
(4)解这个方程组并求出未知数的值.
(5)根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理?
(6)写出符合题意的解释.
Ⅴ.课后作业
1.课本P202、习题7.6.
2.复习一次函数的图象，预习下一节《二元一次方程与一次函数》.
Ⅵ.活动与探究
北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示.现在有一种调运方案的总运费为7600元.问：这种调运方案中北京、上海分别应调给武汉、重庆各多少台？

武汉重庆
北京 4 8
上海 3 5

过程：如果设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海则应调(6－x)台到武汉，(8－y)台到重庆.由每台运费的表格可知：
北京—→武汉  费用需4x百元.
北京—→重庆  费用需8y百元.
上海—→武汉  费用需3(6－x)百元.
上海—→重庆  费用需5(8－y)百元.
合计7600元即76百元.
结果：解：设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海应调(6－x)台到武汉，(8－y)台到重庆，根据题意，得

化简得
解得
所以从北京调6台到武汉，4台到重庆；上海不用给武汉调，只需给重庆调4台.
板书设计
§7.5  里程碑上的数
一、里程碑上的数
(1)相等关系：
12∶00~13∶00摩托车行驶的路程=13∶00~14∶00摩托车行驶的路程；12∶00时小明看到的十位上的数字+个位上的数字=7.
(2)学生板演解答过程.
二、例题讲解
例：(医院为病人配制营养品)
三、随堂练习
(学生板演)
四、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.

作者: admin 时间: 2012-9-3 15:18

§7.6 二元一次方程和一次函数

知识与技能目标：
1.二元一次方程和一次函数的关系.
2.二元一次方程组的图象解法.
过程与方法目标：
1.使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系.
2.通过学生的思考和操作，在力图提示出方程与图象之间的关系，引入二元一次方程组的图象解法.同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力.
情感态度与价值观目标：
通过学生的自主探索，提示出方程和图象之间的对应关系，加强了新旧知识的联系，培养了学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣.
教学重点
1.二元一次方程和一次函数的关系.
2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.
教学难点
方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力.
教学方法
学生操作——自主探索的方法.
学生通过自己操作和思考，结合新旧知识的联系，自主探索出方程与图象之间的对应关系，以引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”——二元一次方程组与“形”——函数的图象(直线)之间的对应关系，培养了学生数形结合的意识和能力.
教具准备
投影片两张：
第一张：问题串(记作§7.6 A)；
第二张：补充练习(记作§7.6 B).
教学过程
Ⅰ.回忆旧知识，引入新课
［师］举例说明什么是二元一次方程？什么是二元一次方程的解？二元一次方程的解的个数如何？为什么？
［生］例如x+y=8含有两个未知数x,y且未知数的项的次数是一次，所以x+y=8是二元一次方程.
是适合方程x+y=8的一组未知数的值，所以是二元一次方程x+y=8的一个解.
我们不难发现适合x+y=8的一组未知数的值不只再例如 ; ; ……都适合方程x+y=8，所以说它们都是x+y=8的解.x+y=8有无数多个解，只要给出一个x的值，代入x+y=8中，就可得到一个y的值.这样一组一组的未知数的值都是x+y=8的解.
［师］如果将方程x+y=8利用等式的性质变形，就可得到y=8－x，同学们能联想到什么？
［生］y=8－x是一个一次函数，x、y在一次函数中不是未知数，而是两个变量，x是自变量，y是因变量.
［师］这位同学回答得很好，他能够把所学的知识联系起来，这正是我们学习数学最可贵的地方之一.我们说到函数，不得不想到函数的图象，因为函数的图象可直观地反映出y随x变化的情况.那么函数的图象如何画出来的呢？
［生］我们知道在函数中，给出自变量x的值，就对应着一个y的值.我们把x的值作为点的横坐标，对应的y的值作为这个点的纵坐标.在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
［师］下面就请同学们画出一次函数y=8－x的图象.

