“怎样租船”案例反思

行云流水

回归“生活实践” 提高学生应用数学知识的能力

——“怎样租船”案例反思

背景：新的数学课程标准要求数学的教学内容要贴近生活，从学生最熟悉的生活背景中发现数学、掌握数学和运用数学，不断的沟通生活中的数学与教科书上的数学的联系，使数学和生活融为一体。这样才能有益于学生理解数学、热爱数学，让数学成为学生发展的重要动力和源泉。前不久我在网上观看的一节教学录像《怎样租船》，恰如其分地体现了数学课程标准的这一要求，用融入数学的生活素材作为重要的教学资源，在一个充满探索的过程中，让学生感受数学发现的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识、创新意识，使人的理智和情感世界获得实质性的发展和提升。下面把这堂录像课摘录如下：
案例描述：
一．实践活动一：租船活动
教师：上课之前，老师想了解一下，哪些小朋友“五一”节跟爸爸妈妈到外面去旅游了？你来说，去了哪里？
学生：“五一节”我和爸爸妈妈去了苏州。
学生：“五一节”我和爸爸妈妈去了象山。
学生：“五一节”我和爸爸妈妈去了月湖风景区？
教师：非常好，月湖风景区怎么样？
学生：很美。
教师：好，下面我们来看看，五一节旅行社组织一个16人的旅游团，我们看看他们去了哪里？（多媒体演示长江三峡风景）
学生：他们去了长江三峡。
教师：那么，游客们要欣赏三峡美丽的景色，要乘坐什么样的交通工具？你说。
学生：他们要乘船。
教师：这样就出现了一个数学问题。今天这节课老师和同学们一起来研究（教师板书，学生齐读：怎样租船）。
（出示问题）16位游客来到了租船公司，这个公司有两种船，哪两种船？你来说。
学生：一种船是大船，每只可乘5人；一种是小船，每只可乘3人。
教师：好的，再请一个同学来说一遍，你说。
学生：这两种船分别是大船和小船，大船可乘5人，小船可乘3人。
教师：好，如果你是领队，你准备怎样租船？等一下我们通过学习小组来讨论这个问题。现在我们来看一看讨论的任务是什么？（出示任务）请一个同学说一下，你来说。
学生：讨论的任务是：（1）你们小组有几种租船方案？怎么分配？把方案填在表内。（2）你们小组认为哪种方案比较合理？为什么？
教师：好的，请坐。那么，我们今天来填这种表（出示表1，每个小组也有一张表），怎么填？谁来说说，那位穿红衣服的同学。
表1

序号	大船		小 船		两种船合计空座位数
	只数	座位数	只数	座位数
1
2
3
4
5
6

学生：我们要填大船的只数和座位数、小船的只数和座位数，然后填两种船合计空座位数。
教师：谁来说说，两种船的所谓“合计空座位数”是什么意思？你来说。
学生：两种船合计空座位数就是大船和小船合起来有几个空座位。
教师：也就是坐满人以后，还乘下几个空座位？明白了讨论的任务，也知道了要填哪些内容，下面就请学习小组进行讨论完成这张表格。
学生分小组进行讨论，共讨论5分钟左右
教师：好，我们请一个小组汇报一下。好，晓文，其他小组请听他们意见是不是跟你们一样。
学生：我们小组讨论的结论是：大船2只，座位是10个，小船2只，座位数是6个，两种船的空座位是0个。
教师：这是一种方案。
学生：第二种方案是大船3只，座位数15个，小船1只，座位数是3个，两种船合计空座位数是2个。第三种方案是大船1只座位数是5个，小船4只座位数是12个，两种船合计空座位数是1个。第四种方案是大船4只座位数是20个，小船0只座位数是0，空座位是4个。第五种方案是大船有0只0个座位，小船6只有18个座位，合计空座位是2个。
教师随着学生的回答，把学生的答案填入多媒体演示的表格内，但改变了学生所说方案的顺序，见表2。
表2

序号	大船		小 船		两种船合计空座位数
	只数	座位数	只数	座位数
1	4	20	0	0	（20+0）—16=4
2	3	15	1	3	（15+3）—16=2
3	2	10	2	6	（10+6）—16=0
4	1	5	4	12	（5+12）—16=1
5	0	0	6	15	（0+18）—16=2
6

