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标题: 湘教版九年级数学下册全册教案设计导学案（毕业班） [打印本页]

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:49
标题: 湘教版九年级数学下册全册教案设计导学案（毕业班）
湘教版九年级数学下册全册教案设计导学案（毕业班）
湘教版九年级数学下册全册教案设计导学案（毕业班）
反比例函数教案
课题：1.1　反比例函数
教学目标：
1. 理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数.
2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式.
3. 能判断一个给定函数是否为反比例函数.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型；进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点.
教学重点：反比例函数的概念
教学难点：反比例函数的概念，学生理解时有一定的难度。
教学过程：
知识回顾：
什么是函数？一次函数？正比例函数？
一、创设情景探究问题
情境1：
当路程一定时，速度与时间成什么关系？（ vt＝s）
当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系?
［说明］这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy＝m（m为一个定值），则x与y成反比例。(小学知识)
这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。
情境2：
汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.
问题：
（1）你能用含有v的代数式表示t吗？
（2）利用（1）的关系式完成下表：
随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？
v(km/h) 60 80 90 100 120
t（h）

（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？
［说明］（1）引导学生观察、讨论路程、速度、时间这三个量之间的关系，得出关系式s＝vt，指导学生用这个关系式的变式来完成问题（1）.
（2）引导学生观察、讨论，并运用（1）中的关系式填表，并观察变化的趋势，引导学生用语言描述.
3）结合函数的概念，特别强调唯一性，引导讨论问题（3）.
情境3：
用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：
（1）一个面积为6400m2的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化；
（2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化；
（3）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水所需时间t（h）随注水速度v（m3/h）的变化而变化；
（4）实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化.
问题：
（1）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？
（2）它们有一些什么特征？
（3）你能归纳出反比例函数的概念吗？
一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成
y＝kx (k为常数，k≠0)
的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，y是因变量，y是x的函数，k是比例系数. （有的书上写成y＝kx－1的形式.）
反比例函数的自变量x的取值范围是所有非零实数（不等于0的一切实数）（为什么？），但在实际问题中，还要根据具体情况来进一步确定该反比例函数的自变量的取值范围。

［说明］这个情境先引导学生审题列出函数关系式，使之与我们以前所学的一次函数、正比例函数的关系式进行类比，找出不同点，进而发现特征为：(1)自变量x位于分母，且其次数是1.(2)常量k≠0.(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数.(4)函数值y的取值范围是非零实数.并引导归纳出反比例函数的概念，紧抓概念中的关键词，使学生对知识认知有系统性、完整性，并在概念揭示后强调反比例函数也可表示为y＝kx－1(k为常数，k≠0)的形式，并结合旧知验证其正确性.
二、例题教学
例1：下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
(1)y＝x15 ；(2)y＝2x－1 ；(3)y＝－ 3x ；(4)y＝1x －3；(5)y＝ 2＋1x ；(6)y＝x3 ＋2；(7)y＝－12x .
［说明］这个例题作了一些变动，引导学生充分讨论，把函数关系式如何化成y＝kx 或y＝kx＋b的形式了解函数关系式的变形，知道函数关系式中比例系数的值连同前面的符号，会与一次函数的关系式进行比较，若对反比例函数的定义理解不深刻，常会认为（2）与（4）也是反比例函数，而（2）式等号右边的分母是x－1，不是x，（2）式y与x－1成反比例，它不是y与x的反比例函数. 对于（4），等号右边不能化成 kx 的形式，它只能转化为1－3xx 的形式，此时分子已不是常数，所以（4）不是反比例函数. 而（7）中右边分母为2x，看上去和（2）类似，但它可以化成－ 12x ，即k＝－12 ，所以（7）是反比例函数. 通过这个例题使学生进一步认识反比例函数概念的本质，提高辨别的能力.
例2：在函数y＝2x －1，y＝2x+1 ，y＝x－1，y＝12x 中，y是x的反比例函数的有　　个.
［说明］这个例题也是引导学生从反比例函数概念入手，着重从形式上进行比较，识别一些反比例函数的变式,如y＝kx－1的形式. 还有y＝2x －1通分为y＝2－xx ，y、x都是变量，分子不是常量，故不是反比例函数，但变为y＋1＝2x 可说成（y＋1）与x成反比例.
例3：若y与x成反比例，且x＝－3时，y＝7，则y与x的函数关系式为　　　　　　.
［说明］这个例题引导学生观察、讨论，并回顾以前求一次函数关系式时所用的方法，初步感知用“待定系数法”来求比例系数，并引导学生归纳求反比例函数关系式的一般方法，即只需已知一组对应值即可求比例系数.
三、拓展练习
1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数. 如果是，指出比例系数k的值.
（1）底边为5cm的三角形的面积y（cm2）随底边上的高x（cm）的变化而变化；
（2）某村有耕地面积200ha，人均占有耕地面积y（ha）随人口数量x（人）的变化而变化；
2、下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，比例系数是多少？
（1）y＝23 x；（2）y＝23x ；（3）xy＋2＝0；
（4）xy＝0；　　（5）x＝23y .
3、已知函数y＝（m＋1）x 是反比例函数，则m的值为　　　　.
［说明］引导学生分析、讨论，列出函数关系式，并检验是否是反比例函数，指出比例系数.
第3题要引导学生从反比例函数的变式y＝kx－1入手，注意隐含条件k≠0，求出m值.
四、课堂小结
这节课你学到了什么？还有那些困惑？
五、布置作业：书P3—4A组

教学后记：

课题：1.1反比例函数(2)
教学目标:
1.会用待定系数法求反比例函数的解析式.
2.通过实例进一步加深对反比例函数的认识,能结合具体情境,体会反比例函数的意义,理解比例系数的具体的意义.
3.会通过已知自变量的值求相应的反比例函数的值.运用已知反比例函数的值求相应自变量的值解决一些简单的问题.
重点: 用待定系数法求反比例函数的解析式.
难点:例3要用科学知识,又要用不等式的知识,学生不易理解.
教学过程：
一. 复习
1、反比例函数的定义：
判断下列说法是否正确(对”√”,错”×”)

2、思考:如何确定反比例函数的解析式?
(1)已知y是x的反比例函数,比例系数是3,则函数解析式是_______
(2)当m为何值时，函数是反比例函数，并求出其函数解析式．
关键是确定比例系数!
二.新课
1. 例2：已知变量y与x成反比例，且当x=2时y=9，写出y与x之间的函数解析式和自变量的取值范围。
小结：要确定一个反比例函数的解析式，只需求出比例系数k。如果已知一对自变量与函数的对应值，就可以先求出比例系数，然后写出所要求的反比例函数。
2.练习：已知y是关于x 的反比例函数，当x= 时，y=2，求这个函数的解析式和自变量的取值范围。
3.说一说它们的求法:
(1)已知变量y与x-5成反比例，且当x=2时 y=9,写出y与x之间的函数解析式.
(2)已知变量y-1与x成反比例，且当x=2时 y=9,写出y与x之间的函数解析式.
4. 例3、设汽车前灯电路上的电压保持不变,选用灯泡的电阻为R(Ω)，通过电流的强度为I(A)。
（1）已知一个汽车前灯的电阻为30 Ω，通过的电流为0.40A，求I关于R的函数解析式，并说明比例系数的实际意义。
（2）如果接上新灯泡的电阻大于30 Ω，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？
在例3的教学中可作如下启发：
（1）电流、电阻、电压之间有何关系？
（2）在电压U保持不变的前提下，电流强度I与电阻R成哪种函数关系？
（3）前灯的亮度取决于哪个变量的大小？如何决定？
先让学生尝试练习，后师生一起点评。
三.巩固练习:
1.当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度p成反比例。且V=5m3时，p=1．98kg／m3
（1）求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
（2）求V=9m3时，二氧化碳的密度。
四.拓展:
1.已知y与z成正比例,z与x成反比例,当x=-4时,z=3,y=-4.求:
(1)Y关于x的函数解析式;
(2)当z=-1时,x,y的值.
2.

五.交流反思
求反比例函数的解析式一般有两种情形：一种是在已知条件中明确告知变量之间成反比例函数关系，如例2；另一种是变量之间的关系由已学的数量关系直接给出，如例3中的由欧姆定律得到。
六、布置作业：P4 B组

教学后记：
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课题：1.2反比例函数的图像和性质（1）
[教学目标]
1、体会并了解反比例函数的图象的意义
2、能列表、描点、连线法画出反比例函数的图象
3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质
[教学重点和难点]
本节教学的重点是反比例函数的图象及图象的性质
由于反比例函数的图象分两支，给画图带来了复杂性是本节教学的难点
[教学过程]
1、情境创设
可以从复习一次函数的图象开始：你还记得一次函数的图象吗?在回忆与交流中，进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质。转而导人关注新的函数——反比例函数的图象研究：反比例函数的图象又会是什么样子呢?
2、探索活动
探索活动1 反比例函数的图象．
由于反比例函数的图象是曲线型的，且分成两支．对此，学生第一次接触有一定的难度，因此需要分几个层次来探求：
(1)可以先估计——例如：位置(图象所在象限、图象与坐标轴的交点等)、趋势(上升、下降等)；
(2)方法与步骤——利用描点作图；
列表：取自变量x的哪些值?

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:49
——x是不为零的任何实数，所以不能取x的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值。
描点：依据什么(数据、方法)找点?
连线：怎样连线? ——可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来。
探索活动2 反比例函数的图象．
可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：
(1)可以用画反比例函数的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；
(2)可以通过探索函数与之间的关系，画出的图象．
探索活动3 反比例函数与的图象有什么共同特征?
引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．（即双曲线）
反比例函数 (k≠0)的图象中两支曲线都与x轴、y轴不相交；并且当时，图象在第一、第三象限内，函数值y随自变量x取值的增大而减小：当时，图象在第二、第四象限内，函数值y随自变量x取值的增大而增大。
反比例函数 (k≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。
反比例函数与 (k≠0)的图象关于直角坐标系的x轴成轴对称。

3、学生练习
课本P9 作出的图象
4、应用知识，体验成功
练笔：课本P10 1.2.
5、归纳小结，反思提高
用描点法作图象的步骤
反比例函数的图象的性质
6、布置作业
书P10 A组1、2

教学后记：

课题：1.2反比例函数的图像和性质（2）
教学目标：
1、巩固反比例函数图像和性质，通过对图像的分析，进一步探究反比例函数的增减性。
2、掌握反比例函数的增减性，能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题。
教学重点：
通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性。
教学难点：
由于受小学反比例关系增减性知识的负迁移，又由于反比例函数图像分成两条分支，给研究函数的增减性带来复杂性。
教学设计：
一、复习：
1．反比例函数　　　　　　的图象经过点（－1，2），那么这个反比例函数的解析式为　　　　　，图象在第　　　　象限，它的图象关于　　　　　成中心对称．
2．反比例函数　　　　　　的图象与正比例函数　的图象，交于点A（1，m），则m＝　　　，反比例函数的解析式为　　　　　　，这两个图象的另一个交点坐标是　　　　　．
3、画出函数的图像
二、讲授新课
1、引导学生观察函数的表格和图像说出y 与x之间的变化关系；
(1)
X … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y … -1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1.2 1 …
(2)
X … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y … 1 1.2 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 1.2 -1 …

2、做一做：
1．用“＞”或“＜”填空：
　（1）已知　　　和　　　是反比例函数　　　的两对自变
　　　量与函数的对应值．若　　　　　，则　　　　　．

　（2）已知和是反比例函数　　　的两对自变
　　　量与函数的对应值．若　　　　　，则　　　　　．
2．已知（　　），（　　），（　　）是反比例函数
　的图象上的三个点，并且　　　　　　　　，则
　　　　　　的大小关系是（　　）
　（A）　　　　　　　　（B）
（C）　（D）
3．已知（　　），（　），（　　）是反比例函数　的图象上的三个点，则的大小关系是　　　　　　　　　　．
4．已知反比例函数．（1）当x＞5时，0　　y 1；

（2）当x≤5时，则y 　 1,或y＜　　（3）当y＞5时，x的范围是。
3、讲解例题
例下图是浙江省境内杭甬铁路的里程示意图。设从杭州到余姚一段铁路线上的列车行驶的时间为时，平均速度为千米/时，且平均速度限定为不超过160千米/时。
（1）求v　关于t　的函数解析式和自变量t的取值范围；

（2）画出所求函数的图象
（3）从杭州开出一列火车，在40分内（包括40分）到达余姚可能吗？在50分内（包括50分）呢？如有可能，那么此时对列车的行驶速度有什么要求？
小结：（1）自变量t不仅要符合反比例函数自身的式子有意义，而且要符合实际问题中的具体意义及附加条件。
（2）对于在自变量的取值范围内画函数的图像映注意图像的纯粹性。
（3）一般有；两种方法求自变量的取值范围：一是利用函数的增减性，二是利用图解法。
练习：课本第16页课内练习第3题
三、小结：
本节课我学到了…… 我的困惑……
四、比较正比例函数和反比例函数的性质
正比例函数反比例函数
解析式
图像直线双曲线
位置 k＞0，一、三象限；
k＜0，二、四象限
k＞0，一、三象限
k＜0，二、四象限

