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标题: 新课程理念下的创新教学设计-初中数学 [打印本页]
作者: 李甫田 时间: 2008-8-5 23:31
标题: 新课程理念下的创新教学设计-初中数学
第一章 初中数学教学设计的概念与模式第一节 数学教学设计的基本含义初中数学教学是一个复杂的动态系统，如何使系统中的各个组成要素（如教师、学生、教学方法、教学手段及教学内容等）组成最佳结构序列，充分发挥各自的作用，提高教学效能，是研究教学设计的主要任务。
教学设计作为教师进行教学的主要工作之一，对教学工作起着先导作用，它往往决定着教学工作的方向；同时，教学设计的技能作为教师专业发展的重要内容，已成为教师从师任教必备的基本功。
关于教师教育的最新研究成果表明，教师的教学能力包括教学设计能力、教学实施能力、教学反思能力三个方面。
教学设计能力是指教师综合运用各种知识和技能，根据课程标准的要求，针对学生的实际，设计体现一定理念的教学的能力，包括掌握和运用课程标准的能力，理解和选择设计理念的能力，分析和调整教材的能力，了解学生的能力，制定教学计划的能力，编写教案的能力等等。
教学实施能力是指教师在一定的教学时空，积极有效地实施所设计的教学计划，并能根据具体情况控制教学情境生成教学活动的能力，包括把握教学目标，灵活运用教学方法，组织课堂教学，创设教学情境，教学机智等等。
教学反思能力是指教师运用一定的教学理念，对自己的教学实施进行分析评价，发现问题，查找原因，进行反馈矫正的能力，包括把握学生的课堂表现，收集教学实施的有关资料，分析整理相关资料，运用分析结果反馈矫正等等。其中，教学设计能力和教学实施能力是教师的基本能力，是教师教学能力的基础，而教学反思能力则是教师教学能力的核心和进一步发展的关键。
一、教学设计的内涵及其基本特征关于教学设计的定义，国内外学者分别有不同的阐述，比较典型的观点为：
教学设计是指运用系统方法，将学习理论与教学理论的原理转换成对教学资料和教学活动的具体计划的系统化过程。（史密斯，雷根，1993）
教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程。（乌美娜，1994）
教学设计是运用系统方法，将学习理论与教学理论的原理转换成对教学目标（或教学目的）、教学条件、教学方法、教学评价等教学环节进行具体计划的系统化过程。（何克抗，2001）
综观这些定义，它们有一个共同点：
教学设计是以教学理论、学习理论和传播理论为基础，运用系统方法分析和研究教学需求，设计解决教学问题的方法和步骤，形成教学方案，并对方案实施后的教学效果作出价值判断的规划过程和操作程序。其目的是优化教学过程，提高教学效果。
从上述定义中不难发现，教学设计具有如下基本特征：
（1）教学设计的理论基础是教学理论、学习理论和传播理论。其中，教学理论是教学设计的“内核”，系统理论和传播理论构成教学设计的“形式”。①
（2）教学设计是解决教学问题的科学方法。
（3）教学设计是操作和规划教学活动的程序和过程。
（4）教学设计是以反馈评价对教学效果进行价值判断。
（5）教学设计是一门理论和实践兼备的应用性学科。
初中数学教学设计，作为以初中数学教学为主要内容的一种特殊的教学设计活动，具备教学设计的一般特征，同时具有数学教学的学科特征，以及初中教育的独特规律。把握初中数学教学的特殊规律，遵循教学设计的一般规律，进行初中数学教学设计，是初中数学教学工作者的一项基本功。
二、初中数学教学设计的基本内容和设计过程根据初中数学教学设计的概念可知，初中数学教学设计的基本内容包括：
（1）分析教学需求，确定教学目标（教什么），亦即教学目标设计。这是教学设计的关键所在，通常须要分析和设计学习背景、学习需求、学习任务。
（2）设计教学策略（如何教），亦即教学策略设计。在设计时，从整体把握教学策略，融会贯通地理解和运用多元化的教学策略，根据学生的实际状态，创造性地组织教学，设计出具有特色，符合教师自身特征及实际教学背景的教学策略。
（3）进行教学评价（教得如何），亦即教学评价设计，主要有四种比较典型的教学评价模式：决策性的评价模式，研究型的评价模式，价值性的评价模式，系统性的评价模式。
对以上内容的研究是初中数学教学设计的基本任务，如何运用这些内容和方法来解决教学问题就是初中数学教学设计的实施过程。
一般地，进行初中数学教学设计首先要对学习需要、学习内容、学习者、学习目标等几个要素进行分析。这里着重介绍学情要素分析。
1. 学习需要分析
学习需要是指初中生目前的状况与期望达到的状况之间的差距。分析学习需要的主要目的在于：
① 发现教学中存在的问题。
② 分析问题产生的因素，以确定初中数学教学设计能否解决。
③ 分析现有资源及约束条件，以论证解决问题的可行性。
④ 分析问题的重要性，确定优先解决的问题。
通常情况下，分析学习需要的方法有内部参照分析法和外部参照分析法。
内部参照分析法是以学习者所在的组织机构内部已经确立的教学目标为参照标准，来考查学习者与之的差距，从而确定学习需要的一种分析方法。采用内部分析法确定学习需要一般有以下几种渠道：
① 设计测试题、问卷等让学生回答，通过对其结果的统计、分析来获取期望的信息。