教师：那么，你们小组经过讨论之后觉得哪一种方案比较合理？

学生：我们觉得第三种方案比较合理，因为第三种方案人坐满了，一个空座位也没有。
教师：嗯，合理地利用了座位。第三组还有不同意见吧？
学生：没有意见。
教师：其它小组有不同见吧？（学生没有表示不同意见）哦，大家都认为第三种方案比较合理，合理利用座位。那么，有时候也可以考虑到坐船的时候安全问题等等，对不对？大家考虑多的是合理地使用座位。那么，接下来我们来看看这张表格（表2），同学们在考虑方案的时候，根据大船的只数从多到少的考虑，然后考虑小船的只数，我们考虑出了5种方案。那么，从这5种方案当中，我们发现，可以只租大船，也可以只租小船，也可以两船同时租，根据需要我们选择其中的一种方案。好，现在来看看，租船公司有一个新的规定（出示规定），你来说。
学生：现在租船公司规定，每条大船的租金是20元，小船的租金是8元。如果你是领队，你会选择上面哪一种租船方案？
教师：这里出现什么问题？
学生：选哪一种船好。
教师：好，如果你是领队，那么你会选择刚才5种方案中的哪一种呢？那么，小组继续进行讨论，完成第二张表格（见表3）。
表3

序号	大船只数	小船只数	租 金
1	4	0
2	3	1
3	2	2
4	1	4
5	0	6

学生小组讨论2分钟左右。
教师：好，停！，你来汇报一下，哪个方案比较合理？
学生：第五种方案比较合理，因为第五种方案花钱少。
教师：要多少租金？
学生：48元。
教师：48元。是不是第五种方案钱最少的呢？我们来看看其它方案，第一种4只大船租金需要？
学生：80元。
教师：第二种方案？
学生：68元。
教师：第三种方案？
学生：56元。
教师：第四种方案。
学生：52元。
教师随着学生的回答，把答案逐一填入表格（见表4）
表4

序号	大船只数	小船只数	租 金
1	4	0	20×4=80（元）
2	3	1	60+8=68（元）
3	2	2	40+16=56（元）
4	1	4	20+32=52（元）
5	0	6	8×6=48（元）

教师：所以第6组同学选择了租金最少的第五种方案。其它小组有不同意见吗？
学生：没有（但有学生举手）。
教师：你来说。你们组认为？
学生：我们组认为，第三种方案。
教师：第三种怎么样？
学生：因为，如果是……大船……比较合理。
教师：什么叫“比较合理“？有了租金规定，不是认为座位不要浪费了比较好，认为第三种方案比较合理。钱贵了一点，但是还要合理地利用座位。那么，同学们看看，第三种和第五种方案，哪一种比较合理？

学生：第五种。
教师：虽然它空出了2个座位，但是钱还是少了8元。现在大家都认为第五种方案比较合理。那第，刚才你们组为什么选择了第三种方案，而现在你们组大多数同学选择了第五种方案？你来说。
学生：因为，刚才看的是座位满不满，如果不满的话，就不好。现在租金少，可以选择第五种方案。
教师：刚才没有出现什么？
学生：租金。
教师：租金规定。所以我们要考虑经济方面。那么，通过刚才的学讨论，我们发现要租船的时候要注意什么？你来说。
学生：在租船的时候，要注意位子有没有空出来。
教师：要考虑座位的合理利用。
学生：还要考虑租金。
教师：在租船的时候，方案有很多，可以根据大船的条数，从多到少依次进行考虑。那么，至于一个方案好不好，我们可以考虑种种因素，一个考虑座位的合理使用，还有一个要考虑是不是经济又实惠，对不对？
二．实践活动二：搬凳子活动
教师：好，像这样租船问题其实在我们的生活当中也有很多。下面我们看看第二题。请一个同学把题目来读一篇。你来读一下。
学生：学校举行家长会，二（2）班有38位家长将来学校开会。需要小朋友搬凳子。现在有两种凳子，一种是长凳子，每条可以坐9人，一种是短凳子，每条可以坐4人，问：有几种不同的搬法？如果请你去搬，你认为哪一种最合适？为什么？
教师：好的，请小组进行讨论，完成第三表格（见表5）。
表5