增减性 k＞0，y随x的增大而增大
k＜0，y随x的增大而减小
k＞0，在每个象限y随x的增大而减小
k＜0，在每个象限y随x的增大而增大

五、布置作业：书P12 A组 3，4 B组 1，2，3
教学后记：

课题：1.3实际生活中的反比例函数
教学目标：
1、经历分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型，进而解决实际问题的过程
2、体会数学与现实生活的紧密性，培养学生的情感、态度，增强应用意识，体会数形结合的数学思想。
3、培养学生自由学习、运用代数方法解决实际问题的能力。
教学重难点：
重点是运用反比例函数的解析式和图像表示问题情景中成反比例的量之间的关系，进而利用反比例函数的图像及性质解决问题。
难点是例2中变量的反比例函数关系的确定建立在对实验数据进行有效的分析、整合的基础之上，过程较为复杂。
教学设计：
一、创设情境、引入新课
如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强。
（1）请根据表中的数据求出压强p(kpa)关于体积V(ml)函数解析式。
（2）当压力表读出的压强为72 kpa时，气缸内的气体压缩到多少ml？
体积V(ml) 压强p(kpa)
100 60
90 67
80 75
70 86
60 100
分析：（1）对于表中的实验数据你将作怎样的分析、处理？
（2）能否用图像描述体积V与压强p的对应值？
（3）猜想压强p 与体积V之间的函数类别？
师生一起解答此题。并引导学生归纳此种数学建模的方法与步骤：
（1）由实验获得数据（2）用描点法画出图像（3）根据图像和数据判断或估计函数的类别
（4）用待定系数法求出函数解析式（5）用实验数据验证
指出：由于测量数据不完全准确等原因，这样求得的反比例函数的解析式可能只是近似地刻画了两个变量之间的关系。
二、动脑筋（请自学书P13—14）
问1、使劲踩气球时，气球为什么会爆炸？
问2、小明的妈妈给他作布鞋时，纳鞋底时为什么用锥子，而不用小铁棍？
三、巩固练习
课本第14页练习
四、说一说：
请你说一说本节课自己的收获并对自己参与学习的程度做出简单的评价.
五、作业
1、练一练
设每名工人一天能做某种型号的工艺品x 个。若某工艺厂每天要生产这种工艺品60个，则需工人y名。
（1）求y关于x的函数解析式。
（2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人多少人？
2、书P15 A、B组

教学后记：
课题：第一章反比例函数复习（1）
反比例函数概念复习
【教学目标】
1、进一步认识成反比例的量的概念。
2、结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
3、掌握反比例函数的解析式，会求反比例函数的解析式。
【教学重点和难点】
重点：反比例函数的定义和会求反比例函数的解析式。难点：目标2。
【教学设计】
一、知识要点：
1、一般地，形如 y = ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；
（2）解析式有三种常见的表达形式：
（A）y = （k ≠ 0），（B）xy = k（k ≠ 0）（C）y=kx-1（k≠0）
2、自学书P16--17
二、例题讲解：
1.、在下列函数表达式中,x均为自变量,哪些y是x的反比例函数?每一个反比例函数相应的k值是多少?

（9）y=-2x-1

2、.若y=-3xa+1是反比例函数，则a= 。
3.、若y=（a+2）x a2 +2a-1为反比例函数关系式，则a= 。
4、如果反比例函数y= 的图象位于第二、四象限，那么m的范围为
5、下列的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是
x 1 2 3 4
y 6 8 9 7
x 1 2 3 4
y 8 5 4 3

x 1 2 3 4
y 5 8 7 6
X 1 2 3 4
y 1 1/2 1/3 1/4

6、回答下列问题：
（1）当路程 s 一定时，时间 t 与速度 v 的函数关系。
（2）当矩形面积 S一定时，长 a 与宽 b 的函数关系。
（3）当三角形面积 S 一定时，三角形的底边 y 与高 x的函数关系。
（4）当电压U不变时，通过的电流I与线路中的电阻R的函数关系。
7、实践应用
例1、设面积为20cm2的平行四边形的一边长为a（cm），这条边上的高为h（cm），
⑴求h关于a的函数解析式及自变量a的取值范围；
⑵ h关于a的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数
⑶求当边长a=25cm时，这条边上的高。
例2、设电水壶所在电路上的电压保持不变，选用电热丝的电阻为R（Ω），电水壶的功率为P（W）。
(1) 已知选用电热丝的电阻为50 Ω，通过电流为968w，求P关于R的函数解析式，并说明比例系数的实际意义。
(2)如果接上新电热丝的电阻大于50 Ω，那么与原来的相比，电水壶的功率将发生什么变化？
例3、（1）y是关于x的反比例函数，当x=-3时，y=0.6；求函数解析式和自变量x的取值范围。
（2）如果一个反比例函数的图象经过点（-2，5），（-5，n）求这个函数的解析式和n的值。
（3）y与x+1成反比例，当x＝2时，y＝－1，求函数解析式和自变量x的取值范围。
(4) 已知y与x-2成反比例，并且当x＝3时，y＝2．求x＝1.5时y的值．
（5）如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（　）
A．反比例函数　B．正比例函数　 C．一次函数　 D．反比例或正比例函数
三、布置作业：见书P17 1--4

教学后记：

课题：第一章反比例函数复习（2）
教学目标：
1、通过对实际问题中数量关系得探索，掌握用函数的思想去研究其变化规律

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:49
2、结合具体情境体会和理解反比例函数的意义，并解决与它们有关的简单的实际问题
3、让学生参与知识的发现和形成过程，强化数学的应用与建模意识，提高分析问题和解决问题的能力。
教学重点：反比例函数的图像和性质在实际问题中的运用。
教学难点：运用函数的性质和图像解综合题，要善于识别图形，勤于思考，获取有用的信息，灵活的运用数学思想方法。
教学过程：
一、知识回顾
1、什么是反比例函数？
2、你能回顾总结一下反比例函数的图像性质特征吗？与同伴交流。
二、练一练
1 、反比例函数y=- 的图象是，分布在第象限，在每个象限内， y都随x的增大而；若 p1 (x1 , y1)、p2 (x2 , y2) 都在第二象限且x1<x2 , 则y1 y2。

3、已知反比例函数，若X1 <x2 ,其对应值y1,y2 的大小关系是
4、如图在坐标系中，直线y=x+ k与双曲线在第一象限交与点A，与x轴交于点C，AB垂直x轴，垂足为B，且S△AOB＝1
1）求两个函数解析式
2）求△ABC的面积

6、已知反比例函数的图象经过点，若一次函数y=x+1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B(2，m)，求平移后的一次函数的图象与x轴的交点坐标。
三、小结：
1、本节复习课主要复习本章学生应知应会的概念、图像、性质、应用等内容，夯实基础提高应用。
2、充分利用“图象”这个载体，随时随地渗透数形结合的数学思想.
四、作业
书P18--19

教学后记：

课题：反比例函数测试
基础达标验收卷
一、选择题：
1. 已知反比例函数的图象经过点，则函数可确定为（）
A. B. C. D.
2. 如果反比例函数的图象经过点，那么下列各点在此函数图象上的是（）
A. B. C. D.
3. 如右图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为（）
A.    B.
C.    D.
4. 如右图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，由此观察得到、、的大小关系为（）
A.    B.
C.    D.
5. 已知反比例函数的图象上有两点、且，那么下列结论正确的是（）
A. B. C. D 与之间的大小关系不能确
定
6、已知反比例函数的图象如右图，则函数的图象是下图中的（）

7、已知关于x的函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）

8、如图，点A是反比例函数图象上一点，AB⊥y轴于点B，则△AOB的面积是（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9、某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例. 右图表示的是该电路中电流I与电阻R之间的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）
A.    B.
C.    D.

二、填空题：
1. 我们学习过反比例函数. 例如，当矩形面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为（S为常数，S≠0）.
请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式.
实例：_________________________________________________；
函数关系式：___________________________________________.
2. 右图是反比例函数的图象，那么k与0的大小关系是 .
3. 点在双曲线上，则k=______________.
4. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例. 已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是_____________.
5. 已知反比例函数的图象经过点，则a=__________.
三、解答题：
1. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，求k，n的值.

2. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点 .
（1）分别求这两个函数的解析式.
（2）试判断点关于x轴的对称点是否在一次函数的图象上.

3. 反比例函数的图象经过点 .
（1）求这个函数的解析式；
（2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.

4. 在压力不变的情况下，某物承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其图象如右图所示.
（1）求P与S之间的函数关系式；
（2）求当S=0.5m2时物体所受的压强P.

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5. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△AOB的面积.

能力提高练习
一、学科内综合题
1. 如右图，△OPQ是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P，则它的解析式是_____________.
2. 已知反比例函数和一次函数 .
（1）若一函数和反比例函数的图象交于点，求m和k的值.
（2）当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？
（3）当时，设（2）中的两个函数图象的交点分别为A、B，试判断A、B两点分别在第几象限？∠AOB是锐角还是钝角（只要求直接写出结论）？

二、学科间综合题
3. 若一个圆锥的侧面积为20，则下图中表示这个圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系的是（）

三、实际应用题
4. 某单位为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD. 该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米. 设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB的长为x米，修建健身房的总投入为y元.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）为了合理利用大厅，要求自变量x必须满足8≤x≤12. 当投入资金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度为多少米？

5、为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示）. 现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为：___________________，自变量x的取值范围是：______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为：___________________；
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

二次函数教案
课题：2.1二次函数
教学目标：
1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。
3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
4、会用待定系数法求二次函数的解析式。
教学重点：二次函数的概念和解析式
教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。
教学设计：
一、创设情境，导入新课
问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？
问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）
二、合作学习，探索新知
请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：
（1）面积y (cm2)与圆的半径 x ( Cm )
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元;
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)

（一）教师组织合作学习活动：
1、先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。
2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。
（1）y =πx2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000
(3) y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112
（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
让学生充分发表意见，提出各自看法。
教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的形式.
板书：我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion)
称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项，
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项
（二）做一做
1、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) (2) (3) （4）
（5）
2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）（2）（3）
3、若函数为二次函数，则m的值为。
三、例题示范，了解规律
例1、已知二次函数当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。
此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法。
练习：已知二次函数，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。求这个二次函数的解析式。
例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2),求：
（1） y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围。
（2）当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示。

方法：
（1）学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。
（2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:49
求差法：四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积DE4倍。
直接法：先证明四边形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH2
(3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。
（4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x与y 之间数值的对应关系和内在的规律性：随着x的取值的增大，y的值先减后增；y的值具有对称性。
练习：
用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：
(1)写出y关于x的函数关系式.
(2)当x=3时,矩形的面积为多少?

四、归纳小结，反思提高
本节课你有什么收获？
五、布置作业
课本作业题

课题：2.2二次函数的图像（1）
教学目标：
1、经历描点法画函数图像的过程；
2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；
3、掌握型二次函数图像的特征；
4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。
教学重点：
型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳
教学难点：
选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。
教学设计：
一、回顾知识
前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。）
引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即入手。因此本节课要讨论二次函数（）的图像。
板书课题：二次函数（）图像
二、探索图像
1、用描点法画出二次函数和图像
（1）列表
x … -2
-1
0
1
2 …

… 4
1
0
1
4 …

… -4 -
-1 -
0 -
-1 -
-4 …
引导学生观察上表，思考一下问题：
①无论x取何值，对于来说，y的值有什么特征？对于来说，又有什么特征？
②当x取等互为相反数时，对应的y的值有什么特征？
（2）描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.
（3）连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到和的图像。
2、练习：在同一直角坐标系中画出二次函数和的图像。
学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评）
3、二次函数（）的图像
由上面的四个函数图像概括出：
（1）二次函数的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，
（2）这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。
（3）对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。
（4）当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上方(除顶点外)；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x轴的下方(除顶点外)。
（最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆）
三、课堂练习
观察二次函数和的图像
(1) 填空：
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
(2)在同一坐标系内，抛物线和抛物线的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数和的图像怎样画更简便？
(抛物线与抛物线关于x轴对称，只要画出与中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画)
四、例题讲解
例题：已知二次函数（）的图像经过点（-2，-3）。
（1）求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。
（2）说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。
练习：（1）课本第31页课内练习第2题。
(2) 已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
五、谈收获
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线.
2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点
3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点六、作业：见作业本。

课题：2.2二次函数的图像（2）
教学目标：
1、经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义。
2、了解，，三类二次函数图像之间的关系。
3、会从图像的平移变换的角度认识型二次函数的图像特征。
教学重点：从图像的平移变换的角度认识型二次函数的图像特征。
教学难点：对于平移变换的理解和确定，学生较难理解。
教学设计：
一、知识回顾
二次函数的图像和特征：
1、名称；2、顶点坐标；3、对称轴；
4、当时，抛物线的开口向，顶点是抛物线上的最点，图像在x轴的 (除顶点外)；当时，抛物线的开口向，顶点是抛物线上的最点图像在x轴的 (除顶点外)。
二、合作学习
在同一坐标系中画出函数图像，的图像。
（1）请比较这三个函数图像有什么共同特征？
（2）顶点和对称轴有什么关系？
（3）图像之间的位置能否通过适当的变换得到？
（4）由此，你发现了什么？
三、探究二次函数和图像之间的关系
1、结合学生所画图像，引导学生观察与的图像位置关系，直观得出的图像的图像。
教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系，如：
（0，0）（-2，0）
（2，2）（0，2）；
（-2，2）（-4，2）
②也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。
2、用同样的方法得出的图像的图像。
3、请你总结二次函数y=a(x+ m)2的图象和性质.
（）的图像的图像。
函数的图像的顶点坐标是（-m,0）,对称轴是直线x=-m
4、做一做
（1）、
抛物线开口方向对称轴顶点坐标
y =2(x+3)2
y = -3(x-1)2
y = -4(x-3)2
（2）、填空：
①、由抛物线y=2x2向平移个单位可得到y= 2(x+1)2
②、函数y= -5(x -4)2的图象。可以由抛物线向平移 4 个单位而得到的。
3、对于二次函数，请回答下列问题：
①把函数的图像作怎样的平移变换，就能得到函数的图像？
②说出函数的图像的顶点坐标和对称轴。
第3题的解答作如下启发：这里的m是什么数？大于零还是小于零？应当把的图像向左平移还是向右平移？在此同时用平移的方法画出函数的大致图像（事先画好函数的图像），借助图像有学生回答问题。
五、  探究二次函数和图像之间的关系
1、在上面的平面直角坐标系中画出二次函数的图像。
首先引导学生观察比较与的图像关系，直观得出：的图像的图像。（结合多媒体演示）
再引导学生刚才得到的的图像与的图像之间的位置关系，由此得出：只要把抛物线先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数的图像。
2、做一做：请填写下表：
函数解析式图像的对称轴图像的顶点坐标