② 查阅学生近期的学业成绩和表现记录材料。
③ 对与学生有密切关系的人员进行访问和座谈。
外部参照分析法是指根据社会需求为参照标准，考查学习者与之的差距，从而确定学习需要的一种分析方法。这种方法在初中数学教学设计中偶有使用。
2. 初中生特征分析
初中生作为教学过程的主体，需要通过积极主动的学习，获取丰富的知识、技能和行为经验，完成学习过程。初中数学教学设计是针对教学中的问题而设计，但最终目的还是为了解决这些问题。因此，分析初中生特征就变成初中数学教学设计工作中非常必要和重要的环节。对初中生的分析包括一般特征分析、学习风格分析和初始能力分析。
初中生的一般特征是指初中生的先天因素与环境、教育相互作用下形成的，对学生产生影响的生理、心理以及社会等方面的特点。它涉及初中生的年龄、性别、心理发展水平、学习动机、人格因素、生活经验以及社会背景等诸多方面，了解这些内容对初中数学教学设计很有帮助。对学生一般特征的分析方法主要是观察法、调查法、查阅文献法等。学习风格分析、初始能力分析一般侧重于对学生个性化学习情况进行分析。
总之，现代意义下的教学设计更多地强调围绕学生的“学”而设计，通过创设恰当的情境，让学生实现有意义的建构，让学生进行再创造。从而，教学不再被看作纯客观知识的传递过程，也不再是一种完全按照事先确定的步骤进行的固定程序，而主要是学习者的再创造过程。教师对学生在学习过程中产生的错误采取较为容忍的态度，并通过师生的共同努力和学生积极、主动的参与，消除错误，获得理解性的掌握和全面的发展。
作者: 李甫田 时间: 2008-8-5 23:39
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第一章 初中数学教学设计的概念与模式
第二节 初中数学教学设计的常用模式
进行初中数学教学设计受一定的教学理论、心理学理论的影响。但是，通常情况下，初中数学教学设计的一般模式如图１-１所示。
图１-１ 初中数学教学设计过程的一般模式
一、初中数学教学设计模式的基本类型
从目前国内外教学设计的研究成果来看，教学设计的模式主要有三种典型类型：以 “教”为中心的教学设计模式，以 “学”为中心的教学设计模式， “主导—主体”教学设计模式。国内数学教育工作者①提出的数学主题式教学设计的模式，值得借鉴：
数学主题式教学内容是通过需要探究的挑战性问题来呈现的；学习内容是通过问题的探究和自主学习获取的；教学形式是通过交流合作与对话来体现的；教学目标是通过 “教学逻辑”与 “学习逻辑”接通 “知识逻辑”与 “认知逻辑”实现的。主题式教学设计依从诊断与处方式教学的基本理念，因为主题是教学行为与学习行为诊断的主题，也是围绕问题解决 （即 “开处方”）的主题。为体现数学教学的中轴，主题式教学设计的基本理念应指向 “基于问题解决学习”的教学设计。这一基本理念的外延可具体涵盖以下五个方面的内容：
（１）基于 “丰富资源学习”的教学设计。数学主题式教学设计应通过有效教学问题展示教学主题，以此扩充教学信息量，扩充学习领域。为此，课堂教学设置的主题应当能确保教学内容的广度和深度。淡化教学形式，注重教学实质，就是这一基本理念的宗旨。
（２）基于 “项目研究学习”的教学设计。教学主题不是由教师单方面设置的特定知识体系的载体，它应当是教师与学生双方面在共同探索与发现中形成的，它须要共同选择、组织材料信息，并从研究中共同得到发展。教学主题应当是具有拓展性与研究性的课题，也是能引发师生共同关注的话题。
（３）基于 “师生对话学习”的教学设计。数学主题式教学设计强调师生围绕教学主题而互动，主张教学方式应由传统讲授法中教师“讲话”、学生 “听话”的教学方式转换成师生或生生平等 “对话”的教学方式。
（４）基于 “真实情境学习”的教学设计。数学主题式教学设计强调数学理论知识与现实生活或真实世界的联系，关注抽象数学与人类生存、社会发展密切相关的重大问题，使间接经验的学习由直接经验作支撑。具体地说，创设有效问题情境是遵从这一基本理念的具体体现。
（５）基于 “缄默知识学习”的教学设计。数学教学既要关注可以言传的明显知识的学习，更要关注只能意会的缄默知识的学习，前者的容量远远少于后者，后者隐含于教学情境之中，教学的功用在于感染与浸润。这一基本理念是主题式教学设计思想的特殊性表现，它能引发学生 “思维场”情境的生成，促成学生由 “学会”向 “乐学”、“会学”转化。
二、新理念下的初中数学教学设计
在新理念下，数学教学是教师引导学生进行数学活动的教学。教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极从事自主探索、合作交流与实践创新。
因此，在初中数学教学活动中，教师的重要职责在于：
（１）根据学生的实际，创造地使用教材，让学生经历数学知识的形成与应用过程。
（２）根据学生的认知特点和所学知识的特征，灵活采用多种教学形式，促进学生有效地学习。
（３）细心观察学生的表现，反思自己的教学行为，及时改进教学。
（４）对于教材中需要学生完成的任务，如归纳法则 （方法）、描述概念 （定义）、总结所学内容结构等，应首先鼓励学生通过独立思考与合作交流去给出答案，教师则在学生充分活动的基础之上介绍规范的表述，但不宜要求学生都机械记忆规范的表述。