序号	长凳子		短凳子		两种凳子合计空座位数
	条数	座位数	条数	座位数
1
2
3
4
5
6

学生进行小组讨论约5分钟。
教师：有的小组已经想出好几种方案。好，放下，以最快的速度放下。好，你们小组讨论得怎么样？
学生：第一种方案，长凳子数是5条座位数是45个。短凳子数是0条座位数是0个，两种凳子合计的空座位数是7。第二种方案，长凳子数是4条座位数是36个，短凳子数是1条座位数是4个，两种凳子合计的空座位数是2。第三种方案，长凳子数是3条座位数27个，短凳子数是3条座位数是12个，两种凳子合计的空座位数是1个。第四种方案，长凳子数是2条座位数是18个，短凳子数是5条座位数20个，两种凳子合计空座位数是0。第五种方案，长凳子数是1条座位数9个，短凳子数是8条座位数32个，两种凳子合计的空座位数是3个。第六种方案，长凳子数是0条座位数是0个，短凳子数是10条座位数是40，两种凳子合计有空座位数是2。
教师随着学生的回答把答案逐一填入表格，见表6。
教师：好。
学生：我们小组觉得第六种方案最合理。
教师：为什么？
学生：因为长凳子条数少，我们搬得就省力一点。
教师：长凳子没有，只选择了短凳子。她考虑这样可以省力一点，非常好！他们认为第六种方案比较合理，这是他们小组的意见，其他小组有什么意见？好，你来说。
学生：我们认为第四种方案比较合理。
教师：第四种？
学生：因为凳子全总坐满了，没有空座位。
教师：没有空座位，他们考虑合理地利用座位，好的。有两种不同意见了，一种考虑搬凳子省力一点，方便一点，另一种考虑凳子的合理利用。非常好！两种都可以，还有不同意见吧？可以从不同的角度去考虑。好！
学生：我觉得第一种方案比较合理（许多学生表示惊讶），我只要派5个人去搬就可以了。
教师：搬的次数少，座位又多出来了，家长可以坐得空一点，舒服一点。出于这样的考虑，非常好！现在有3种意见了，还有不同意见吗？（学生没有表示不同意见）我觉得这3种方案都非常好。那么，我想在生活当中，可以根据自己的需要，去选择具体的、合理的方案，根据具体情况进行分析选择，非常好！都表现不错，我们来给他们鼓鼓掌好吗？（学生啪啪鼓掌）
表6

序号	长凳子		短凳子		两种凳子合计空座位数
	条数	座位数	条数	座位数
1	5	45	0	0	45—38=7
2	4	36	1	4	（37+4）—38=2
3	3	27	3	12	（27+12）—38=1
4	2	18	5	20	（18+20）—38=0
5	1	9	8	32	（9+32）—38=3
6	0	0	10	40	40—38=2