3、总结的图像和图像的关系
（）的图像的图像的图像。
的图像的对称轴是直线x=-m，顶点坐标是（-m，k）。
口诀：（m、k）正负左右上下移（ m左加右减 k上加下减）
4、练习：课本第34页课内练习地1、2题
六、谈收获：
1、函数的图像和函数图像之间的关系。
2、函数的图像在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质。
七、布置作业
课本第35页作业题
预习题：对于函数，请回答下列问题：
（1）对于函数的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？
（2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？

课题：2.2二次函数的图像（3）
教学目标：
1、了解二次函数图像的特点。
2、掌握一般二次函数的图像与的图像之间的关系。
3、会确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。
教学重点：二次函数的图像特征
教学难点：例2的解题思路与解题技巧。
教学设计：
一、回顾知识
1、二次函数的图像和的图像之间的关系。
2、讲评上节课的选作题
对于函数，请回答下列问题：
（1）对于函数的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？
（2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？
思路：把化为的形式。
=
在中，m、k分别是什么？从而可以确定由什么函数的图像经怎样的平移得到的？
二、探索二次函数的图像特征
1、问题：对于二次函数y=ax2+bx+c （ a≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？学生有难度时可启发：通过变形能否将y=ax2+bx+c转化为y = a(x+m)2 +k的形式？

=
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。
练习：课本第37页课内练习第2题（课本的例2删掉不讲）
2、二次函数的图像特征
（1）二次函数 ( a≠0)的图象是一条抛物线；
（2）对称轴是直线x= ，顶点坐标是为（，）
(3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
三、巩固知识
1、例1、求抛物线的对称轴和顶点坐标。
有由学生自己完成。师生点评后指出：求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法或者是用顶点坐标公式。
2、做一做课本第36页的做一做和第37页的课内练习第1题
3、（补充例题）例2已知关于x的二次函数的图像的顶点坐标为（-1，2），且图像过点
（1，-3）。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。(此小题供血有余力的学生解答)
分析与启发：（1）在已知抛物线的顶点坐标的情况下，将所求的解析式设为什么比较简便？
4、练习：（1）课本第37页课内练习第3题。
（2）探究活动：一座拱桥的示意图如图（图在书上第37页），当水面宽12m时，桥洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点：
1、点A 2、点B 3、抛物线的顶点C
所得的函数解析式相同吗？请试一试。哪一种取法求得的函数解析式最简单？
四、小结
1、函数的图像与函数的图像之间的关系。
2、函数的图像在对称轴、顶点坐标等方面的特征。
3、函数的解析式类型：
一般式：
顶点式：
五、布置作业
课本作业题

补充课题：二次函数的性质（1）
教学目标：
1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.
2.了解二次函数与二次方程的相互关系.
3.探索二次函数的变化规律,

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:49
掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性
教学重点：
二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法.
教学难点：二次函数的性质的应用.
教学过程：
复习引入
二次函数: y=ax2 +bx + c (a 1 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢?
补充: 当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成立.
二,新课教学:
1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标是 , 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减小. 当x= 时，函数y最大值是____. 当x____0时,y<0.

2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x2的顶点坐标是 , 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减少；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时，函数y最小值是____. 当x____0时,y>0
3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
(1).顶点坐标与对称轴
(2).位置与开口方向
(3).增减性与最值
当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当时，函数y有最小值。当a ﹤0时，在对称轴的

左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当时，函数y有最大值

4.探索二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.

(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当b2-4ac﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax2+bx+c的两个根x1与 x2；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2-4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。
举例: 求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ x1，0），B（x2,0）
5.例题教学:例1: 已知函数

⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图像的草图；
(2)自变量x在什么范围内时， y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值。
归纳:二次函数五点法的画法
三.学习感想: 1、你能正确地说出二次函数的性质吗？
2、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗？你能利用函数图象回答有关性质吗？
四：作业：P39 A 3、4。

补充课题：二次函数的性质（2）
教学目标：
1、掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式。
2、能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性。
3、能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质。
教学重点：二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质
教学难点：利用图像观察性质
教学设计：
一、复习
1、抛物线的顶点坐标是，对称轴是，在侧，即x_____0时， y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时,
y随着x的增大而减小；当x= 时，函数y最值是____。
2、抛物线的顶点坐标是，对称轴是，在侧，即x_____0时， y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时,
y随着x的增大而减小；当x= 时，函数y最值是____。
二、例题讲解
例1、根据下列条件求二次函数的解析式：
（1）函数图像经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-2）
(2) 函数图像的顶点坐标是（2，4）且经过点（0，1）
（3）函数图像的对称轴是直线x=3,且图像经过点（1，0）和（5，0）
说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件。一般来说：任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标（或对称轴或最值）及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷。
例2　已知函数y= x2 -2x -3 ,
（１）把它写成的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？
（2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；
（3）求出图象与坐标轴的交点坐标；
（4）画出函数图象的草图；
(5)设图像交x轴于A、B两点，交y 轴于P点，求△APB的面积；
（6）根据图象草图，说出 x取哪些值时， ① y=0; ② y<0; ③ y>0.
说明：（1）对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；
（2）利用函数图像判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图像，要使y<0;，其对应的图像应在x轴的下方，自变量x就有相应的取值范围。

例3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则：
a 0; b 0;c 0; 0。

说明：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数a、b、c、的关系：
系数的符号图像特征
a的符号 a>0. 抛物线开口向
a<0 抛物线开口向
b的符号 b>0. 抛物线对称轴在y 轴的侧
b=0 抛物线对称轴是轴
b<0 抛物线对称轴在y 轴的侧
c的符号 c>0. 抛物线与y轴交于
C=0 抛物线与y轴交于
c<0 抛物线与y轴交于
的符号
>0.
抛物线与x 轴有个交点
=0
抛物线与x 轴有个交点
<0
抛物线与x 轴有个交点

三、小结本节课你学到了什么？
四、布置作业：课本作业题第5、6题
补充作业题：已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

教学后记：

课题：2.3二次函数的应用（1）
2．3．1 把握变量之间的的依赖关系
教学目标：
1、经历数学建模的基本过程。
2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。
3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。
教学重点和难点：
重点：二次函数在最优化问题中的应用。
难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。
教学设计：
一、创设情境、提出问题
动脑筋
一座拱桥的纵截面是抛物线的一段，拱桥的跨度是4.9米，水面宽4米时，拱顶离水面2米，想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化？
设问：
①这是什么样的函数？
②怎样建立直角坐标系比较简便？
③如何设函数的解析式？如何确定系数？
④自变量的取值范围是什么？
⑤当水面宽3米时，拱顶离水面高多少米？
⑥你是否体会到：从实际问题建立起函数模型，对于解决问题是有效的？
二、观察分析，研究问题
演示动画，引导学生观察、思考、发现：当矩形周长为8，它的一边变化时，另一边和面积也随之改变。深入探究：如设矩形的一边长为x米，则另一边长为(4-x)米，再设面积为ym2,则它们的函数关系式为

并当x =2时（属于范围）即当设计为正方形时，面积最大=4(m2)（为什么）
引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决。
步骤：
第一步设自变量；
第二步建立函数的解析式；
第三步确定自变量的取值范围；
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）。
三、例练应用，解决问题
例1 某厂生产两种产品，价格分别为P1=4万元/吨，P2=8万元/吨；
第一种产品的产量为Q1（吨），第二种产品的产量为1吨，成本函数为：

（1）当Q1=1吨时，成本C是多少？
（2）求利润L与Q1的函数关系式；
（3）当Q1=0.8吨时，利润L是多少？
（4）当Q1=1吨时，利润L是多少？

四、知识整理，形成系统
这节课学习了用什么知识解决哪类问题？
解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？
学到了哪些思考问题的方法？
五、布置作业：书P43 1、2 P49 A 1、2

教学后记：

2．3．1 二次函数与一元二次方程的联系（1）
[本课知识要点]
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．
[MM及创新思维]
生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2008 北京奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？
[实践与探索]
例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，问此运动员把铅球推出多远？
解如图，铅球落在x轴上，则y=0，
因此，．
解方程，得（不合题意，舍去）．
所以，此运动员把铅球推出了10米．
探索

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:49
此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面 m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．
例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．
（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）
分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．
解（1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C（如图26．3．3）．
由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25），
因此，设抛物线为．
将A（0，1．25）代入上式，得，
解得
所以，抛物线的函数关系式为．
当y=0时，解得 x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5，
所以C（2．5，0），即水池的半径至少要2．5m．
（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为．
由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得h= -1．6，k=3．7．
所以，水流最大高度应达3．7m．

[学生练习]
阅读书P43 动脑筋

完成书P45 –P46 例5及说一说

[当堂课内练习]
1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？
2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？
3、书P43 动脑筋
[本课课外作业]
A组
1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问能否射中球门？
2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．
下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
3．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，达到最大高度3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；
（2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方
0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

B组
4．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0．4m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．

5．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
[教学后记]

2．3．1 二次函数与一元二次方程的联系（2）
[本课知识要点]
让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．
[MM及创新思维]
二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．
[实践与探索]
例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。
（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
分析若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。
解（1）根据题意，得

(30≤x≤70)。
（2）。
顶点坐标为（65，1950）。二次函数草图略。
经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

例2。某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
X（十万元） 0 1 2 …
y 1 1．5 1．8 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
解（1）设二次函数关系式为。
由表中数据，得。
解得。
所以所求二次函数关系式为。
（2）根据题意，得。
（3）。
由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2。5时，S随x的增大而增大。．
[当堂课内练习]
1、将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（）
A、5元 B、10元 C、15元 D、20元
2、某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是是多少万元？
[本课课外作业]
A组
1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），
与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。
（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？
2．某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？
3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
B组
4．行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能﹙车速不超过140千米/时﹚，对这种汽车进行测试，数据如下表：
刹车时车速（千米/时） 0 10 20 30 40 50 60
刹车距离 0 0．3 1．0 2．1 3．6 5．5 7．8
﹙1﹚以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图象；
﹙2﹚观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数关系式；
﹙3﹚该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5米，请推测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
[本课教学体会]

2．3．1 二次函数与一元二次方程的联系（3）
[本课知识要点]
（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；
（2）了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．
[MM及创新思维]
给出三个二次函数：（1）；（2）；（3）．
它们的图象分别为

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:49
观察图象与x轴的交点个数，分别是个、个、个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？
另外，能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？
[实践与探索]
例1．求抛物线与x轴的交点的横坐标。（书P44例2）
求抛物线与x轴的交点的横坐标。（书P44例3）
例2、画出函数的图象，根据图象回答下列问题．
（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？
（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？
解图象如图26．3．4，
（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．
（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程的解相同．
（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．

回顾与反思（1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．
（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．
例3．（1）已知抛物线，当k= 时，抛物线与x轴相交于两点．
（2）已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a= ．
（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且，则k的值是．
分析（1）抛物线与x轴相交于两点，相当于方程有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．
（2）二次函数的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程的两个实数根相等，即⊿=0．
（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程的两个根，又由于，以及，利用根与系数的关系即可得到结果．
请同学们完成填空．
回顾与反思二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．
例4．已知二次函数，
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？
分析（1）要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数根，即⊿＞0．
（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，② ，③ ．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．
（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，② ．
解（1）⊿= ，由，得，所以⊿＞0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．
（2）由，得；由，得；又由（1），⊿＞0，因此，当时，两个交点都在原点的左侧．
（3）由，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴．
探索第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数是由函数上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．
[当堂课内练习]
1．已知二次函数的图象如图，
则方程的解是，
不等式的解集是，
不等式的解集是．
2．抛物线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为．
3．已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两个交点间的距离为．
4．函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．
[本课课外作业]
A组
1．已知二次函数，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．
（1）方程的解是什么？
（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？
2．如果二次函数的顶点在x轴上，求c的值．
3．不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围．
4．已知二次函数，
求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；
（2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积；
（3）x为何值时，y＞0．
5．你能否画出适当的函数图象，求方程的解？
B组
6．函数（m是常数）的图象与x轴的交点有（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
7．已知二次函数．
（1）说明抛物线与x轴有两个不同交点；
（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；
（3）a取何值时，两点间的距离最小？
[本课教学体会]

2．3．1 二次函数与一元二次方程的联系（4）
[本课知识要点]
掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．
[MM及创新思维]
上节课的作业第5题：画图求方程的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．
甲：将方程化为，画出的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．
乙：分别画出函数和的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．
你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．
[实践与探索]
例1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）；
（2）．
分析上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．
解（1）在同一直角坐标系中画出
函数和的图象，
如图26．3．5，
得到它们的交点（-3，9）、（1，1），
则方程的解为 –3，1．

（2）先把方程化为
，然后在同一直角
坐标系中画出函数和
的图象，如图26．3．6，
得到它们的交点（，）、（2，4），
则方程的解为，2．
回顾与反思一般地，求一元二次方程的近似解时，可先将方程化为，然后分别画出函数和的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．
例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
(1) ；（2）．
分析（1）可以通过直接画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．
解（1）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图26．3．7，
得到它们的交点（，）、（1，1），
则方程组的解为．

（2）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图26．3．8，
得到它们的交点（-2，0）、（3，15），则方程组的解为．

探索（2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线的图象，请尝试一下．
[当堂课内练习]
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）（精确到0．1）；
（2）．
2．利用函数的图象，求方程组的解：
[阅读教材P46--47]
[本课课外作业]
A组
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）（2）
2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
（1）；（2）．
B组
3．如图所示，二次函数与的图象交于A（-2，4）、B（8，2）．求能使成立的x的取值范围。

[本课教学体会]