新理念下的初中数学教学设计，是指对整个数学教学活动所作的系统策划，是把一般的教学理论应用于数学教学实践的过程，是以学习者的学为出发点，遵循学生数学学习的内在规律性，站在学习者的立场上进行数学教学目标的确定、教学策略的选择、教学媒体的应用、教学过程的描述等过程。
总之，新理念下的初中数学教学设计是以学生为中心，围绕着学生在数学学习过程中遇到的学习问题而展开的教学设计，这种设计有利于提高教学效率和教学效果，促进基础教育课程改革的实施。
新理念下的初中数学教学设计，是围绕如何有效促进学生数学学习而实施的一种设计，是数学学习理论和数学教学理论与实践之间的桥梁，是教师提出创意和决策的过程；是运用系统方法分析和解决数学教学中的问题的过程，具有鲜明的目的性，科学的计划性和有序的系统性，而不是一般的教学经验和案例；是不断循环往复的过程，包括检测、反馈、修正及再实施的认识深化过程，在这个过程中，特别讲究科学性和创造性。
必须明确，实施新理念下的初中数学教学设计，目的在于帮助学生更好地进行初中数学学习，完成学习任务。为此，教学设计要体现学生数学学习的自主性，这是核心问题；教学设计要体现情感性，注重育人功能；教学设计要让学生有更多的机会应用所学的知识，并广泛挖掘和运用各种教学资源；尤其要克服教学目标分析中的 “知识结果中心”倾向，学习分析中的 “教材中心”倾向，和教学策略制定中的 “教师中心”倾向。
１?初中数学教学设计的内容
新理念下的初中数学教学设计可以包括：
（１）教学目标。
在新理念下，教学目标一般包括过程性目标和结果性目标两个方面，也可以进一步细分为知识技能，数学思考，解决问题，情感态度等多方面．
（２）任务分析。
进行任务分析的重点在于关注几个要点：
—是关注学生的起点；二是关注学生主要的认知障碍和可能的认知途径；三是分析教学内容的重点、难点和关键；四是研究达成目标的主要途径和方法．
在这里，有两个问题十分重要：第一，要关注学生的经验基础，第二，要正确认识教材。对于前者，意味着不仅要考虑学科自身的特点，更应遵循学生学科学习的心理规律；要把学生的个人知识、直接经验和现实世界作为初中数学教学的重要资源。
对于后者，意味着要 “用教材教，而不是教教材”。创造性地使用教材是本次新课程对我们提出的新要求，教材是极其宏观性的一个蓝本，覆盖着非常广阔的时空，主要对教师教什么、学生学什么起到指向作用。但教材仅仅是教师组织数学课堂教学活动的素材，是学生进行数学学习的平台。新理念下的教材给教师留下了比较大的创造空间，进行任务分析，就必须改变 “以教本为本处理教材”的现象，根据学生实际、教学实际和当地实际，模拟教材，重组教材，编制教材，削减技巧性训练，增加其探索性、思考性和现实性的成分，为实施开放式、活动式的探究、合作、参与等新型学习方式创造条件。事实上，对初中生来说，喜好数学问题，对有关的数学活动充满好奇心，这是进一步学习数学的首要前提和发展动力。
（３）教学思路。
主要考虑具体的教学过程，包括创设的情景、活动的线索、学生可能提出的问题，可能的情况下必须附设计说明。
（４）教学反思。
主要针对如下一些问题开展反思：
是否达到预期目标？如果没有达到，分析其原因，并提供改进的方案。有哪些突发的灵感，印象最深的讨论或学生独特的想法？哪些地方与设计的教学过程不一样，学生提出了哪些没有想到的问题？为什么会提出这些问题？
２．初中数学教学设计的步骤
对于初中教学实际来说，进行教学设计可以遵循如下基本步骤，完成如下主要内容：
（１）评测学生需求，识别教学目标，进行目标分析，设计目标要求。
在新理念下，课堂教学目标不再停留在以往仅仅关注知识技能等结果性目标，而是全面考察过程性目标和结果性目标。例如，对数学而言，要将教学目标细化为知识技能、数学思考、解决问题、情感态度与价值观等多方面的具体目标。
（２）识别师生的入门行为，分析学生的学习情况与教学环境，撰写行动目标，进行任务分析。
特别要明白学生的起点是什么；在达到可能的学习目标时，学生主要的认知障碍和可能的认知途径是怎样的；学生达成目标的主要途径和方法又是怎样的。
（３）设计教学思路和实施步骤。
也就是设计具体的教学过程，尤其要考虑创设哪些具体的情景，通过哪些线索开展教学活动，学生可能提出哪些问题等等，并附设计说明。
在新理念下，数学教学设计一般可以按照如下基本环节进行：
问题情境———建立模型 （即得出有关的数学概念、法则、定理等结论）———求解与解释———应用与拓展———回顾与反思。
（４）开发评测工具，设计并从事规范化评估。
为了达到既定的教学目标，教学设计时，必须考虑评估学生应达到教学目标的具体标准是什么，通过哪些指导性策略和具体的指导性材料能够促进和改善学生的学习行为。
（５）设计与从事综述性评估，进行教后反思。
总之，在新的教育理念下，初中数学教学设计是一个学习和研究的过程。一个成功的教学离不开成功的设计，只有充分地酝酿、思考、驾驭教材，引导学生，才有可能使我们的教学精彩纷呈，高潮迭起。
按照新的教育理念进行初中数学教学设计，要按照知识技能、过程方法以及情感态度与价值观等不同方面设计教学目标，考虑短期目标、长期目标、更长目标；要将新的数学观，数学与其他学科的综合性体现在具体的内容之中；要按照知识科学性、知识体系、编排特点、知识深度设计数学知识，要充分利用生活、经验、情境、问题、背景，精心设计问题情境和教学过程，关注学生数学学习的兴趣，关注自主实践、合作探究与传统学习方式的融合与优化。