我们观察y=8－x的图象可知：
(1)满足关系式y=8－x的x、y所对应的点(x,y)都在一次函数y=8－x的图象上.
(2)一次函数y=8－x的图象上的点(x,y)都满足关系式y=8－x.
(3)满足关系式y=8－x的x、y的值恰好就是二元一次方程x+y=8的解.
因此我们猜想二元一次方程的解与相应的一次函数图象上的点有无对应关系呢？
这节课我们主要就来研究二元一次方程与一次函数的关系.
Ⅱ.讲授讲课
出示投影片(§7.6 A)
(1)方程x+y=5的解有多少个？写出其中几个？
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5－x的图象上吗？
(3)在一次函数y=5－x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？
(4)以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5－x的图象相同吗？

［师］对于以上几个问题分组讨论，并归纳出二元一次方程和一次函数的关系.
［生］(1)方程x+y=5的解有无数个.例如 ……
(2)我们不妨先画出y=5－x的图象.

在上面直角坐标系中描出以x+y=5的解为坐标的点，我们很容易发现这些点都在一次函数y=5－x的图象上.
(3)在函数y=5－x的图象上任取一点，它的坐标一定适合方程x+y=5.
(4)由(2)、(3)可知以x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5－x的图象是相同的.
综上所述，二元一次方程和一次函数的图象有如下关系：
(1)以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.
(2)反过来，一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.
［做一做］在同一坐标系内分别画出一次函数y=5－x和y=2x－1的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组的解有何关系？
［师］
同学们以同桌为单位，一个同学在同一坐标系中画出一次函数y=5－x和y=2x－1的图象，并观察得出两个函数图象交点的坐标.另一位同学解方程组，并比较你们的结果.
［生］一次函数y=5－x和y=2x－1的图象如图所示：

所以一次函数y=5－x与y=2x－1的图象的交点是P(2，3).
［生］根据二元一次方程和一次函数图象的关系可知：P(2,3)在一次函数y=5－x的图象上，所以是二元一次方程x+y=5的一个解；同时P(2,3)也是一次函数y=2x－1的图象上的点，所以也是二元一次方程2x－y=1的一个解.根据二元一次方程组的解的定义可知是的解.
［生］老师，用消元法解二元一次方程组得到的解也是 .
［师］因此，我们又有了解二元一次方程组的新的方法——图象法.下面我们来看一个例题.
［例1］用作图象的方法解方程得
分析：在同一坐标中作出相应的两个一次函数的图象.观察图象的交点便可得出方程的解.
解：由x－2y=－2可得y= x+1,
同理，由2x－y=2可得y=2x－2,
在同一坐标系内作出一次函数y= x+1的图象l1和y=2x－2的图象l2.如下图.

作者: admin 时间: 2012-9-3 15:18

观察图象，得l1,l2的交点为P(2，2).
所以方程组的解是
Ⅲ.随堂练习
1.课本P208.
(1)用作图解的方法解方程组 .
解：由2x+y=4得y=4－2x
同理，由2x－3y=12得y= x－4,
在同一坐标系中作函数y=4－2x的图象l1和函数y= x－4的图象l2,如下图所示：

观察图象，得l1,l2的交点P(3，－2)
所以方程组的解为
(2)下图中的两直线l1,l2的交点坐标可以看作方程组_________的解.

解：由图象可知l1过点(1，3)、(0，1).设l1是函数y=k1x+b1的图象，根据题意，得
解得k1=2,b1=1.
所以l1是函数y=2x+1的图象.
l1同理可得l2是函数y=4－x的图象.所以l1、l2交点的坐标可看做二元一次方程组的解.
2.补充练习(出示投影片§7.6 B)
如图，l甲，l乙分别表示甲走路与乙骑自行车(在同一条路上)行走的路程s与时间t的关系观察图象并回答下列问题：

(1)乙出发时，与甲相距_________千米；
(2)走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车的时间为[CD#2]时；
(3)乙从出发起，经过_________时与甲相遇；
(4)甲行走的路程s(千米)与时间t(时)之间的函数关系式是_________.
(5)如果乙的自行车不出现故障，那么乙出发后经过_________时与甲相遇，相遇处离乙的出发点_________千米，并在图中标出其相遇点.
解：由图示得：
(1)10千米  (2)1小时  (3)3小时
(4)设甲行走的路程s与时间t之间的函数关系为S=kt+b(t≥0).由于此函数的图象过(0，10)和(3，22.5)，根据题意可得b=10，k= .所以甲行走的路程s与时间t之间的函数关系为s= t+10(t≥0)
(5)如果乙不出现故障，乙行走的路程s与t之间的函数关系式为s=15t(t≥0).在同一坐标系中画出甲走路和乙骑自行车行走的路程s与时间t的关系，如下图：