第二章小结与复习
一、本章学习回顾
1．知识结构

2．学习要点
（1）能结合实例说出二次函数的意义。
（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。
（3）掌握二次函数的平移规律。
（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。
（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。
（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。
（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。
3．需要注意的问题
在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。
二、本章复习题
A组
一、填空题
1．已知函数，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，抛物线的开口向上；当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．
2．抛物线经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为．
3．抛物线，开口向下，且经过原点，则k= ．
4．点A（-2，a）是抛物线上的一点，则a= ； A点关于原点的对称点B是；A点关于y轴的对称点C是；其中点B、点C在抛物线上的是．
5．若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是．
6．把函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式为．
7．已知二次函数的最小值为1，那么m的值等于．
8．二次函数的图象在x轴上截得的两交点之间的距离为．
9．抛物线的对称轴是，根据图象可知，当x 时，y随x的增大而减小．
10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关系式为．
11．若二次函数的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式为．
12．抛物线的开口方向向，顶点坐标是，对称轴是，与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是，当x= 时，y有最值是．
13．抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，，若，那么c值为，抛物线的对称轴为．
14．已知函数．当m 时，函数的图象是直线；当m
时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上，且经过原点的抛物线．
15．一条抛物线开口向下，并且与x轴的交点一个在点A（1，0）的左边，一个在点A（1，0）的右边，而与y轴的交点在x轴下方，写出这条抛物线的函数关系式．
二、选择题
16．下列函数中，是二次函数的有（）
① ② ③ ④
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
17．若二次函数的图象经过原点，则m的值必为（）
A、-1或3 B、-1 C、3 D、无法确定
18．二次函数的图象与x轴（）
A、没有交点

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:49
B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点
19．二次函数有（）
A、最大值1 B、最大值2 C、最小值1 D、最小值2
20．在同一坐标系中，作函数，，的图象，它们的共同特点是
（D ）
A、都是关于x轴对称，抛物线开口向上
B、都是关于y轴对称，抛物线开口向下
C、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
D、都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
21．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）
A、 B、且
C、 D、且
22．二次函数的图象可由的图象（）
A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
23．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高（）
A、4元或6元 B、4元 C、6元 D、8元
24．若抛物线的所有点都在x轴下方，则必有（）
A、 B、
C、 D、
25．抛物线的顶点关于原点对称的点的坐标是（）
A、（-1，3） B、（-1，-3） C、（1，3） D、（1，-3）
三、解答题
26．已知二次函数．
（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值；
（2）求抛物线与x轴、y轴的交点；
（3）作出函数图象的草图；
（4）观察图象，x为何值时，y＞0；x为何值时，y= 0；x为何值时，y＜0？
27．已知抛物线过（0，1）、（1，0）、（-1，1）三点，求它的函数关系式．
28．已知二次函数，当x=2时，y有最大值5，且其图象经过点（8，-22），求此二次函数的函数关系式．
29．已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2．
（1）求二次函数的函数关系式；
（2）设此二次函数图象的顶点为P，求⊿ABP的面积．
30．利用函数的图象，求下列方程（组）的解：
（1）；（2）．
31．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162-3x．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
B组
一、选择题
32．若所求的二次函数的图象与抛物线有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为（ D ）
A、 B、
C、 D、
33．二次函数，当x=1时，函数y有最大值，设，（是这个函数图象上的两点，且，则（）
A、 B、
C、 D、
34．若关于x的不等式组无解，则二次函数的图象与x轴（）
A、没有交点 B、相交于两点
C、相交于一点 D、相交于一点或没有交点
二、解答题
35．若抛物线的顶点在x轴的下方，求m的值．
36．把抛物线的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，求m、n．
37．如图，已知抛物线，与x轴交于A、B，且点A在x轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，OA=OB，
（1）求m的值；
（2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C的坐标．
38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．
C组
解答题
39．如图，已知二次函数，当x=3时，
有最大值4．
（1）求m、n的值；
（2）设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B，
求A、B点的坐标；
（3）当y＜0时，求x的取值范围；
（4）有一圆经过A、B，且与y轴的正半轴相切于点C，
求C点坐标．
40．阅读下面的文字后，解答问题．
有这样一道题目：“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)、、，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．
（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由；
（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整．
41．已知开口向下的抛物线与x轴交于两点A（，0）、B（，0），其中＜，P为顶点，∠APB=90°，若、是方程的两个根，且．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的函数关系式．
42．已知二次函数的图象如图所示．
（1）当m≠-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）求m的取值范围；
（3）在（2）的情况下，若，求C点坐标；
（4）求A、B两点间的距离；
（5）求⊿ABC的面积S．

第二章自我检测题
（时间45分钟，满分100分）
一、精心选一选（每题4分，共20分）
1．抛物线的顶点坐标是（）
A、（2，0） B、（-2，0） C、（1，-3） D、（0，-4）
2．若（2，5）、（4，5）是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（）
A、 B、 C、 D、
3．已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，则函数的图象经过的象限是（）
A、第三、四象限 B、第一、二象限
C、第二、三、四象限 D、第一、二、三象限
4．抛物线与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线相同，则的函数关系式为（）
A、 B、
C、 D、
5．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线，则（）
A、b=2，c= -2 B、b= -6，c=6 C、b= -8，c=14 D、b= -8，c=18
二、细心填一填（每空3分，共45分）
6．若是二次函数，则m= 。
7．二次函数的开口，对称轴是。
8．抛物线的最低点坐标是，当x 时，y随x的增大而增大。
9．已知二次函数的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的关系式为，它与x轴的交点的个数为个。
10．若y与成正比例，当x=2时，y=4，那么当x= -3时，y的值为。
11．抛物线与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是。
12．有一长方形条幅，长为a m，宽为b m，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为，自变量x的取值范围为。
13．抛物线与直线只有一个公共点，则b= 。
14．已知抛物线与x轴交点的横坐标为 –1，则 = 。
15．已知点A（1，4）和B（2，2），试写出过A、B两点的二次函数的关系式（任写两个）
、。
三、认真答一答（第17题8分，其余各9分）
16．已知二次函数的图象经过点（3，2）。
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围。

17．根据下列条件，求二次函数的关系式：
（1）抛物线经过点（0，3）、（1，0）、（3，0）；
（2）抛物线顶点坐标是（-1，-2），且经过点（1，10）。

18．已知抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0）。
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的函数关系式。

19．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元。
（1）设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；
（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额Q元，写出Q关于x的函数关系式；
（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？

第三章圆
单元要点分析
教学内容
1．本单元数学的主要内容．
（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．
（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆和圆的位置关系．
（3）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．
2．本单元在教材中的地位与作用．

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:49
学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．
教学目标
1．知识与技能
（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．
（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．
（3）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．
2．过程与方法
（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．
（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．
（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．
（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．
（5）探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．
3．情感、态度与价值观
经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．
教学重点
1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其运用．
2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其运用．
3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．
4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其运用．
5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．
6．直线L和⊙O相交 d<r；直线L和圆相切 d=r；直线L和⊙O相离 d>r及其运用．
7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．
8．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．
9．两圆的位置关系：d与r1和r2之间的关系：外离 d>r1+r2；外切 d=r1+r2；相交 │r2-r1│<d<r1+r2；内切 d=│r1-r2│；内含 d<│r2-r1│．
10、n°的圆心角所对的弧长为L= ，n°的圆心角的扇形面积是S扇形= 及其运用这两个公式进行计算．
12．圆锥的侧面积和全面积的计算．
教学难点
1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．
2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，并运用它解决一些实际问题．
3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．
4．点与圆的位置关系的应用．
5．三点确定一个圆的探索及应用．
6．直线和圆的位置关系的判定及其应用．
7．切线的判定定理与性质定理的运用．
8．圆和圆的位置关系的判定及其运用．
9． n的圆心角所对的弧长L= 及S扇形＝的公式的应用．
10．圆锥侧面展开图的理解．
教学关键 1．积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、性质、“三个”位置关系并推理证明等活动．
2．关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高．
3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，发展学生有条理的思考能力及语言表达能力．
单元课时划分
本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：
3．1 圆 4课时
3．2 点、直线与圆的位置关系，圆的切线 4课时
3．3 圆与圆的位置关系 2课时
3．4 弧长和扇形面积，圆锥的侧面展开图 4课时
3．5 平行投影和中心投影 1课时
3．6 三视图 3课时
教学活动、习题课、小结 3课时

3．1 圆
3．1．1 圆的对称性（第一课时）
教学目标
了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是旋转对称图形和中心对称图形及圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．
通过对圆的图形的认识，使学生认识新的几何图形的对称美，体会所体现出的完美性，培养学生美的感受，激发学习兴趣．
重难点、关键
1．重点：垂径定理及其运用．
2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
教学过程
Ⅰ．创设现实情境，引入新课
[师]前面我们已经学习过两种常见的几何图形，三角形、四边形．大家回忆一下我们是通过一些什么方法研究了它们的性质？
[师]好！大家总结得很详细，今天我们继续运用这些方法来学习和研究小学已接触过的另一种常见的几何图形——圆．
和三角形、四边形一样，圆的性质与应用同样需要通过轴反射、平移、旋转、推理证明等方法去学习和探究．
Ⅱ．讲授新课
[师]日常生活中同学们经常见到的汽车、摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的？
[师]请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢？能否做成长方形或正方形？
老师这里有两个车轮模具，一个是圆形，一个是正方形．我们一起观察一下这两个车轮在行进中有些什么特点？大家讨论．
讨论如下图：

[师]通过我们平常乘坐汽车，或骑自行车感受到，圆形的车轮只要路面平整，车子就不会上下颠簸，人坐在车上就感到平稳、舒服．假如车轮是方形的，那么车子在行进中，就会对人产生一种上下颠簸，坐着不舒服的感觉．
下面我们一起来探讨一下，是什么原因导致车轮要做成圆形，不能做成方形．看P83图，A、B表示车轮边缘上的两点，点O表示车轮的轴心，A、O之间的距离与B、O之间的距离有什么关系？用什么方法可以判断，大家动手做一做．
[师]同学们做得很好．大家通过不同的方法，得到的结果是什么？
[生]OA＝OB．
[师]刚才是两个特殊点，现在我们在车轮边缘上任意取一点C，要使车轮能够平稳地滚动，C、O之间的距离与A、O之间的距离应有什么关系？
[生]CO＝AO．这样才能保证车轮平稳地滚动．
[师]同学们以前画过圆，画一个圆很简单．将圆规的一个脚固定，另一个带有铅笔头的脚转一圈，一个圆就画出来了．固定的那一点称为圆心．所画得的圆圈叫圆周．从画圆的过程中可以看到，圆规两个脚之间的长度始终保持不变，也就是说圆心到圆周上任意一点的距离都相等．这是圆的一个重要而又最基本的性质．人们就是用圆的这种性质来制造车轮的，车轴总是安装在车轮的圆心位置上，这样，车轴到车轮边缘的距离处处相等．也就是说，车子在行进中，车轴离路面的距离总是一样的．车子在平路上行走较平稳，假如是方形的，车轴到路面的距离时大时小，车子就会产生颠簸．
2、圆的定义：
平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆(circle)．其中，定点称为圆心(Centre of a circle)，定长称为半径(radius)．以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”．
注意：确定一个圆需要两个要素，一是位置，二是大小．圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确定．只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．
问： 1．体育教师想利用一根3m长的绳子在操场上画一个半径为3m的圆，你能帮他想想办法吗？
答：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈，B所经过的路径就是所希望的圆．
小结：圆也可以看成平面内一动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。
同时，我们又把
①连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；
②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；
直径是弦，是圆内最长的弦，但弦不一定是直径．

3、圆的三种对称性
（1）什么是相等的圆（等圆）？
（2）圆有几种对称性？
圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合。
特别地，圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．
（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径．
3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．
因此，我们可以得到：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，或任意一条直径所在的直线．
（学生活动）请同学按下面要求完成下题：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些线段的等量关系？说一说你理由．
（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．
（2）AM=BM，即直径CD平分弦AB．
这样，我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分这条弦．（用因为、所以的几何语言来表达）

下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M
求证：AM=BM.