作者: 李甫田 时间: 2008-8-5 23:46
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第一章 初中数学教学设计的概念与模式
第三节 初中数学创新教学设计的几个要点①
在新的课程理念下，进行初中数学创新教学设计要注意初中数学各个不同领域关注点的变化。只有这样，才能体现新的理念，将新的理念物化到具体的教学环节，进而在课堂活动中物化为具体的课堂教学行为。
一、数与代数领域
在新的课程理念下，在数与代数领域进行初中数学创新教学设计，要关注如下几个方面的变化和发展：
１?突出从实际问题情境中抽象出代数模型的过程
初中生的学习对象已由具体的数发展为抽象的数学符号，他们将研究刻画现实世界数量关系的方程、不等式和函数。内容的呈现可以采用 “问题情境———建立模型———求解与解释———应用与拓展———回顾与反思”的方式，让学生在分析问题中获得数学概念以及解决问题的方法、技能和科学态度，而不是直接呈现解决问题的算法与结果。例如，在引入一元二次方程内容时，可以采用类似下面这样具有实际背景的例子，组织学生进行讨论，获得 “一元二次方程”的模型。
［例１］ 一个长为１０ｍ的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为８ｍ。梯子的顶端下滑１ｍ 后，底端将水平滑动１ｍ吗？
２?对于重要的公式、法则和规律，教学设计的素材呈现方式应有利于学生主动探索和交流
初中阶段出现的运算公式、法则比较多，它们的引出都应在尝试、猜测、推导之后加以总结，概括。教学设计要为学生提供自主探索的机会。
教学设计过程还应重视呈现那些针对数学规律进行探索，并用代数式表示规律的内容，这样，可以使学生在自主探索的过程中更好地理解代数式的意义和作用，并促进学生数学思维能力的发展。
［例２］ 探索规律。
（１）计算并观察下列每组算式。
（２）已知２５×２５＝６２５，那么２４×２６＝？
（３）你能举出一个类似的例子吗？
（４）从以上的过程中，你发现了什么规律？你能用语言叙述这个规律吗？你能用代数式表示这个规律吗？
（５）你能证明你所得到的规律吗？
３?编排例题、习题时要注意设计一定数量的应用性、探索性和开放性的问题
例题和习题的配备数量和难度都要适当，可有层次区分，例如，分为基本题和选作题两类。例题要有良好的示范性，单纯地巩固法则、公式、算法的题目要精简，每节习题的量要适当，以利于学生独立思考，避免学生学习负担过重。
习题不只是单一的常规训练题，各部分都适宜编入一些具有现实背景的问题、开放性问题和探索规律的问题，以发展学生思维的广阔性、灵活性和创造性。
［例３］ 在一个长５０ｍ，宽３０ｍ的矩形空地上，建造一个花园，要求种植花草的面积是整块空地面积的７５％，请给出你的设计方案。
４?代数式、方程、函数内容的编排适宜螺旋式推进
根据学生心理发展的特点和认知结构的变化，初中阶段的代数式、方程、函数内容可以在三年的教学设计中交叉编排，体现不断深化的过程，而不宜过于集中。具体到一节课的教学设计，代数式、方程、函数的内容设计要注意承上启下，多次反复，要注意过程性的和前后联系的内容的呈现。这样做有利于学生不断加深对字母表示数、方程思想和函数思想的认识，使学生逐步学会用数学的符号和语言刻画简单的具体问题，发展建模能力和应用意识。
５?发展学生的估算意识，重视使用计算器
初中阶段应加强近似计算的有关内容，使学生知道什么时候需要近似计算以及近似的程度。例如，在现实生活中，无理数常常用它的近似值来表示和进行计算，因此，当教学设计中涉及实际问题的解是无理数时，应根据实际需要选择使用近似值来作出解答。
学生的口算、笔算在小学阶段已受到较为全面的训练。进入初中阶段，数值计算的复杂程度不断增大，数的开方、近似计算、探求规律方面都较重视计算器的作用，计算器的乘方运算、开平方运算的操作方法在具体问题求解时进行介绍即可，不必单独成为一个独立的教学单元。
６?把握 《全日制义务教育数学课程标准》的基本要求，赋予教学设计一定的弹性
《全日制义务教育数学课程标准》所列出的目标是全体学生都应达到的基本要求，教学设计编写必须明确这些基本要求，不要任意拔高，以确保基本要求的实现。
例如，对整式的因式分解，由于对分式方程和二次方程的解法只要求讨论简单的情形，所以，对因式分解只要求掌握提公因式法和直接运用公式 （平方差公式，两数和的平方公式）进行简单整式的因式分解，不要求过高的技巧，也不要求分组分解法和十字相乘法。
由于各地区、各学校以及学生个人之间存在着不同程度的差异，所以，教学设计应有弹性，可根据实际情况编入一些选学内容，也可编入一些有地方特色的材料。不过，增加的内容应注重数学思想方法，注重学生的发展，有利于学生认识数学的本质与作用，增强对数学的学习兴趣，而不应该片面追求解题的难度、技巧和速度。
７?向学生介绍有关的数学背景知识
例如，正负数、无理数的历史；一些重要符号的起源与演变；与方程及其解法有关的材料；函数概念的起源、发展与演变。
二、空间与图形领域