由图可知乙出发后经过小时与甲相遇，相遇时离乙的出发点为 ≈13.9千米.相遇点为图中P( ， )点.
Ⅳ.课时小结
本节课我们通过操作和思考，揭示了二元一次方程和函数图象之间的对应关系，从而引出了二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”——二元一次方程组与“形”——函数图象之间的对应关系，培养了学生初步的数形结合的意识和能力.其实，在我们平时解二元一次方程组时，大多还用的消元法.但对于我们将来要学习的高次方程、无理方程等的求解，画图象的方法更具一般性.无疑这节的学习为我们的后继学习打下了基础.因此这节课用图象法求二元一次方程组的解必须理解和掌握.
Ⅴ.课后作业
1.课本P208、习题7.7.
2.收集有关科学家和方程的故事.
Ⅵ.活动与挖究
有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？一次函数y=2－x，y=5－x的图象之间有何关系？你能从中“悟”出些什么？
过程：学生经过尝试是很容易发现x+y=2和x+y=5时没有一组数同时适合这两个二元一次方程的.即这个二元一次方程组无解.
对于一次函数y=2－x，y=5－x的图象可以让学生作出它们的图象(下图)观察可以发现它们的图象(直线)是互相平行的，即它们无公共点.

结果：我们从中可以“悟”出：方程组的解与函数图象交点之间的关系：当函数的图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数的图象(直线)平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解.反之也成立.
板书设计
§7.6  二元一次方程和一次函数
一、二元一次方程和一次函数的关系
(1)以二元一次方程的解为坐标的点在相应的一次函数图象上.
(2)一次函数图象上的点的坐标是相应的二元一次方程的解.
二、用图象法解二元一次方程组
［做一做］
［例题］
三、随堂练习
(学生板演)
四、课时小结

§7.7  回顾与思考

作者: admin 时间: 2012-9-3 15:18

知识与技能目标：
1.通过举例使学生准确理解二元一次方程、二元一次方程组解的概念，并熟练地运用代入消元法、加减消元法、图象法解二元一次方程组.
2.举出生活中用二元一次方程组解决问题的实例，抓住列二元一次方程组解决实际问题中的关键，找到相等关系，熟练地建模.
3.进一步通过举例说明二元一次方程和一次函数的关系.
过程与方法目标：
1.复习巩固解二元一次方程组的基本思想——消元，以及所体现出来的化归思想方法.
2.通过列方程组解实际问题，提高分析和综合的能力.
3.在理解二元一次方程和一次函数关系的同时，建立数学中的数形结合的思想.
情感态度与价值观目标：
本章是初中数学中对于培养价值观要求极为理想的教学内容——既有知识、技能，又可培养学生分析问题、解决问题的能力；既有传授数学思想、数学方法，又可对学生进行思想教育，提高学习积极性，培养学生合作交流的意识，在交流和反思的过程中建立知识体系，体验学习数学的成就感.
教学重点
1.二元一次方程组的三种解法——代入消元法、加减消元法、图象法.
2.列二元一次方程组解决实际生活中的问题.
3.二元一次方程和一次函数的关系.
教学难点
1.列二元一次方程组解决实际生活中的问题.
2.几种重要的数学思想——化归思想、方程思想和数形结合的思想等.
教学方法
交流——讨论——反思的师生互动法.
教学时，鼓励学生独立思考，自己回顾所学内容，并尝试回答教科书中提出的问题，对学生的回答，教师关注学生用自己语言解答的过程，关注学生运用例子说明自己对有关知识的理解.然后全班、小组交流、讨论，使学生在反思与交流的过程中建立本章的知识体系.
教具准备
投影片两张：
第一张：问题串(记作§7.7 A)；
第二张：随堂练习(记作§7.7 B).
教学过程
Ⅰ.回顾与思考
出示投影片(§7.7 A)