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:49
分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可．
证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中

∴Rt△OAM≌Rt△OBM
∴AM=BM

进一步，我们还可以得到结论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦．
[师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”？
[生]因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．
[师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理．
[师]同学们，你能写出它的证明过程吗？
[生]如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．
在等腰△OAB中，∵AM＝MB，
∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)．
例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（点O是圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．
分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
解：如图，连接OC
设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m
∵OE⊥CD
∴CF= CD= ×600=300（m）
根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2
即R2=3002+（R-90）2 解得R=545
∴这段弯路的半径为545m．
三、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆的有关概念；
2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
3．垂径定理以及它们的应用．
四、布置作业
教材P61 1、2、3．

教学后记：

3．1．1 圆的对称性（第二课时）
教学内容
1．圆心角、弧的有关定义．
2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
教学目标
了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．
通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．
重难点、关键
1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．
2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．
教学过程
Ⅰ．知识回顾，引入新课
昨天我们学了圆的哪些知识？
Ⅱ．讲授新课
下面，我们在昨天的基础上来认识一下弧、圆心角这些与圆有关的概念．
圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．
如下图，以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”

注意：
1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧用三个大写字母表示⌒ACD(记作 )，劣弧用两个大写字母表示AD(记作 )．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆也用三个大写字母表示．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．
2．认识圆心角：观察教室内的石英钟的时针、分针、秒针所成的角度的特点。
3、圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
[师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点？
[生]大小一样．
[师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．

将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗？
[生]重合．
[师]通过旋转的方法我们知道：圆是旋转对称图形．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O＇A＇重合时，由于∠AOB＝∠A＇O＇B＇．这样便得到半径OB与O＇B＇重合．因为点A和点A＇重合，点B和点B＇重合，所以和重合，弦AB与弦A＇B＇重合，即，AB＝A＇B＇．
[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？
[生]在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
[师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
下面，我们一起来看一看命题的证明．
教师板书
如上图所示，已知：⊙O和⊙O＇是两个半径相等的圆，∠AOB＝∠A＇O＇B＇．
求证：，AB＝A＇B＇．
证明：将⊙O和⊙O＇叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA与O＇A＇重合，∵∠AOB＝∠A＇O＇B＇，
∴半径OB与O＇B＇重合．
∵点A与点A＇重合，点B与点B＇重合，
∴ 与重合，弦AB与弦A＇B＇重合．
∴ ，AB＝A＇B＇．
于是得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
（用因为、所以的几何语言来表达）

注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．
[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．
[生]如下图示，虽然∠AOB＝∠A＇O＇B＇，但AB≠A＇B＇，
下面我们共同想一想．
[师]如果我们把两个圆心角用①表示；两条弧用②表示；两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论：

如果在同圆或等圆这个前提下．将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗？你是怎么想的？请你说一说．(同学们互相交流、讨论)
[生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确．可以通过旋转法或叠合法得到证明．
[生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到．
[师]好，通过上面的探索，你得到了什么结论？
[生]在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
（用因为、所以的几何语言来表达）
注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．
(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．
(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．
(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等．
例如，下图中的∠1＝∠2，有的同学认为∠1对AD，∠2对BC，就推出了AD＝BC，显然这是错误的，因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦．

4、回顾：
问：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．
（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．
（2）AM=BM，即直径CD平分弦AB．
这样，我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分这条弦．
还有什么相等？
垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧
（用因为、所以的几何语言来表达）

5、证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
理由：如下图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理设 = ， = ，用等量减等量差相等，得－ = －，即 = ，故结论成立．

符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．
Ⅲ．课时小结
[师]通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法？(同学们之间相互讨论、归纳)
Ⅳ．课后作业
书P 63 1、2 P70 1、2、3、
教学后记：

3．1．2 圆周角
教学内容
1．圆周角的概念．
2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．
教学目标
1．了解圆周角的概念．
2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．
设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．
重难点、关键
1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．
3．关键：探究圆周角的定理的存在．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？
老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．
刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．
二、探索新知
问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
（可出几个关于圆周角与圆心角的识别题）
现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:51
1．一条弧所对的圆周角的个数有多少个？
2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．
老师点评：
1．一条弧所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．
3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，
并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”
（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO
∴∠ABC= ∠AOC
（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC= ∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．
老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．
（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC= ∠AOC吗？请同学们独立完成证明．
老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO= ∠AOD- ∠COD= ∠AOC
现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．
从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．
例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．
解：BD=CD
理由是：如图24-30，连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°即AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD
三、巩固练习
例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，求证： = = =2R．
分析：要证明 = = =2R，只要证明 =2R， =2R， =2R，即sinA= ，sinB= ，sinC= ，因此，十分明显要在直角三角形中进行．
证明：连接CO并延长交⊙O于D，连接DB
∵CD是直径
∴∠DBC=90°
又∵∠A=∠D
在Rt△DBC中，sinD= ，即2R=
同理可证： =2R， =2R
∴ = = =2R
四、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；
3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．
五、布置作业
教材P66 1、2 P70 7、8、9
教学后记：
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3．1．2过不在同一直线上的三点作圆
教学目标
(一)教学知识点
了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
(二)能力训练要求
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．
2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．
(三)情感与价值观要求
1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．
2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
教学重点
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．
2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．
3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
教学难点
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．
Ⅱ．新课讲解
1．回忆及思考
投影片(§3．4A)
1．线段垂直平分线的性质及作法．
2．作圆的关键是什么？
[生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等．

[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？
[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．
2．做一做(投影片§3．4B)
(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？
[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答．
[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．

(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．
(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．
因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．
[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？
3．过不在同一条直线上的三点作圆．
投影片(§3．4C)

作法图示
1．连结AB、BC
2．分别作AB、BC的垂直
平分线DE和FG，DE和
FG相交于点O
3．以O为圆心，OA为半径作圆
⊙O就是所要求作的圆

他作的圆符合要求吗？与同伴交流．
[生]符合要求．
因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的满足条件．
[师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．

思考：过同一直线上的三个点可以确定一个圆吗？
4．有关定义
由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形．
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．
Ⅲ．课堂练习
已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？
解：如下图．

O为外接圆的圆心，即外心．
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．
Ⅳ．课时小结
Ⅴ．课后作业
Ⅵ．活动与探究
如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？

解：因为A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在CD所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．

教学后记：

3.2 点、直线与圆的位置关系，圆的切线
3．2．1 点、直线与圆的位置关系
教学目标
1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外 d>r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d<r及其运用．
2．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．
3、了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．
能力训练要求
1．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力．
2．通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化．
情感与价值观要求
通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重点
经历探索直线与圆位置关系的过程．
理解直线与圆的三种位置关系．
了解切线的概念以及切线的性质．
教学难点
经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系．
探索圆的切线的性质．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课教学过程
（学生活动）请同学们口答下面的问题．
1．圆的两种定义是什么？
2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:51
3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？
4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．
老师点评：（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．
（2）圆规：一个定点，一个定长画圆．
（3）都等于半径．
（4）经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；圆内的点到圆心的距离小于半径．
Ⅱ．新课讲解
（一）点与圆的位置关系：
由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d
则有：点P在圆外 d>r
点P在圆上 d=r
点P在圆内 d<r
反过来，也十分明显，如果d>r 点P在圆外；如果d=r 点P在圆上；如果d<r 点P在圆内．
因此，我们可以得到：

这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．
（二）类比地学习直线和圆的位置关系．
1．复习点到直线的距离的定义
[生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离．
如下图，C为直线AB外一点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即为点C到直线AB的距离．
2．探索直线与圆的三种位置关系
[师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的．
演示：作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
[师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？
[生]有三种位置关系：
[师]直线和圆有三种位置关系，如下图：

它们分别是相交、相切、相离．
当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线(tangent line)．
当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线，．
当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗？
[生]当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；
当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；
当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离．
[师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d（垂线段）和半径r作比较，类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢？
[生]如上图中，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时，d＜r；当直线与圆相切时，d＝r；当直线与圆相离时，d＞r，因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系．
[师]由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法．一种是从直线与圆的公共点的个数来断定；一种是用d与r的大小关系来断定．
投影片
(1)从公共点的个数来判断：
直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．
(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：
d＜r时，直线与圆相交；
d＝r时，直线与圆相切；
d＞r时，直线与圆相离．
投影片
[例1]已知圆O的半径r = 3，圆心O到直线l的距离d=2，判断直线l与圆O的位置关系。
[例2]已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm．
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
分析：根据d与r间的数量关系可知：
d＝r时，相切；d＜r时，相交；d＞r时，相离．

2、解：(1)如上图，过点C作AB的垂线段CD．
∵AC＝4cm，AB＝8cm；
∴cosA＝，
∴∠A＝60°．
∴CD＝ACsinA＝4sin60°＝2 (cm)．
因此，当半径长为2 cm时，AB与⊙C相切．
(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2 cm，所以，当r＝2cm时，d＞r，⊙C与AB相离；
当r＝4cm时，d＜r，⊙C与AB相交．

Ⅲ．课堂练习
P73 1，2
Ⅳ．课时小结
本节课学习了如下内容：
点、直线与圆的三种位置关系．
(1)从公共点数来判断．
(2)从d与r间的数量关系来判断．
Ⅴ．课后作业
P80 1、2
Ⅵ．活动与探究
如下图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处，并以每小时10 千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．

(1)A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到这次台风的影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？
分析：因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心，半径为200千米的圆，A城能否受到影响，即比较A到直线BF的距离d与半径200千米的大小．若d＞200，则无影响，若d≤200，则有影响．
第一课时作业设计
一、选择题．
1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（）．
A．2.5 B．2.5cm C．3cm D．4cm

3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平分∠ACB，则弦AD长为（）
A． B． C． D．3
二、填空题．
1．经过一点P可以作_______个圆；经过两点P、Q可以作________个圆，圆心在_________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆，圆心是________的交点．
2．边长为a的等边三角形外接圆半径为_______，圆心到边的距离为________．
3．直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形______，钝角三角形外心在三角形_________．
三、综合提高题．
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AB上一点，连结BD，并延长至E，连结AD，若AB=AC，∠ADE=65°，试求∠BOC的度数．
2．如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24-49所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

3．△ABC中，AB=1，AC、BC是关于x的一元二次方程（m+5）x2-（2m-5）x+12=0两个根，外接圆O的面积为，求m的值．

3．2．2 圆的切线的判定、性质和画法（1）
教学目标
（1）复习点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，以直线和圆的位置关系中的d=r 直线和圆相切，讲授切线的判定定理．
（2）理解切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．

重难点、关键
1．重点：切线的判定定理及其运用它们解决一些具体的题目．
2．难点与关键：由上节课直线和圆的位置关系引出切线的判定定理．
教学过程
一、复习引入
同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，

则有：点P在圆外 d>r，如图（a）所示；
点P在圆上 d=r，如图（b）所示；
点P在圆内 d<r，如图（c）所示．
直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．
（老师板书）如图所示：

如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．
如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
我们知道，点到直线L的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，按照这个定义，作出圆心O到L的距离的三种情况？
（学生分组活动）：设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论？
老师点评直线L和⊙O相交 d<r，如图（a）所示；

直线L和⊙O相切 d=r，如图（b）所示；
直线L和⊙O相离 d>r，如图（c）所示．
因为d=r 直线L和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线L的距离，即垂直，并由d=r就可得到L经过半径r的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的，我们可以得到切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（学生分组讨论）：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，你应该如何证明？
（老师点评）：应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点，即经过半径的外端（2）过这点的半径垂直于直线．
例1．如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？
分析：（1）根据切线的判定定理可知，要使直线AB与⊙C相切，那么这条半径应垂直于直线AB，并且C点到垂足的长就是半径，所以只要求出如图所示的CD即可．
（2）用d和r的关系进行判定，或借助图形进行判定．
解：（1）如图24-54：过C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△ABC中
BC= =
∴CD= =2
因此，当半径为2 cm时，AB与⊙C相切．
理由是：直线AB为⊙C的半径CD的外端并且CD⊥AB，所以AB是⊙C的切线．
（2）由（1）可知，圆心C到直线AB的距离d=2 cm，所以
当r=2时，d>r，⊙C与直线AB相离；
当r=4时，d<r，⊙C与直线AB相交．
三、巩固练习
例2、已知：如图，AD是圆O的直径，直线BC经过点D，并且AB=AC，∠BAD=∠CAD。求证：直线BC是圆O的切线。

四、归纳小结（学生归纳，总结发言老师点评）
本节课应掌握：
1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．应用上面的知识解决实际问题．
五、布置作业
教材P73 1、2
教学后记：

3．2．2 圆的切线的判定、性质和画法（2）
教学目标

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:51
1．继续学习切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．理解并掌握切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
重难点、关键
1．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．
2．难点与关键：切线的判定定理与切线的性质定理的灵活运用。

教学过程
一、复习引入
1、点和圆有这样的位置关系及直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．
2、切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，你应该如何证明？
应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点，经过半径外端（2）过这点的半径垂直于直线．
二、探究
切线的判定定理是不知道直线是切线，而判定切线，反之，
如果知道这条直线是切线呢？有什么性质定理呢？
实际上，如图，CD是切线，A是切点，连结AO与⊙O于B，
那么AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，
因此，∠BAC=∠BAD=90°．

因此，我们有切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径．
三、例题解析
例3 如图，直线l是圆O的切线，切点为A，∠OBA=45°
求：∠AOB。

例4、经过直径两端点的切线互相平行。（见书P76）
例5、过圆O上一点A画圆O的切线。
四、巩固练习
1．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，
且∠DCB=∠A．
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
分析：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，因为C点已在圆上．
由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10
解：（1）CD与⊙O相切
理由：①C点在⊙O上（已知）
②∵AB是直径
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°
∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A
∴∠OCA=∠DCB
∴∠OCD=90°
综上：CD是⊙O的切线．
（2）在Rt△OCD中，∠D=30°
∴∠COD=60°
∴∠A=30°
∴∠BCD=30°
∴BC=BD=10
∴AB=20，∴r=10
答：（1）CD是⊙O的切线，（2）⊙O的半径是10．
五、归纳小结（学生归纳，总结发言老师点评）
本节课应掌握：
1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径．
六、布置作业
1．教材P77 1、2、3

教学后记：

3．2．2 圆的切线的判定、性质和画法（3）习题课
教学内容
（一）回顾：1．直线和圆相交、割线；直线和圆相切、圆的切线、切点；直线和圆没有公共点、直线和圆相离等概念．
2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d
直线L和⊙O相交 d<r；直线和⊙O相切 d=r；直线L和⊙O相离 d>r．
3．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
（二）作业设计
一、选择题．
1．如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA的长是（）
A． B．
2．下列说法正确的是（）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线．
B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;
D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
3．已知⊙O分别与△ABC的BC边，AB的延长线，AC的延长线相切，则∠BOC等于（）
A．（∠B+∠C） B．90°+ ∠A
C．90°- ∠A D．180°-∠A
二、填空题
1．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为________．

2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．
3．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=________，∠BOC=________．
三、综合提高题
1．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，过点P的任一直线交⊙O于B、C，连结AB、AC，连PO交⊙O于D、E．
（1）求证：∠PAB=∠C．
（2）如果PA2=PD?PE，那么当PA=2，PD=1时，求⊙O的半径．

2．设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，面积为S，则内切圆半径r= ，其中P= （a+b+c）；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，则r= （a+b-c）
3．如图1，平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（-2，0），与y轴交于B、C两点，O1B的延长线交x轴于点D（，0），连结AB．
（1）求证：∠ABO=∠ABO；
（2）设E为优弧的中点，连结AC、BE交于点F，请你探求BE?BF的值．
（3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于点M，与BD的延长线交于点N，当⊙O2的大小变化时，给出下列两个结论．
①BM-BN的值不变；②BM+BN的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．
（友情提示：如图3，如果DE∥BC，那么）