１?素材的选取宜注意选择那些具有现实背景的、有趣的、富有挑战性的，同时有丰富的数学内涵的内容
空间与图形的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中有着极其广泛的应用，因此，教学设计应尽量以现实世界中有关空间与图形的问题作为学习素材。例如，变换的研究对象不仅包括长期以来人们所习惯的标准的几何图形，而且包括丰富多彩的现实世界中的二维、三维图形。充分选择和展现具有现实背景、能够体现变换思想的素材，将是这部分内容教学设计的重点。例如，在安排轴对称内容时，可以选择徽标、枫叶、雪花等现实的图案为研究对象，可以设计 “利用简单的图案，选择不同的对称轴设计对称图案”等数学实践活动，也可以选择一些有趣的问题作为素材。
［例４］ 某汽车的车牌被前面的物体挡住，但从地面的水面上可以看到车牌的影子。你能从影子中确定该车的牌照号码吗？
在教学设计中，不仅要展现对称 （二维图形的对称和三维图形的对称）给人的视觉上的美感，而且应当反映其中的一些科学道理 （例如，飞机、轮船的对称能使飞机、轮船在航行中保持平衡；建筑上的对称多半是为了美观，但有时也考虑到使用上的方便和受力平衡等问题）。
２．内容的呈现要突出对实践活动过程的体验和几何活动经验的积累
空间与图形的学习过程，包括对图形的观察、操作、归纳和类比等大量实践活动。学生空间观念的培养，推理能力的发展，对图形美的感受，几何发现等都是在数学实践活动中进行的。因此，教学设计中，应特别注意突出实践活动的过程和活动经验的获取，教学内容的呈现可以通过设置问题情境，提出问题，得出猜想，最终形成命题并进行必要的证明，从而让学生体验知识的产生和发展过程。这样，既能够提高学生的兴趣，也能够使他们体会定理的形成过程及证明的必要性和价值。图形与变换的内容包括用变换研究图形的性质，用变换认识、解释现实世界中有关现象，以及利用变换设计图案等过程。教学设计要充分设计多种实践活动，使学生体会利用图形变换能够更好地认识图形与现实世界的广泛联系，积累运用变换的方法解释或处理实际问题的活动经验。
３?选择图文并茂、形式多样的呈现方式
多彩的图形是这部分内容学习的重要素材。教学设计应该增加插图，做到图形与启发性问题相结合，图形与必要的文字说明和推理论证相结合，数与形相结合，计算与推理相结合，充分发挥图形直观与坐标表示的作用，使教学设计案例图文并茂，富有启发性。
内容的呈现方式应当多种多样。例如，在编写 “图形的放大或缩小”教学设计时，可以利用图形之间的相似关系，也可以利用坐标的方法。注重教学设计呈现方式的多样化，可以激发学生的兴趣，丰富学生对内容的理解。
４?重视数学史料的作用
几何有着丰富的历史和文化内涵，结合具体的定理介绍一些相关的数学史实是十分必要的。这些材料一方面可以充实教学内容，激发学生学习几何的兴趣；另一方面也有助于学生对几何发展过程的了解，体会数学的文化价值。可以通过以下线索，向学生介绍有关的数学背景知识。
（１）适时介绍欧几里得的 《原本》，使学生初步感受几何演绎体系对数学发展和人类文明的价值。
（２）穿插介绍勾股定理的几个著名证法 （如欧几里得证法、赵爽证法等）及其有关的一些著名问题，使学生感受数学证明的灵活、优美与精巧，感受勾股定理的丰富文化内涵 （如本书第二篇第四章案例４）。
（３）简要介绍圆周率π的历史，使学生领略与π有关的方法、数值、公式、性质的历史内涵和现代价值 （例如π值的精确计算已成为评价电脑性能的最佳方法之一）。
（４）结合有关教学内容介绍古希腊及古代中国的割圆术，使学生初步感受数学的逼近思想以及数学在不同文化背景下的内涵。
（５）作为数学欣赏，介绍尺规作图与几何三大难题、黄金分割与斐波那契数列、哥尼斯堡七桥问题等专题，使学生感受其中的数学思想方法，领略数学问题、数学命题和数学方法的美学价值。
５?把握 《全日制义务教育数学课程标准》的基本要求
《全日制义务教育数学课程标准》中列出的目标是面向全体学生的，教学设计时应充分考虑这一点。处理变换内容时，不能照搬变换几何的理论，而是用变换的方法和思想处理图形问题，尽量体现变换的工具作用，而不是刻意追求对变换性质的研究，尤其是不刻意追求对变换性质的严格证明。
关于几何证明的内容是围绕三角形、四边形的基本性质而展开的，其中包括作为推理依据的几何概念和公理，以及由此推出的一些结论 （如 “三角形内角和等于１８０度”及 “三角形的外角等于不相邻的两内角的和”），这样做可以使学生更关注定理本身和证明的基本过程。
“图形与坐标”的学习重点是对坐标法的体会和简单应用，不要任意扩大范围和难度。例如，由已知顶点坐标求三角形、四边形的面积是指，在坐标系中用割补法处理图形。这样的处理形象直观，既联系学生的已有知识和经验，又体现出用坐标法求非常规图形面积的作用。在平面直角坐标系中探究图形之间的对称、平移和相似关系，主要运用点对称、点平移和三角形相似的判定来帮助理解。
６?教学设计要有弹性，给学生的发展提供足够的空间
考虑到学生的差异，教学设计的编写要体现一定的弹性，满足学生在 “空间与图形”内容方面的不同需求，使全体学生都能得到相应的发展。