(1)举出生活中运用二元一次方程组解决问题的两个例子.
(2)在列二元一次方程组解决实际问题的过程中，你认为最关键的是什么？
(3)解二元一次方程组的基本思路是什么？有哪些方法？举例说明在什么情况下采用哪一种方法更为简便，并简要阐述解二元一次方程组的过程.
(4)举例说明二元一次方程与一次函数有何关系.
［师］同学们可根据以上四个问题，先思考，然后用自己的语言解答.
［生］我举一个生活中运用二元一次方程组解决实际问题的例子：
某商店购进一批衬衫，甲顾客以7折的优惠价格买了20件，而乙顾客以8折的优惠价格买了5件，结果商店都获得利润200元，求这批衬衫的进价是多少元？标价是多少元？
［师］我们要用二元一次方程组来解决这个问题，首先我们要根据题意把这个实际问题转化成数学模型——二元一次方程组.同学们可先作思考，然后回答是如何解答的.
［生］我认为在这个问题中首先要明白：利润=售价－进价.由此我们可找到两个相等关系：
①当商店把20件衬衫买给甲顾客时的相等关系是(标价×70%－进价)×20=200；
②当商店把5件衬衫买给乙顾客时的相等关系是(标价×80%－进价)×5=200.
因此，我们可以设这批衬衫的进价为x元，标价为y元，根据题意，得

化简方程组，得

解得
所以，这批衬衫进价是200元，标价是300元.
［生］老师，我也有生活中的一个实例：
某商店出售的某种茶壶每只定价20元，茶杯每只定价3元，该商店在营销淡季特规定一项优惠方法，即买一只茶壶赠送一只茶杯.我爸爸的单位里花了170元，买回茶壶和茶杯一共38只，问我爸的单位里买回茶壶和茶杯各多少只？
［生］这道题是紧密结合实际问题，即买一送一.所以这个问题的解决首先要联系实际，结合生活经历去审题；其次要弄清数量关系，防止出现“脱离实际”“自以为是”的想法.下面针对这个实例同学们可展开讨论.
［生］我认为在这个问题中，必须明白：在买回的茶杯中，有一些是商场赠送的，不需要花钱，而这个数目恰好是买回茶壶的数目.因此，可以设该单位买回茶壶x只，茶杯y只，根据题意，可找到两个相等关系：
①茶壶只数+茶杯只数=38只
②买茶壶的钱+买茶杯的钱=170元
列方程组，得

解得
所以该单位买回茶壶4只，茶杯34只.
［生］老师，我还有一种想法，可以间接设未知数，可设该单位买回茶壶x只,茶杯y只(不包括赠送的)，可得

解得
x+y=34
所以该单位总共买回茶壶4只，茶杯34只.
［师］看来在我们的生活中有形形色色的用二元一次方程组解决的实际问题.在这里就不一一列举，同学们有兴趣的话可以到课下继续交流生活中运用二元一次方程组解决问题的例子.
我们已经举了两个用二元一次方程组解决实际问题中的例子.在此过程中，你认为最关键的是什么？
［生］应用方程组解决实际问题的关键在于正确找出问题中的两个等量关系，列出方程组成方程组，并注意检验解的合理性.
［师］我们接下来看回顾与思考中的第(3)个问题.
［生］解二元一次方程组的基本思路是消元——二元化为一元.例如
解方程组
由①得y=2x－5, ③
把③代入②，得
7x－3(2x－5)=20，
x=5,
把x=5代入③得y=5,
所以方程组的解为