3．2．3 三角形的内切圆
教学目标
(一)教学知识点
1．会作三角形的内切圆．
2．了解三角形的内切圆、内心、外切三角形的定义．
3．理解三角形的内心是三条角平分线的交点。
(二)能力训练要求
1．会作三角形的内切圆。
(三)情感与价值观要求
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
经历探究如何作三角形的内切圆的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
教学重点
作三角形内切圆的方法．
教学难点
内心如何找出来．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]1、如何作三角形的外接圆？它外心是如何确定的呢？
2、木工师傅如何在一块三角形木板上裁一个最大的圆形木板？
Ⅱ．新课讲解
1．如何作三角形的内切圆．
投影片
如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．

分析：假设符合条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．
解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如下图)．
(2)过I作ID⊥BC，垂足为D．
(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I．
⊙I就是所求的圆．
[师]由例题可知，BE和CF只有一个交点I，并且I到△ABC三边的距离相等，为什么？
[生]∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上，∴ID＝IN，∴ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的．
[师]因此与三角形三条边都相切的圆有且只有一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle)，内切圆的圆心是三角形的三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter)．
2．例题讲解
设△ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积S。
Ⅲ．课堂练习
随堂练习书P79 1，2，3
Ⅳ．课时小结
本节课学习了以下内容：
1．探索如何作三角形的内切圆．
2．了解三角形的内切圆，三角形的内心等概念．
Ⅴ．课后作业
习题P80 5，6，7，8
Ⅵ．活动与探究
已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．

求证：DC是⊙O的切线．
分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．

教学后记：

3．3 圆和圆的位置关系
教学内容
1．两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两个圆相交等概念．
2．设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．
外离 d>r1+r2
外切 d=r1+r2
相交 │r1-r2│<d<r1+r2
内切 d=│r1-r2│
内含 0≤d<│r1-r2│（其中d=0，r1≠r2 时两圆是同心圆，r1＝r2 时，两个圆重合。）
教学目标
了解两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两圆相交、圆心距等概念．
理解两圆的互解关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．
通知复习直线和圆的位置关系和结合操作几何，迁移到圆与圆之间的五种关系并运用它们解决一些具体的题目．
重难点、关键
1．重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．
2．难点与关键：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．
教学过程
一、复习引入
请同学们独立完成下题．
在你的随堂练习本上，画出直线L和圆的三种位置关系，并写出等价关系．
老师点评：直线L和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，如图（a）～（c）所示．（其中d表示圆心到直线L的距离，r是⊙O的半径）

(a) 相交 d<r (b) 相切 d=r (3) 相离 d>r
二、探索新知
请每位同学完成下面一段话的操作几何，四人一组讨论你能得到什么结论．
（1）在一张透明纸上作一个⊙O1，再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2，把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系？
（2）设两圆的半径分别为r1和r2（r1<r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，你又能得到什么结论？
老师用两圆在黑板上运动并点评：
可以发现，可以会出现以下五种情况：

（1）图（a）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆外离；
（2）图（b）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆外切．
（3）图（c）中，两个圆有两个公共点，那么就说两个圆相交．

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:51
（4）图（d）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆内切．
（5）图（e）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆内含但不同心．
图（f）是（e）甲的一种特殊情况──圆心相同，我们把它称为同心圆．（其中d=0，r1≠r2 时两圆是同心圆，r1＝r2 时，两个圆重合）
问题（分组讨论）如果两圆的半径分别为r1和r2（r1<r2），圆心距（两圆圆心的距离为d，请你们结合直线和圆位置关系中的等价关系和刚才五种情况的讨论，填完下列空格：
两圆的位置关系 d与r1和r2之间的关系
外离
外切
相交
内切
内含
老师分析点评：外离没有交点，因此d>r1+r2；
外切只有一个交点，结合图（a），也很明显d=r1+r2；
相交有两个交点，如图两圆相交于A、B两点，连接O1A和O2A，很明显r2-r1<d<r1+r2；内切是内含加相切，因此d=r2-r1；内含是0≤d<r2-r1（其中d=0，两圆同心）反之，同样成立，因此，我们就有一组等价关系（老师填完表格）．
例1．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3，7，圆心距为5，判定两个圆的位置关系。
例2、已知⊙O1和⊙O2 内切，圆心距为13，⊙O1的半径为12，求⊙O2 的半径。（注意两种情况）

三、巩固练习
教材P84 练习．
四、应用拓展
例3．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

（1） (2)
分析：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．
解：∵PO=OO′=PO′
∴△PO′O是一个等边三角形
∴∠OPO′=60°
又∵TP与NP分别为两圆的切线，
∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°
∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°
例4．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，
求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？

(1) (2)
（2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．
分析：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO+rA；（2）作OA与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA-rO．
解：如图2所示，（1）作法：以A为圆心，rA=15-7=8为半径作圆，则⊙A的半径为8cm
（2）作法：以A点为圆心，rA′=15+7=22为半径作圆，则⊙A的半径为22cm

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆和圆位置关系的概念：
2．设两圆的半径为r1，r2，圆心距为d（r1<r2）
则有：外离 d>r1+r2
外切 d=r1+r2
相交 r2-r1<d<r1+r2
内切 d=r2-r1
内含 0≤d<r2-r1（当d=0时，两圆同心或重合）
六、布置作业
教材P85 A组
2．选用课时作业设计．

第四课时作业设计
一、选择题．
1．已知两圆的半径分别为5cm和7cm，圆心距为8cm，那么这两个圆的位置关系是（）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
2．半径为2cm和1cm的⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且O1A⊥O2A，则公共弦AB的长为（）．
A． cm B． cm C． cm D． cm
3．如图所示，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是（）．
A．y= x2+x B．y=- x2+x
C．y=- x2-x D．y= x2-x

二、填空题．
1．如图1所示，两圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，则O1O2所在的直线是公共弦AB的________．

(1) (2) (3)
2．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d满足______时，两圆相交；当d满足_______时，两圆不外离．
3．如图2所示，⊙O1和⊙O2内切于T，则T在直线________上，理由是_________________；若过O2的弦AB与⊙O2交于C、D两点，若AC：CD：BD=2：4：3，则⊙O2与⊙O1半径之比为________．
三、综合提高题．
1．如图3，已知⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，连结AO1并延长交⊙O1于C，连CB并延长交⊙O2于D，若圆心距O1O2=2，求CD长．
2．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．
（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；
（2）若⊙B过M（-2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．

答案:
一、1．B 2．D 3．B
二、1．垂直平分线
2．2<d<8，0≤d≤8 3．O1O2，过直线上一点T有且只有一条直线与已知直线垂直，1：3
三、1．连结AB、CD，由AC为⊙O1直径，得∠ABC=90°，
则AD为⊙O2直径，即O2为AD中点，则CD=2O1O2=4．
2．（1）AB=5>1+3，外离．
（2）设B（x，0）x≠-2，则AB= ，⊙B半径为│x+2│，
①设⊙B与⊙A外切，则 =│x+2│+1，
当x>-2时， =x+3，平方化简得：x=0符题意，∴B（0，0），
当x<-2时， =-x-1，化简得x=4>-2（舍），
②设⊙B与⊙A内切，则 =│x+2│-1，
当x>-2时， =x+1，得x=4>-2，∴B（4，0），
当x<-2时， =-x-3，得x=0，
∵0>-2，∴应舍去．
综上所述：B（0，0）或B（4，0）．没
教学后记：

3.4 弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图
3.4．1 弧长和扇形面积(第1课时)
教学内容
1．n°的圆心角所对的弧长
2．扇形的概念；
3．应用以上内容解决一些具体题目．
教学目标
了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长的计算公式并熟练掌握它们的应用．
通过复习圆的周长公式，探索n°的圆心角所对的弧长的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．
重难点、关键
1．重点：n°的圆心角所对的弧长及其它们的应用．
2．难点：公式的应用．
3．关键：由圆的周长迁移到弧长公式的过程．
教具、学具准备
小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．
教学过程
一、复习引入
（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．
1．圆的周长公式是什么？
2．什么叫弧长？
老师点评：（1）圆的周长C=2 R
（2）弧长就是圆的一部分．
二、探索新知
（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：
1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．
2．1°的圆心角所对的弧长是_______．
3．2°的圆心角所对的弧长是_______．
4．4°的圆心角所对的弧长是_______．
……
5．n°的圆心角所对的弧长是_______．
（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：
半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为
例1 已知圆O的半径为30，求40°的圆心角所对的弧长（结果精确到0.1）
例2 书P88 做一做
例3 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长（结果精确到0.1mm）

分析：要求的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．
解：R=40mm，n=110
∴ 的长= = ≈76.8（mm）
因此，管道的展直长度约为76.8mm．
三、巩固练习
课本P88练习．
四、归纳小结（学生小结，老师点评）
本节课应掌握：
1．n°的圆心角所对的弧长L=
2．扇形的概念．
3．运用以上内容，解决具体问题．
五、布置作业
教材 P92 A 1，2
2．选用课时作业设计．

第一课时作业设计
一、选择题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（）
A．1 B． C． D．

(1) (2) (3)
3．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（）
A．12 m B．18 m C．20 m D．24 m
二、填空题
1．如果一条弧长等于 R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．
2．如图3所示，OA=30B，则的长是的长的_____倍．
教学后记：

3.4.1弧长和扇形面积(第2课时)

教学内容
1．回顾：n°的圆心角所对的弧长
2．圆心角为n°的扇形面积是；
3．应用以上内容解决一些具体题目．
教学目标
理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．
通过复习圆的面积公式，探索n°的圆心角的扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．
重难点、关键
1．重点：n°的圆心角所对的弧长，扇形面积及其它们的应用．
2．难点：两个公式的应用．
3．关键：由圆的面积迁移到扇形面积公式的过程．
教具、学具准备
小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．
教学过程
一、复习引入
（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．
1．n°的圆心角所对的弧长是什么？
2．圆的面积公式是什么？

二、探索新知
问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:
（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？
学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:51
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:

像这样，圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形．
（小黑板），请同学们结合圆心面积S= R2的公式，独立完成下题：
1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．
2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
……
5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
老师检察学生练习情况并点评
1．360 2．S扇形= R2 3．S扇形= R2 4．S扇形= 5．S扇形=
因此：在半径为r的圆中，圆心角n°的扇形的面积S为

其中l是n°的圆心角所对的弧长
例1．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求的长（结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）

分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．
解：的长= ×10= ≈10.5
S扇形= ×102= ≈52.3
因此，的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm2．

三、巩固练习
例2．已知扇形AOB的半径为1.5cm，∠AOB=58°，求扇形AOB的面积结果精确到0．1 ）

四、归纳小结（学生小结，老师点评）
本节课应掌握：
1．n°的圆心角所对的弧长L=
2．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=
五、布置作业
教材P89 练习 P92 A 3
教学后记：

3.4.2 圆锥的侧面积和全面积
教学内容
1．圆锥母线的概念．
2．圆锥侧面积的计算方法．
3．计算圆锥全面积的计算方法．
4．应用它们解决实际问题．
教学目标
了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题．
通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题．
重难点、关键
1．重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式．
2．难点：探索两个公式的由来．
3．关键：你通过剪母线变成面的过程．
教具、学具准备
直尺、圆规、量角器、小黑板．
教学过程
一、复习引入
1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点．
2．问题1：一种太空囊的示意图如图所示，太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的．

老师点评：（1）n°圆心角所对弧长：L= ，S扇形= ，公式中没有n°，而是n；弧长公式中是R，分母是180；而扇形面积公式中是R，分母是360，两者要记清，不能混淆．
（2）太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥上的侧面积，圆柱的侧面积和底圆的面积．
这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，但圆锥的侧面积，到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探究它．
二、探索新知
我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同理道理，我们也把圆锥顶点和底面圆上任意一点的连线段叫做圆锥的母线．
（学生分组讨论，提问二三位同学）
问题2：与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为L，底面圆的半径为r，如图24-115所示，那么这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________，因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为________．

老师点评：很显然，扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S= ，其中n可由2 r= 求得：n= ，∴扇形面积S= = rL；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积= rL+ r2．
例1．圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）
分析：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面积．
解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为Lcm，则
r=
L= ≈22.03
S纸帽侧= rL≈ ×58×22.03=638.87（cm）
638.87×20=12777.4（cm2）
所以，至少需要12777.4cm2的纸．
例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300 cm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
分析：（1）由S扇形= 求出R，再代入L= 求得．（2）若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，圆锥母线为腰的等腰三角形．
解：（1）如图所示：
∵300 =
∴R=30
∴弧长L= =20 （cm）
（2）如图所示：
∵20 =20 r
∴r=10，R=30
AD= =20
∴S轴截面= ×BC×AD
= ×2×10×20 =200 （cm2）
因此，扇形的弧长是20 cm卷成圆锥的轴截面是200 cm2．
三、巩固练习
例3 ，圆锥的的高为2cm，底面圆的半径为r为1.6cm，求圆锥的侧面积为和全面积（精确到0.1 cm2）．