“图形与变换”部分，不同地区、不同风格的教学设计者可以选择不同的实例 （例如，研究对称时，可以著名建筑物为对象，也可以生物学中的 “左右对称、辐射对称、球辐射对称等”为例），而且对内容的要求也要留有一定余地 （例如，对图案设计的要求应有弹性、在认识各种变换的过程中应选择多样的形式和渠道。如本书第二篇第二章案例８）。
“图形与论证”部分，根据学生发展的可能性，教学设计可以采用选学内容的方式，引导对学有余力的学生探索有关图形的其他性质，并要求给出适当的证明，使学生进一步体会证明的力量。
有条件的地区，可以在教学设计的某些环节引入计算机处理有关内容。例如，借助计算机可以探索图形的性质，可以做一个图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，可以利用坐标作图，可以从事图案的设计，可以展示丰富多彩的几何图形等，这将有利于发展学生的空间观念，进一步激发学生学习和探索几何的兴趣和热情 （本书第二篇第二章案例１３就是利用 “Ｚ＋Ｚ”教育智能软件的例子）。
三、统计与概率领域
１．选择具有现实意义、体现统计与概率思想方法的素材
统计与概率的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用。因此，教学设计中应提供足够的生活实例，着重于对现实问题的探索，理解概念的实际意义，解决一些实际问题。
现实生活中有多种渠道可以提供有意义的问题，我们要充分挖掘适合学生学习的材料，既可以从报刊杂志、电视广播、计算机数据库等许多方面寻找素材，也可以从学生的生活实际中选取。例如，有关学校周围道路交通 （运输量、车辆数、堵塞情况、交通事故等）状况的调查，本地资源与环境的调查，对自己所喜爱的体育比赛的研究，讨论有奖销售等问题。这样的素材能使学生更好地认识现实世界，对现实世界中的许多事情形成自己的看法，满足学生了解这个世界的好奇心。
［例５］ 调查学校附近一个人行横道的人流情况，就这个人行横道的安全和便利你能提出改进意见吗？分小组设计一个调查方案，然后以小组形式调查，并将调查和分析结果写成一个调查报告，在全班进行交流。
编写教学设计时，应当注意选取具有一定数学价值、能体现统计与概率思想的素材。第三学段中一个重要的方面是出现了样本的概念，通过对样本的分析来推断总体的特性。对这一思想学生比较陌生，教学设计中一定要选择来源于现实生活的、反映这一思想的素材，使学生在熟悉的情境中逐步体会和理解抽样的必要性。例如，可以通过在某一交通要道统计一个时段中某品牌汽车的流量和汽车总流量，来推断整个城市该品牌汽车占全部汽车的比例。学生还可以就“这个数据可靠吗”展开讨论，从中体会随机抽样的重要性。
２．内容呈现形式上要强调数据统计的过程和对事件发生概率的体验与刻画
学生只有投入到数据统计的过程中，才能更好地体会和理解数据统计的思想和有关概念，因此，这部分内容在呈现形式上要强调数据统计的过程，加强数学活动过程的展现，在活动过程中，自然地引入概念，使学生认识相应概念的意义和作用。例如，样本的概念和用样本去推断总体的思想是这部分内容的重点，也是学生学习的难点。教学设计不能仅仅以 “样本是……”的形式呈现这个概念，应把它放入数据统计过程中，使学生体会到面对一个实际问题，须要进一步收集数据时，一个非常重要的问题就是要考虑是否抽样。又如，频数分布图的制作不应只给出程序化的步骤，而要提供具有现实意义的背景，使学生在解决问题的过程中熟练频数分布图的制作方法。
［例６］ 针对本市１４岁学生最喜欢看的电影，一家报纸开展调查活动。为什么以下的样本不能较好地代表全体１４岁学生的意见？
（１）全市合唱团中所有１４岁成员。
（２）某一学校全体１４岁学生。
（３）周末１４：００～１５：００到某家影院访问所有遇到的１４岁儿童。
教学设计中可以在适当的地方提出一些问题来促使学生投入数据统计的全过程。例如，解决这个问题需要收集数据吗？需要抽样吗？如何选择合适的图表来展示数据？从这些数据中你能得到什么结论？你能证实和反驳这个结论吗？
教学设计的呈现方式要有利于学生对概率意义的进一步体会。例如，教学设计中可以设计 “分别投硬币１００次、１０００次、５０００次或更多次数的实验”，使学生对频率与概率的关系有所体会，有条件的地区在教学设计中应提供利用计算机模拟这个实验的素材。教学设计中还可以介绍历史上一些数学家所做的投硬币的实验数据，使学生进一步加深理解。
第三学段的学生主要借助数字、图形和数学符号等多种材料从事数学活动，因此，教学设计应当提供机会让学生利用列表，作树状图，制作面积模型，做实验，或者应用简单的计算等多种方法来获得事件发生的概率，在多样化的活动中，使学生体会概率的意义及其刻画方法。
３?教学设计要留给学生充分探索和交流的空间
初中阶段学生独立思考和探索的愿望逐渐强烈，并能在探索的过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法。教学设计时要注意体现这个特点，要留给学生充分思考的空间。所选题材和呈现方式要使学生能亲身参与对有关数据的收集、处理、分析、解释以及对可能性的探索和体验的活动，以此培养学生的参与意识和探索精神。
教学设计可以提供一系列开放性的问题，用多种多样的尝试与想法，提供大量供学生思考讨论的材料，使学生在探索的过程中进一步理解有关概念的意义。