作者: admin 时间: 2012-9-3 15:18

我用了代入消元法由①得y=2x－5，从而用x的代数式表示y，当我们把③代入②时就将y消去，从而使方程②由二元化为一元，成为一个关于x的一元一次方程，由未知转化成了已知.这就是解二元一次方程组常用的代入消元法.
［师］那么，在什么情况下用此法解二元一次方程组较为简便呢？
［生］当方程组中未知数的系数的绝对值是1时，就可用代入消元法且较简便.
［生］我这里有一个方程组用代入消元法就较为麻烦.
解方程组
由①×3+②×2，得
x=－
由①×2－②×3，得
y=－
所以方程组的解为
在解这个方程组时，我注意观察到x、y的系数的绝对值都不是1，如果用代入消元法未尝不可，而是容易出现分数的形式，而使问题变得麻烦.如果方程①×3，得9x－6y=3; ②×2,得4x+6y=－14.这时我们可以注意到y的系数互为相反数，若将这两个方程左、右两边分别相加就消去y，从而得到一个关于x的一元一次方程13x=－11，化二元为一元，得到消元的目的，使未知数转化为已知，从而解出方程组的解.这种方法就是我们这一章所学的加减消元法.
［师］解二元一次方程组还有没有别的方法呢？
［生］我们在讨论了二元一次方程和一次函数的关系后，又找到了解二元一次方程组的一种数形结合的方法——图象法.
［师］很好，用图象法解二元一次方程组的关键是搞明白二元一次方程和一次函数的关系.下面我们就来回答第(4)个问题.
［生］例如2x+y=4与相应的函数y=4－2x，它们之间的关系：
①以2x+y=4的解为坐标的点都在y=4－2x的图象上;
②函数y=4－2x的图象上的点的坐标都是2x+y=4的解.
Ⅱ.建立本章的知识体系
［师］我们通过《回顾与思考》中的几个问题，已对这一章所学的知识系统化.现在我们就共同来建立本章的知识体系.
［师生共建］本章知识结构框架图：

Ⅲ.随堂练习
出示投影片(§7.7 B)
1.判断下列方程(或方程组)是否为二元一次方程(组)，并说明理由.
(1)2x－y=3  (2)x－ =0
(3) (4)

(5)
2.若3a7xby+7和－7a2－4yb2x是同类项，则x=_________,y=_________.
3.若方程组与方程组的解相同，则a,b的值分别是
A.－2，－4
B.2，4
C.2，－4
D.－2，4
4.若都是方程ax+by+2=0的解，试判断是否为方程ax+by+2=0的又一个解？
5.解方程组
(1)
(2)
6.初一•二班有男女同学共52人，女生人数的一半比男生总数少4人；若设男生人数为x人，女生人数为y人，则可列方程组为_________.
7.用图象法解方程组：

第1小题由一学生来回答，主要是能正确地理解二元一次方程(组).特别是二元一次方程是含有两个未知数，且含未知数的项的次数是一次的整式方程.
第2、3、4题分别让3名学生先回答解题思路，然后在黑板上板演解题过程.最后，师生共同归纳.第2、3、4题都是确定未知数值的问题.其中第2题应依照同类项的定义布列二元一次方程组来求解，第3、4题应根据方程组解的定义来求解，在第4题确定了方程ax+by+2=0中的a,b的值后再做判断.
第5题只需由学生回答用何种方法消元.可选其中之一作答.
第6题引导学生分析题目中的已知数、未知数及其蕴含的相等关系.
第7题可由学生亲自动手作图完成.
Ⅳ.课时小结
通过对这一章所学知识的系统总结，我们已能从实际问题情境中加强了对概念、方法意义的理解，掌握了解二元一次方程组的三种方法及所渗透的重要数学思想.
Ⅴ.课后作业
1.课本P209~P211A组、B组复习题
2.学有余力的同学作C组第1题.
Ⅵ.活动与探究
一列快车长306米，一列慢车长344米.两车相向而行，从相遇到离开需13秒.若两车同向而行，快车从追到慢车到离开慢车需65秒.求快、慢车的速度为多少？
过程：可从列出的直线型图分析题中所蕴含的相等关系.
①相向而行，如下图所示

图中实线图表示相遇时，虚线表示相离时，
设快车、慢车各自速度为x米/秒，y米/秒，从相遇到两车离开所走路程为13x+13y=306+344.
②同向而行，如下图所示

从追及到离开两车所走的路程差为65x－65y=306+344.
结果：解：设快车、慢车各自的速度为x米/秒，y米/秒，根据题意，得

化简得
解得
所以快车的速度为30米/秒，慢车的速度为20米/秒.
板书设计
§7.7  回顾与思考

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