四、应用拓展
例4．如图所示，经过原点O（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）两点的曲线是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）.
（1）求出图中曲线的解析式；
（2）设抛物线与x轴的另外一个交点为C，以OC为直径作⊙M，如果抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且与y轴的正半轴交点为E，连结MD，已知点E的坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积（用含m的代数式表示）．
（3）延长DM交⊙M于点N，连结ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得S四边形EOMD=S△DON请求出此时点P的坐标．
解：（1）∵O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）在曲线y=ax2+bx+c（a≠0）上
∴
解得a=1，b=-4，c=0
∴图中曲线的解析式是y=x2-4x
（2）抛物线y=x2-4x与x轴的另一个交点坐标为c（4，0）,
连结EM，
∴⊙M的半径为2，即OM=DM=2
∵ED、EO都是⊙M的切线
∴EO=ED ∴△EOM≌△EDM
∴S四边形EOMD=2S△OME=2× OM?OE=2m
（3）设点D的坐标为（x0，y0）
∵S△DON=2S△DOM=2× OM×y0=2y0
∴S四边形ECMD=S△DON时即2m=2y0，m=y0
∵m=y0
∴ED∥x轴
又∵ED为切线
∴D（2，2）
∵点P在直线ED上，故设P（x，2）
∵P在圆中曲线y=x2-4x上
∴2=x2-4x 解得：x= =2±
∴P1（2+ ，0），P2（2- ，2）为所求．
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．什么叫圆锥的母线．
2．会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题．
六、布置作业
1．教材P91
2．选用课时作业设计．
第二课时作业设计
一、选择题
1．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
2．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（）
A．228° B．144° C．72° D．36°
3．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（）
A．6 B． C．3 D．3
二、填空题
1．母线长为L，底面半径为r的圆锥的表面积=_______．
2．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，所得圆柱体的表面积是__________（用含的代数式表示）
3．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡．
三、综合提高题
1．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm，母线长是120cm，需要加工这样的一个烟囱帽，请你画一画：
（1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头）
（2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径
至少应是多少？
2．如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥全面积．

3．如图所示，一个几何体是从高为4m，底面半径为3cm的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，求这个几何体的表面积．

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3.6 三视图
〖教学目标〗
◆1、感受从不同方向观察同一物体可能看到不一样的结果，培养学生全面观察的能力.
◆2、能认别简单物体的三视图，了解主视图、俯视图、左视图和三视图的概念．
◆3、了解各个视图之间的尺寸关系；长对正、高平齐、宽相等．
◆4、会画直棱柱等简单几何体的三视图．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：三视图的画法.
◆教学难点：例2的组合体较复杂，画三视图有一定的难度.
〖教学准备〗
◆1、多媒体；
◆2、水瓶、杯子、乒乓球；
◆3、每位同学准备7个小正方体，一个圆锥，一个长方体
〖教学过程〗
一、创设问题情境。
（一）从学生熟悉的古诗入手，引出课题。
大家看（屏幕投影庐山彩照）
师：横看成岭侧成峰，
远近高低各不同。
不识庐山真面目，
只缘身在此山中。

多美的山，多美的诗！
哪位同学能说说苏东坡是怎样观察庐山的吗？
这首诗教会了我们怎样观察物体（横看、侧看、近看、身处山中看）。这也是我们这节课将要学习的内容——从不同方向看

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:51
（二）购买房子时，总是拿一幅房子的平面图，从房子的平面图就可以知道房子的结构，从而决定是否买房（在投影屏幕上给出图）；家庭在装修时先请设计工程师先画出家具的图纸，这些事情都说明现实生活、生产中离不开图形（立体与平面），而空间物体的立体图形需要通过平面图形从不同角度去刻画，这些都是我们今后数学课中要学习的。
二、观察实物，利用小实验，使学生初步体会从不同方向观察同一物体，可能看到不一样的结果。
实验示意图（水瓶、杯子、乒乓球先用布盖好）

老师需要三位同学帮忙，哪位同学乐意？
让三位学生分别按以上位置站好后，老师掀开盖布：
师问甲同学：请告诉同学们，你看到桌子上摆放着什么？
（水瓶、乒乓球）
师：乙同学呢？你又看到什么？
（水瓶、水杯）
师对丙同学：你来说说，桌子上摆着什么东西？
（水瓶、杯子、乒乓球）
师：为什么这三位同学说的都不一样，是不是有哪位同学说错了？请同学们想一想。
三位同学都没有说错，只因为他们站的位置不同。再看下面一幅图，大家明白了：即从不同方向看，所以看的结果不同。

三、新课
（一）观察几个简单几何体的组合，讨论得出“观察同一物体时，可能看到不同的图形”的结论。
将课前图（注：图在后面）内容打在投影屏幕上，让学生自主研究给出的四幅图分别从什么方向看到的？（让学生体会到从前、后、左、右、上五个方向能看到各个方向上物体的图形，思考若减少几个方向能不能完整地认识物体）。实际上在机械制图时的要求，只要从正面、上面、左边就可以完整确切地表达物体的形状和大小。
是不是同一物体从不同方向看结果一定不一样呢？
练习P97动脑筋
（二）三视图及其画法
1、由上面的讲解，体会到从不同的方向看同一物体时可能看到不同的图形，其中从正面看到的图形叫主视图，从左面看到的图形叫左视图，从上面看到的图形叫俯视图。主视图、左视图、俯视图合称三视图。
在生活和生产实践中，我们也经常需要运用三视图来描述物体的形状和大小。如图所示的热水瓶的三视图。（注：图在后面）
（讨论）下面是由7块小正方体木块堆成的物体，从三个方向看到图形如下，请同学们说出哪一个是主视图？哪一个是左视图？哪一个是俯视图？

2、学生默读理解课本P98上第三、四段。
“长对正、高平齐、宽相等”是画三视图必须遵循的法则。
例1 一个长方体的立体图如图所示，请画出它的三视图。

（合作学习）请同学们画出下列物体的三视图，并由各小组选出代表展示结果，并请全班同学参加评价。

（独立自主）让每一个同学自己用5块正方体搭成几何体，然后画出所搭几何体的三视图，并请同学思考搭的方法是不是惟一的？小组讨论，进行交流。
四、自学书P99—P104
五、小结
1、这节课我们主要学习了什么知识？
（1）从不同方向观察同一物体时，可能看到不同的图形。
（2）画简单几何体的三视图。
2、给了我们什么启示？
这节课我们研究的都是从不同方向观察物体，对人、对事呢？
从不同方向观察同一物体时，可能看到不同的图形，从不同角度分析同一件事或同一个人，结果可能也不一样。我作为一个老师，也会全面地评价每一个学生，同时希望同学们今后看物、看人、看事从多角度、多方向分析，这样，我们就会发现许多美好的、闪光的东西，从而感受生活是多么的美好。
六、作业见作业本（1）

教学后记：

小结与复习（1）
教学目标
(一)教学知识点
1．掌握本章的知识结构图．
2．探索圆及其相关结论．
3．掌握并理解垂径定理．
4．认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．
5．掌握圆心角和圆周角的关系定理．
(二)能力训练要求
1．通过探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．
2．用折叠、旋转的方法探索圆的对称性，以及圆心角、弧、弦之间关系的定理，发展学生的动手操作能力．
3．用推理证明的方法研究圆周角和圆心角的关系，发展学生的推理能力．
4．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．
(三)情感与价值观要求
通过学生自己归纳总结本章内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．
教学重点
掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆心角和圆周角的关系．对这些内容不仅仅是知道结论，要注重它们的推导过程和运用．
教学难点
上面这些内容的推导及应用．
教学方法
教师引导学生自己归纳总结法．
教具准备
投影片三张：
教学过程
Ⅰ．回顾本章内容
[师]本章的内容已全部学完，大家能总结一下我们都学过哪些内容吗？
[生]首先，我们学习了圆的定义；知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且有旋转不变性的特点；利用轴对称变换的方法探索出垂径定理及逆定理；用旋转变换的方法探索圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；用推理证明的方法研究了圆心角和圆周角的关系；又研究了确定圆的条件；点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；圆的切线的性质和判断；探究了圆弧长和扇形面积公式，圆锥的侧面积．
[师]很好，大家对所学知识掌握得不错．本章的内容可归纳为三大部分，第一部分由圆引出了圆的概念、对称性，圆周角与圆心角的关系，弧长、扇形面积，圆锥的侧面积，在对称性方面又学习了垂径定理，圆心角、孤、弦之间的关系定理；第二部分讨论直线与圆的位置关系，其中包括切线的性质与判定，切线的作图；第三部分是圆和圆的位置关系．这三部分构成了全章内容，结构如下：(投影片A)

Ⅱ．具体内容巩固
[师]上面我们大致梳理了一下本章内容，现在我们具体地进行回顾．
一、圆的有关概念及性质
[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点为圆心，定长为半径．
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还具有旋转不变性．
[师]圆的这些性质在日常生活中有哪些应用呢？你能举出例子吗？
[生]车轮做成圆形的就是利用了圆的旋转不变性．车轮在平坦的地面上行驶时，它与地面线相切，当它向前滚动时，轮子的中心与地面的距离总是不变的，这个距离就是半径．把车厢装在过轮子中心的车轴上，则车辆在平坦的公路上行驶时，人坐在车厢里会感觉非常平稳．如果车轮不是圆形，坐在车上的人会觉得非常颠．
二、垂径定理及其逆定理
[生]垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
[师]这两个定理大家一定要弄清楚、不能混淆，所以我们应先对他们进行区分．每个定理都是一个命题，每个命题都有条件和结论．在垂径定理中，条件是：一条直径垂直于一条弦，结论是：这条直径平分这条弦，且平分弦所对的弧(有两对弧相等)．在逆定理中，条件是：一条直径平分一条弦(不是直径)，结论是：这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧(也有两对弧相等)．从上面的分析可知，垂径定理中的条件是逆定理中的结论，垂径定理中的一个结论是逆定理中的条件，在具体的运用中，是根据已知条件提供的信息来决定用垂径定理还是其逆定理，若已知直径垂直于弦，则用垂径定理；若已知直径平分弦，则用逆定理．下面我们就用一些具体例子来区别它们．
(投影片B)
1．如图(1)，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足，则四边形ADOE是正方形吗？请说明理由．
2．如图(2)，在⊙O中，半径为50mm，有长50mm的弦AB，C为AB的中点，则OC垂直于AB吗？OC的长度是多少？

[师]在上面的两个题中，大家能分析一下应该用垂径定理呢，还是用逆定理呢？
[生]在第1题中，OD、OE都是过圆心的，又OD⊥AB、OE⊥AC，所以已知条件是直径垂直于弦，应用垂径定理；在第2题中，C是弦AB的中点，因此已知条件是平分弦(不是直径)的直径，应用逆定理．
[师]很好，在家能用这两个定理完成这两个题吗？
[生]1．解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∴四边形ADOE是矩形．
∵AC＝AB，∴AE＝AD．
∴四边形ADOE是正方形．
2．解：∵C为AB的中点，
∴OC⊥AB，
在Rt△OAC中，AC＝ AB＝25mm，OA＝50mm．
∴由勾股定理得OC＝ (mm)．
三、圆心角、弧、弦之间关系定理
[师]大家先回忆一下本部分内容．
[生]在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
[师]下面我们进行有关练习
(投影片C)
1．如图在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，求AB的长．

[生]解：由题意可知的度数为120°，
∴∠AOB＝120°．
作OC⊥AB，垂足为C，则
∠AOC＝60°，AC＝BC．
在Rt△ABC中，
AC＝OAsin60°＝2×sin60°＝2× ．
∴AB＝2AC＝2 (cm)．
四、圆心角与圆周角的关系
[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
五、弧长，扇形面积，圆锥的侧面积和全面积
[师]我们经过探索，归纳出弧长、扇形面积、圆锥的侧面积公式，大家不仅要牢记公式，而且要把它的由来表述清楚，由于时间关系，我们在这里不推导公式的由来，只是让学生掌握公式并能运用．
[生]弧长公式l＝，π是圆心角，R为半径．
扇形面积公式S＝或S＝ lR．n为圆心角，R为扇形的半径，l为扇形弧长．
圆锥的侧面积S侧＝πrl，其中l为圆锥的母线长，r为底面圆的半径．
S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2．
Ⅲ．课时小结
本节课我们复习巩固了圆的概念及对称性；垂径定理及其逆定理；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；圆心角和圆周角的关系；弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．
Ⅳ．课后作业
复习题 A组
Ⅴ．活动与深究
弓形面积

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:51
如图，把扇形OAmB的面积以及△OAB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积．如图(1)中，弓形AmB的面积小于半圆的面积，这时S弓形＝S扇形－S△OAB；图(2)中，弓形AmB的面积大于半圆的面积，这时S弓形＝S扇形＋S△OAB；图(3)中，弓形AmB的面积等于半圆的面积，这时S弓形＝ S圆．

例题：水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m，求截面上有水的弓形的面积(精确到0.01m2)．
解：如图，在⊙O中，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C．

∵OA＝0.6，DC＝0.3，
∴OD＝0.6－0.3＝0.3，∠AOD＝60°，AD＝0.3 ．
∵S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB，
∴S扇形OACB＝ ?0.62＝0.12π(m2)，
S△OAB＝ AB?OD＝ ×0.6 ×0.3＝0.09 (m2)
∴S弓形ACB＝0.12π－0.09 ≈0.22(m2)．
板书设计
回顾与思考
一、1．圆的有关概念及性质；
2．垂径定理及其逆定理；
3．圆心角、弧、弦之间关系定理；
4．圆心角与圆周角的关系；
5．弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．
二、课时小结
三、课后作业
教学后记：