教学设计可以通过安排课外活动、社会调查等为学生拓展探索的空间。例如，可以收集报纸、杂志、电视中公布的数据，分析它们是否是由抽样得到的，有没有提供数据的来源，是否可靠；全班合作，分别统计一本文学书和科普书一章中出现的最常见的１０个字的次数；查阅资料，请教专家，了解降雨概率的情况；等等。这样，学生就能将数学与社会相联系，把统计与概率当作了解社会的一个重要手段，并提高自己处理问题、解决问题的能力。
４?重视与其他领域的联系以及统计与概率之间的联系
教学设计应将统计与概率和其他领域的内容联系起来，从统计与概率的角度为比、分数、百分数、度量、图像等概念提供活动背景，在解决统计与概率问题时自然地使用其他领域的知识和方法，为培养学生综合运用知识解决问题提供机会。
同时，教学设计还应重视渗透统计与概率之间的联系。例如，通过实验数据用频率来估计事件概率的大小；通过样本的有关数据对总体的可能性作出估计；等等。
５．对专业化的术语要提供丰富的背景，尽量避免单纯的计算
这部分内容中出现了一些专业性术语 （如样本、频数分布、样本方差等），教学设计应为这些术语提供丰富的背景，使学生体会它们的意义，而不要给出形式化的定义。初中阶段还要通过一些实例，丰富学生对概率的认识，这些例子可能会涉及几何概型、互斥事件、独立事件等方面知识，但引入实例的目的在于开阔学生的视野，至于术语本身则无须出现。
计算样本方差、作频数分布图等都是重要的活动，但是要把它们放到问题情境中去，不能处理成纯计算和记忆公式的内容。在教学设计中，要尽量避免在没有实际背景的情况下给出已知数据，然后借助这些数据进行计算和作图表等内容。此外，对于这些处理数据的概念和方法，它们的目的是清晰地表达数据的特征，具体的操作步骤和公式是为这个目的服务的，学生没有必要死记公式和步骤，一招一式地进行仿效。在处理较为复杂的数据时，应要求学生使用计算器。
６?教学设计应为使用计算机、计算器提供可能
有条件的地区可以引入计算机和有关软件，用来提取数据，处理数据，模拟概率实验，等等，使学生将更多的精力放在理解数据统计的思想和理解概率的意义上。
７?向学生介绍有关的数学背景知识
例如，概率论的起源、掷硬币试验、赌金分配问题、布丰（Ｂｕｆｆｏｎ）投针问题与几何概率。
四、联系与综合领域
联系与综合实践领域在第三学段 （即初中）具体体现为课题学习。进行课题学习的教学设计宜特别关注如下几个问题：
１．教学设计应有利于学生了解所学知识的现实背景
初中阶段的知识与学生的生活经验有着更为广泛的联系，并具有更强的应用价值。根据这一特点，教学设计的编写应尽量结合实际，选取蕴涵丰富现实意义的内容作为学习素材，使学生了解所学知识的现实背景。这不仅有利于数学知识本身的学习，而且有利于学生认识数学知识的作用和价值。
２．设置综合专题，使学生探讨数学知识的内部联系和综合应用
初中阶段的教学设计中应适当地设置综合的学习专题，使学生从新的角度理解和探讨已经掌握的数学知识之间的内在联系，并体验数学知识和方法在解决问题中的综合应用。这些综合专题主要可以采用以下几种方式：
（１）综合相关的数学知识或方法；
（２）综合运用不同领域知识，通过探索的方式解决开放性的现实问题；
［例７］ 如图所示，矩ＯＢＣＤ的长是２，宽为１，Ａ是ＯＢ 的中点。一个球从Ａ点碰到ＢＣ 后反射到Ｆ 点，又从Ｆ点反弹到ＯＤ 边的Ｇ点，最后从Ｇ点反弹，恰好到Ｂ点。此时，ｔａｎ∠ＥＡＢ是多少？
如果球自中点Ａ沿上面的类似路径依次经三边三次反弹后，ｔａｎ∠ＥＡＢ满足什么条件能保证球回到ＯＢ 边上？
这是一个综合运用角、平行、相似、三角函数、可化为一元一次方程的分式方程等知识的问题，其答案为０.４，介于０.４与之间。
（３）利用不同的数学表达方式探索简单的数学规律。
综合专题的内容一般不能在一节课内完成，可以鼓励学生利用课外时间从事搜集资料、进行调查等活动，使他们通过实践来提高自己综合运用各种数学知识和方法解决问题的能力，并在此过程中加深对数学知识内部联系的认识。
例如，形数结合是一种非常重要的数学思想方法，它生动地展现了数学知识之间的内在联系，同时是数学知识综合运用的一种重要模式。在义务教育的不同学段，形数结合表现为不同的形式。为了使学生对形数结合有深刻的理解，可以在初中阶段的适当地方，设计一个形数结合的综合专题，从以下几个方面回顾形数结合的不同情况：
（１）回顾以前学过的有关形数结合的知识，例如根据平面规则点阵中点的排列规律，推导相应的整数列的和 （如１＋３＋５＋７＋…可表示为正方形点阵）；
（２）代数恒等式的几何意义，例如平方差公式等；
（３）运用坐标研究图形的有关性质；
（４）函数及其图像；
（５）运用面积模型获得一些事件发生的概率
作者: 李甫田 时间: 2008-8-5 23:48
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
第二章 初中数学教学设计的典型案例分析
课堂教学是落实基础教育课程改革的最终保障，恰当的教学设计决定着课堂教学的方向，教师的教育理念归根结底要通过教学设计落实到课堂教学之中，进行教学设计是教师从事任教的 “看家本领”。编写初中数学教学设计报告，是初中数学教学设计的主要成果之一，在初中数学教学设计中占有十分重要的位置。编写初中数学教学设计报告的格式，一般有课堂教案、表格、流程图等形式。采用课堂教案的方式编写的初中数学教学设计报告，一般包括：课题名称、年级、设计时间、课时、教学内容、教学目标、内容分析、教具准备、设计思路、教学过程、学生活动、评估方法、参考资料等。