教师：好，我们接下去做第三题。 请一个同学来给大家念念。好的，请这位同学读一下。
学生：学校少先队大队部组织同学去春游，二年级去儿童乐园。儿童乐园规定：门票每人10元，但如购买50张以上可以打八折（也就是每张8元）。现在我们班有44个同学，如果你是班长，你准备怎么买票？
教师：好的，请坐。这里教师解释一下，要打八折必须购买几张票？戴眼镜那位同学。
学生：必须购买50张以上。
教师：如果没有到50张，每张门票是多少？几元？
学生：10元。
教师：好，小组讨论一下。
学生小组讨论2分多钟。
教师：停，你们小组准备怎样购买？好，×××说。
学生：我们准备买50张门票。
教师：你们班44个同学，怎么买50张？
学生：因为买50可以打折，还有剩下可以给老师。
教师：剩下给老师，这个主意不错。那么，50张门票要多少钱？
学生：400元（有学生说500元）。
教师：400元怎么样？
学生：不贵。
教师：你们有什么意见？
学生：买88张（学生表示不解和惊讶）。
教师：选择买88张，为什么呀？（该学生未回答，其他学生纷纷表示要买50张）为什么要买50张？
学生：还有6张可以给老师。
教师：好，请坐。刚才大家都选择了买50张。因为买50张以上可以打八折，1张门票只要8元。买50张，一共要多少钱？
学生：400元。
教师：那有没有人主张买44张？如果这样，要花多少钱？
学生：440元。
教师：少买票，还要多花钱。
学生：再把票撕成两半不就50张了吗？
教师：撕了就作废了。多出6张，可以送给老师。
学生：还可以下次再来玩。
学生：或者请老师的儿子或女儿来玩。
教师：从这一道题可以看出，虽然买的张数多，但是价格却反而便宜。因此，我们生活中存在许多数学问题，虽然买的票多出来了，价格反而便宜，还可以送人。今天这一节课，我们学习了什么？
学生：怎样租船！
教师：像怎样租船这样的问题生活当中其实还有很多，回去以后大家完成课外练习题。好，下课！
问题讨论：
数学教学应遵循“源于生活，寓于生活，且用于生活”的理念，给学生一双"数学的眼睛"，使学生在生活实际中体会到数学的用途，会应用数学思维方式解决生活中一些实际问题，并从中体会数学的意义和学数学的乐趣。那么，作为一名数学教师，该如何通过回归“生活实践”的方式，提高学生应用数学知识解决生活实际问题的能力呢？下面谈谈本人听了这堂课后的几点不成熟的认识。
反思：
1．选择学生现实生活中的事件或现象作为“生活实践”的研究对象
新的数学课程标准强调创设的数学活动应该是“现实的、有意义的、富有挑战性的”，“应从学生已有的生活经验出发……数学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上”。这就是说数学教学活动要以学生的发展为本，要把学生个人知识、直接经验和现实世界作为数学教学的研究对象。
本节课中教师选择了三个生活事件作为学生实践研究的对象。“怎样租船”重在使学生探究学习解决的方法和思路；“怎样搬凳子”是尝试练习题，用来帮助学生熟悉、巩固在探究“怎样租船”时所获得的解题方法，同时检查学生的学习效果；“怎样买票”是测试题，用来检验一堂活动课的效果，看看是否实现预期的目标。选择这三个贴近学生生活、与数学知识有联系却又极其平常的生活事件或现象做为学生实践研究的对象，不仅能唤起学生原有的生活经验，而且能激起学生自主探究的愿望，学生就会乐此不疲，在轻松愉快的探索过程中，自然而然的达到了新课程标准要求的三维目标。如在“怎样租船”的研究过程中，学生根据个人的生活经验和知识水平讨论出了5种租船方案。然后教师让学生从这5个方案中挑选出1种最合理的方案。结果学生们异口同声说第三种方案最合理，理由是“第三种方案人坐满了，一个空座位也没有”。教师对他们“合理利用座位”的想法表示赞赏，同时指出：有的时候，出于安全上的考虑，或者出于经济上的考虑，不一定会选择第三种方案。这样就自然地引出了租金问题。2分钟的小组讨论后，多数小组选择了第五种租船方案，也就是不租大船，只租6只小船。问他们为什么。学生回答：因为这种方案只需要48元租金，比较下来是最便宜的一种方案。接着老师让学生总结租船时应考虑哪些因素？学生回答：“要考虑座位的合理利用，还要考虑租金。”通过总结加深了学生们对合理选择租船方案的总体思路的理解。然后在这个基础上进行“怎样搬凳子”是尝试练习题巩固解题方法，用“怎样买票”来测试是否实现预期的目标。从针对“怎样搬凳子”和“怎样买票”两个生活事件的小组讨论和汇报中，可以看到这节数学活动课基本达到了预期的目标：首先，学生已经学会用有序的方式寻找解决问题的备择方案；其次，学生学会了根据实际情况选择行动方案，并运用数学思维方式，为自己选择的行动方案辩护；再者，整堂课学生的学习情绪高昂，表明他们多少体会了数学思维的乐趣。