小结与复习（2）
教学目标
(一)教学知识点
1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系．
2．了解切线的概念，切线的性质及判定．
3．会过圆上一点画圆的切线．
(二)能力训练要求
1．通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．
2．通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索能力．
3．通过画圆的切线，训练学生的作图能力．
4．平行投影与中心投影
5．三视图的画法
6．通过全章内容的归纳总结，训练学生各方面的能力．
(三)情感与价值观要求
1．通过探索有关公式，让学生懂得数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
2．经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
教学重点
1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．
2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．
教学难点
探索各种位置关系及切线的性质．
教学方法
学生自己交流总结法．
教具准备
投影片五张：
教学过程
Ⅰ．回顾本章内容
[师]上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了本章知识结构图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固．
Ⅱ．具体内容巩固
一、确定圆的条件
[师]作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定．我们在探索这一问题时，与作直线类比，研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆，圆心的分布和半径的大小有什么特点．下面请大家自己总结．
[生]经过一个点可以作无数个圆．因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个．
经过两点也可以作无数个圆．
设这两点为A、B，经过A、B两点的圆，其圆心到A、B两点的距离一定相等，所以圆心应在线段AB的垂直平分线上，在AB的垂直平分线上任意取一点为圆心，这一点到A或B的距离为半径都可以作一个经过A、B两点的圆．因此这样的圆也有无数个．
经过在同一直线上的三点不能作圆．
经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．要作一个圆经过A、B、C三点，就要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离相等，到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点应在线段B、C的垂直平分线上，那么同时满足到A、B、C三点距离相等的点应既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，既两条直线的交点，因为交点只有一个，即确定了圆心．这个交点到A点的距离为半径，所以这样的圆只能作出一个．
[师]经过不在同一条直线上的四个点A、B、C、D能确定一个圆吗？
[生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径，说明四个点不在同一个圆上．
例题讲解(投影片A)
矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？
[师]请大家互相交流．
[生]解：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．

∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴A、B、C、D四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半．
∴A、B、C、D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
二、三种位置关系
[师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾．
1．点和圆的位置关系
[生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在圆的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说明这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明这个点在圆内．
[师]总结得不错，下面看具体的例子．
(投影片B)
1．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3 m．在直线l上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎样的？
2．菱形各边的中点在同一个圆上吗？
分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径．
[生]1．解：如图(1)，在Rt△OPD中，

∵OD＝3，PD＝4，
∴OP＝＝5＝r．
所以点P在圆上．
同理可知OR＝＜5，OQ＝＞5．
所以点R在圆内，点Q在圆外．
2．如图(2)，菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别是各边的中点．因为菱形的对角线互相垂直，所以△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是直角三角形，又由于E、F、G、H分别是各直角三角形斜边上的中点，所以OE、OF、OG、OH分别是各直角三角形斜边上的中线，因此有OE＝ AB，OF＝ BC，OG＝ CD，OH＝ AD，而AB＝BC＝CD＝DA．所以OE＝OF＝OG＝OH．即各中点E、F、G、H到对角线的交点O的距离相等，所以菱形各边的中点在同一个圆上．
2．直线和圆的位置关系
[生]直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时，此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，此时直线和圆相离．
[师]总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？
[生]有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比较圆心到直线的距离d与半径的大小．
当d＜r时，直线和圆相交；
当d＝r时，直线和圆相切；
当d＞r时，直线和圆相离．
[师]很好，下面我们做一个练习．
(投影片C)
如图，点A的坐标是(－4，3)，以点A为圆心，4为半径作圆，则⊙A与x轴、y轴、原点有怎样的位置关系？

分析：因为x轴、y轴是直线，所以要判断⊙A与x轴、y轴的位置关系，即是判断直线与圆的位置关系，根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r比较．O是点，⊙A与原点即是求点和圆的位置关系，通过求OA与r作比较即可．
[生]解：∵A点的坐标是(－4，3)，
∴A点到x轴、y轴的距离分别是3和4．
又因为⊙A的半径为4，
∴A点到x轴的距离小于半径，到y轴的距离等于半径．
∴⊙A与x轴、y轴的位置关系分别为相交、相切．
由勾股定理可求出OA的距离等于5，因为OA＞4，所以点O在圆外．
[师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行深层次的研究，即切线的性质和判定．
[生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径．
切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
[师]下面我们看它们的应用．
(投影片D)
1．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，求AD的长．

2．如图(2)，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠CAE＝∠B，你认为AE与⊙O相切吗？为什么？
分析：1．由⊙O与AC相切可知OE⊥AC，又∠C＝90°，所以△AOE∽△ABC，则对应边成比例，．求出半径和OA后，由OA－OD＝AD，就求出了AD．
2．根据切线的判定，要求AE与⊙O相切，需求∠BAE＝90°，由AB为
⊙O的直径得∠ACB＝90°，则∠BAC＋∠B＝90°，所以∠CAE＋∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°．
[师]请大家按照我们刚才的分析写出步骤．
[生]1．解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，
∴由勾股定理得AB＝15．
∵⊙O切AC于点E，连接OE，
∴OE⊥AC．
∴OE∥BC．∴△OAE∽△BAC．
∴ ，即．
∴ ．∴OE＝
∴AD＝AB－2OD＝AB－2OE＝15－ ×2＝．
2．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．∴∠CAB＋∠B＝90°．
∴∠CAE＝∠B，
∴∠CAB＋∠CAE＝90°，
即BA⊥AE．∵BA为⊙O的直径，
∴AE与⊙O相切．
3．圆和圆的位置关系
[师]还是请大家先总结内容，再进行练习．
[生]圆和圆的位置关系有三大类，即相离、相切、相交，其中相离包括外离和内含，相切包括外切和内切，因此也可以说圆和圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、内含．
[师]那么应根据什么条件来判断它们之间的关系呢？
[生]判断圆和圆的位置关系；是根据公共点的个数以及一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来判断．
当两个圆没有公共点时有两种情况，即外离和内含两种位置关系．当每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外离；当其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内含．
当两个圆有唯一公共点时，有外切和内切两种位置关系，当除公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外切；当除公共点外，其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内切．
两个圆有两个公共点时，一个圆上的点有的在另一个圆的内部，有的在另一个圆的外部时是相交．两圆相交只要有两个公共点就可判定它们的位置关系是相交．
[师]只有这一种判定方法吗？
[生]还有用圆心距d和两圆的半径R、r之间的关系能判断外切和内切两种位置关系，当d＝R＋r时是外切，当d＝R－r(R＞r)时是内切．

作者: admin 时间: 2012-2-9 14:51
[师]下面我们还可以用d与R，r的关系来讨论出另外三种两圆的位置关系，大家分别画出外离、内含和相交这三种位置关系．探索它们之间的关系，它们的关系可能是存在相等关系，也有可能是存在不等关系．(让学生探索)大家得出结论了吗？是不是这样的．
当d＞R＋r时，两圆外离；
当R－r＜d＜R＋r时，两圆相交；
当d＜R－r(R＞r)时，两圆内含．
(投影片E)
设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r，圆心距为d，在下列情况下，⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？
①R＝6cm，r＝3cm，d＝4cm；
②R＝6cm，r＝3cm，d＝0；
③R＝3cm，r＝7cm，d＝4cm；
④R＝1cm，r＝6cm，d＝7cm；
⑤R＝6cm，r＝3cm，d＝10cm；
⑥R＝5cm，r＝3cm，d＝3cm；
⑦R＝3cm，r＝5cm，d＝1cm．
[生](1)∵R－r＝3cm＜4cm＜R＋r＝9cm，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交；
(2)∵d＜R－r，∴两圆的位置关系是内含；
(3)∵d＝r－R，∴两圆的位置关系是内切；
(4)∵d＝R＋r，∴两圆的位置关系是外切；
(5)∵d＞R＋r，∴两圆的位置关系是外离；
(6)∵R－r＜d＜R＋r，∴两圆的位置关系是相交；
(7)∵d＜r－R，∴两圆的位置关系是内含．
三、有关外接圆和内切圆的定义及画法
[生]过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点．
因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．
和三角形三边都相切的圆；叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心．因此，作三角形的内切圆时，只要作两条角平分线就找到了圆心，以这点与任一边之间的距离为半径，就可作出三角形的内切圆．
四、平行投影与中心投影
五、三视图的画法与要求
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Ⅲ．课堂练习
1．画三个半径分别为2cm、2.5cm、4cm的圆，使它他们两两外切．
2．两个同心圆中，大圆的弦AB和AC分别和小圆相切于点D和E，则DE与BC的位置关系怎样？DE与BC之间有怎样的数量关系？(DE BC)
Ⅳ．课时小结
本节课巩固了如何确定圆；点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系；如何作三角形的外接圆和内切圆．
Ⅴ．课后作业
复习题 B组、C组
Ⅵ．活动与探究
如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，求图中阴影部分的面积．

分析：根据图形，阴影部分的面积等于三角形ABC的面积与⊙O的面积差，由勾股定理可求出直角边BC的长度，则能求出S△ABC，要求圆的面积，则需求⊙O的半径OD或OE、OF．连接OA、OB、OC，则把△ABC分成三个三角形，即△OAB，△OBC、△OCA，则有S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA，从中可求出半径．
解：如图连接OA、OB、OC，则△ABC分成三个三角形，△OAB、△OBC、△OCA，OE、OF、OD分别是三角形各边上过切点的半径．
∴S△OAB＝ AB?OF，S△OBC＝ BC?OD，S△OCA＝ CA?OE．
∵S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA，
∴ AC?BC＝ AB?OF＋ BC?OD＋ CA?OE．
∵OD＝OE＝OF，
∴AC?BC＝(AB＋BC＋CA)?OD．
在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝12，由勾股定理得BC＝5．
∴12×5＝(12＋13＋5)?OD．
∴OD＝2．
∴S阴影＝S△ABC－S⊙O＝ ×12×5－π?22＝30－4π．

第4章统计估计
4、1 总体与样本
教学目标
了解总体、样本、样本容量及简单随机样本的概念，理解怎样才能获得简单随机样本。
重难点、关键
1．重点：总体、样本、样本容量及简单随机样本的概念．
2．难点：怎样才能获得简单随机样本．
3．关键：理论联系实际．

教学过程
一、动脑筋：
1、 P117 页的三个问题
2、电灯泡厂检查一批灯泡的使用期限，其方法是给灯泡连续通电，直到灯泡不亮为止。显然工厂不能这样一一检查每个灯泡，而只能从中抽取一部分（比如50个）灯泡进行检查，然后用用这部分灯泡的使用期限，去估计这批灯泡中每个灯泡的使用期限。
一般地，与所研究的问题有关的所有对象组成一个总体，其中每一个对象称为个体，一部分个体组成一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。
如上题中，我们把这批灯泡中所有灯泡的使用期限的全体看成总体，其中每一个灯泡的使用期限就是个体，被抽取进行检查的那部分灯泡的使用期限的集体，就叫做总体的一个样本。
例1 为了解某地区初中二年级学生的身高情况，有关部门从初二年级中抽200名学生测量他们的身高，然后根据这一部分学生的身高去估计这一地区所有初二年级学生的平均身高。说出总体、个体、样本和样本容量。
总体是指这个地区初二年级每个学生身高的全体。
个体是指每个学生身高。
抽取的200名学生的每个的身高组成一个样本。
样本容量是200。
例2 要了解一片水稻田里所有单株水稻的产量情况，从中抽取400株水稻单株产量，然后用这个单株产量去估计这片田里所有水稻的单株产量。说出总体、个体、样本和样本容量。
总体是指这片水稻单株产量的全体。
个体是指每株水稻的产量。
抽取的400株水稻单株产量组成一个样本。
样本容量是400。
二、简单随机样本
我们在选取样本时，应该使总体的每一个个体有同等的机会被选中，这种样本称为简单随机样本。
怎样才能获得简单随机样本？
例P118 某市有2000名15岁的男孩，想了解这些男孩的身高状况，从中抽取100名组成一个简单随机样本，应该怎样抽取？
用抽签的方法或利用计算机的随机数发生器来获取简单随机样本。
三、做一做书P119
四、学生练习P119 1、2
小结：本节课的主要内容是什么，请你说一说？
作业：P119—120A、B组
教学后记：

4.2 用样本估计总体

一、素质教育目标
（一）知识储备点
1．知道抽样调查的合理性．
2．知道当样本越大时，对总体的估计越精确．
3．会用样本去估计总体，体会用样本去估计总体的思想．
4．能通过实验明确不同样本对总体的估计值也不同．
5．平均数与方差．
（二）能力培养点
进一步培养收集、分析实验数据的能力．
（三）情感体验点
通过对样本数据的分析处理感受到数是描述现实世界的重要手段，培养学生良好的学习品质．
二、教学设想
1．重点：抽样调查的科学性及用样本去估计总体．
2．难点：用样本去估计总体．
3．疑点：抽样调查的可靠性．

（二）教学流程
1．情境导入
书P120 说一说．
2．例1 某工厂生产了一大批产品，从中随机抽取10件来检查，发现有一件次品。试估计这批产品的次品率。
解：（略）
小结：对于简单随机样本，可以用样本的百分比去估计总体的百分比（收视率、次品率、合格率等）
3．合作探究
例2 书P121
题目略（投影出示身高与人数的数据表格）
请同学们分别算出每个样本的平均数、方差，然后估计总体的平均数、方差。
小结：对于简单随机样本，可以用样本的平均数去估计总体的平均数；用样本的方差去估计总体的方差。
问：样本容量对估计总体的平均数、方差有影响吗？
生：（讨论、交流）个体数目越多，越接近样本．
明确通过具体问题中的样本，发现用样本是可以去估计总体，并且，样本中个体越大，越容易认识总体的真面目．
师：1、学生自学书P122 读一读，了解无偏估计
2、例2中，总体方差的估计值为58。79，这个数据的含义是什么？

4．达标反馈
书P123 练习 1、2
5．学习小结
通过本节课的学习使我们知道利用随机抽样得到的样本的百分比、平均数、方差与总体相应的特征接近，只是样本越小，差异越大，样本越大，就越接近总体．
（三）拓展延伸
1．链接生活
收集本班全体同学的体检表，请用简单的随机抽样的办法抽取三个样本，个体分别为5，15，25人，来调查患有龋齿的比例，比较一下哪个样本的比例更接近全班同学中患龋齿的比例．
2．巩固练习
你认为用简单的随机抽样方法选取的样本，其平均数是否可能等于总体的平均数？你相信简单的随机抽样方法调查得到的结果吗？为什么？
（四）小结：本节课的重点是什么？你还有什么不懂的地方吗？
课外作业：书P123—125
教学后记：

作者: 理辉 时间: 2012-11-29 22:43
为何无图?为何不能下载？

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