在这个“生活实践”的过程中，教师选取的贴近学生生活的研究对象，切入的问题随着生活事件情节的不断发展，学生的思维也不断的深化，学生的知识经验、解决问题的方法策略不断的见够、重组、内化、升华，在知情交融的过程中，知识与技能、过程与方法、情感态度价值观都达到了和谐统一。
2．实践过程中让学生用自己的思维方式进行自由的、多角度的思考，实现自主建构
皮亚杰十分重视主体在认识中的作用，他把儿童看成是一个“独立的变量”， 反对传统上把儿童看成是一个“依赖的变量”。他提出的发生认识论的两个中心 思想“相互作用论”和“建构论”认为，知识不是外界客体的简单摹本，也不是主体内部预先形成的结构的展开，而是由主体与外部世界不断相互作用而逐步建 构的结果；认识是一种主动积极和不断的建构活动，发展不是由内部成熟或外部教学支配的，而是一个积极的建构过程，儿童要通过自己的活动，一再建构形成他的智力的基本概念和思维形式。在皮亚杰看来，儿童并不只受教于成人，而且自己独立进行学习。儿童是主动的学习者，真正的学习并不是由教师传授给儿童，而是出自儿童本身。
　　强调“受教育者的自主建构”旨在强调：教育要关注学生的生活世界并切入学生的经验系统；教育在内容和方法上是基于学生智慧发展水平的；教育要着眼于学生成长的内在动机的唤醒，使学习活动是自觉自愿的；教育要将学生带入精神充实、富于理智挑战的境界。
由于学生的生活背景和思考的角度不同，对同样的知识的建构的途径必然也是多样的。课堂上，学生在对3个生活事件的讨论中，提出选择了不同的行动方案，而且各有各的道理。这说明学生总是在自己已有的知识基础和自己的生活经验去自我建构，这样学习和思考有利于培养学生将生活实际问题转化成数学问题，运用数学知识去解决实际问题的数学意识及能力，培养学生的创造性思维能力。
3．引导实践合作，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。
交流与探讨能促进学生对数学知识的理解和数学认识的发展。实践活动通常采用的是小组合作学习，共同探究的形式进行。教师首选应提供让学生积极参与的宽松环境，让每个学生有效地参与，同时为学生创设一个便于交流探讨的情境，将学生放在问题情景当中，鼓励每个学生明确地表达自己的想法和接受他人的思想。因此，活动中应看出学生间的人际关系、观点交锋与智慧的碰撞。教师应引导学生善于互相学习，善于与他人合作。鼓励学生注意倾听他人的意见，力图领会理解他人的想法，把别人的思想同自己的想法联系起来，反思自己的知识和解决问题的方法。教师注意引导学生对别人的观点持不赞同态度时，不要批评而是提出异议，在向别人解释自己的策略时，学生就会重新检查自己的思维过程，从而加深了对数学的理解，在师生互动，生生互动中解决数学问题，提高思维能力。例如，这3个问题特别是问题2的答案是多种多样的，学生独自探究，未必面面俱到，效果肯定不如结成小组的合作探究。因此，教师在这堂活动课中把学生分成7个学习小组，每组6~7人，让学生通过小组的方式进行合作探究。小组合作学习可以使每个学生的生活经验在交流中得到充分的发挥，可以拓展学生思考和解决问题的思路，还可以使生活经验比较欠缺或数学知识不够扎实的学生在同组伙伴的交流中得到启示。从更广泛的意义上说，数学教学活动，既是师生之间、学生之间信息传递的过程，又是人际思想情感交流的过程。诉诸小组合作的数学探究活动，有利于培养学生在“学习共同体”内自由表达、互惠、共享的能力和意识。

实践是学生学习的必要环节，知识理解的延伸与升华，是创造发明的源泉。数学实践活动作为一种新的学习内容及方式，对于我们广大数学教师来讲是一个新的课题。在探索和实践中我们认识到，学生的学习不仅是知识的积累，更应在知识应用中强调应用数学的意识；不仅要让学生主动地获取知识，还要让学生去发现和研究问题、解决问题。实践表明，积极开展实践活动，有利于发展每个学生的潜能，有利于培养学生的创新精神，有利于学生主体性发展和素质的全面提高；也是数学教师学习领会、应用新的课程理念指导教学的具体体现。