一、新理念下的初中数学教学设计的关注要点
在新的教育理念下，进行教学设计，要关注如下几个基本环节：
首先，要正确把握新的教育理念，其核心部分是，数学教学是教师引导学生进行数学活动的教学；教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极从事自主探索、合作交流与实践创新活动；等等。
其次，在真正理解新理念的基础上，必须依据学生的实际，创造性地使用教材，让学生经历知识的形成、发生发展过程以及应用过程；对于教材中需要学生完成的任务 （如归纳法则 （方法）、描述概念 （定义）、总结所学内容结构等），首选鼓励和激励策略，即鼓励学生通过独立思考与合作交流去给出答案；而后，教师在学生充分活动的基础上，介绍规范的表述，而不宜要求学生都机械记忆规范的表述。
再次，根据学生的认知特点和所学知识的特征，灵活采用多种教学形式，促进学生有效地学习。
最后，根据课堂实际的实施情况，及时反思自己的教学行为，适时改进教学．
二、新理念下的初中数学教学设计过程例说
下面我们结合义务教育课程标准实验教科书数学七年级 《统计图的选择》①的实际内容，分析教学设计的具体过程和步骤。
１?第一步：评测学生需求，识别教学目标，进行目标分析，设计目标要求
对本节课来说，具体的教学目标表现为：
● 结果性目标
（１）通过比较三种统计图中获取的信息，体会三种统计图的特点。
（２）能根据不同问题选择适当的统计图展示数据。
● 过程性目标
（１）经历搜集、整理、分析数据、作出决策的活动过程。
（２）培养学生独立分析问题，处理数据作出决策的能力。
（３）体会数据来源于生活，又服务于生活的实际意义，培养学生关心生活、热爱数学的情感。
（４）培养学生以科学数据为依据分析问题，解决问题的良好习惯。
２?第二步：识别师生的入门行为，分析学生学习情况以及教学环境，撰写行动目标，进行任务分析
本节课是在小学统计图的基础上，对统计知识的一种延续与拓展。本学段的学习，更注重学生通过统计图获取大量信息的读图能力，以及通过收集数据、处理数据 （制图）的过程，体会统计对于客观合理地判断一件事情或决策、预测一件事情起到的积极作用。
本节课的教学意义不仅仅体现在学生对统计图知识的掌握，更应该体现在学生调查了解、查阅资料等收集数据的过程中，所表现出的积极探索、合作交流的学习精神，以及在正确选择、制作统计图的过程中培养出的决策意识与判断能力。由于这节课是初中统计的学习难点之一，如果没有恰当的问题情景，没有亲身体验的机会，学生很难真正理解统计的本意。因此，这节课可以采取以现实生活为实际背景，以学生活动为主线的教学形式。
学生活动大致分为四部分：统计图中获取信息；生活中收集数据；课堂上整理数据 （选择制作统计图）；根据统计作出决策。
３?第三步：设计教学思路和实施步骤
根据本节课的内容实际和学生实际，可以将本节课处理成课前活动和课堂活动两个环节。
● 第一环节：课前准备———社会调查 （提前一周布置）。
（１）以４人合作小组为单位，调查了解生活中各行各业、各学科中应用的各种统计图。例如，气象站发布的本市２００３年月平均降水量 （条形统计图）；学校卫生室对全校学生近视情况作的统计图 （折线统计图）；某商场１０月份各部门的月销售额 （扇形统计图）；等等。
目的：能从统计图中获取尽可能多的信息，体会统计图在社会生活中的实际意义，培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质以及与他人合作交流的意识。
（实际的教学效果表明，学生搜集的统计图丰富多彩，内容涉及各行各业，充分展现了学生走进生活感受数学的高涨热情。）
（２）收集数据：以４人小组为单位调查、收集生活中最感兴趣的一件事情的有关数据 （要求：必须通过实际调查收集数据，保证数据来源的准确）。例如，科技方面的 “美国先进军事武器”；家庭生活方面的 “家庭每月收支情况”；社会生活方面的 “青少年犯罪率”；学校生活方面的 “学校教师年龄段、学历问题、学生近视眼情况”等问题。
目的：在不受教师限制的情况下，学生对他们感兴趣的问题展开调查采访或查阅资料，经历搜集数据的过程，并在此过程中培养学生勇于探索、团结协作的精神。同时为课堂教学中统计图的制作作好数据准备，用来源于学生真实调查的数据制作自己的统计图，极大地激发了学生作图的积极性与主动性。
注意：在必要的情况下，教师可以对学生选择的调查对象方面给予一定的指导，使调查更有实效性。
● 第二环节：合作学习。
经过初步的学习，学生能够熟练掌握统计图的特点，因此，本节课并没有完全照搬教材 （指北京师范大学出版社出版的，课程标准实验教科书数学七年级，下同）内容处理，而是组织学生从调查所得的大量统计图中获取尽可能多的信息，从而自觉体会三种统计图的特点。将重点放在如何根据统计图的特点，数据本身的特点，以及研究问题的需要合理地选择统计图，并作出决策。
（１）情境引入。
各小组派代表展示自己调查得到的统计图 （可以是照片、资料，也可以是亲自仿制的），并解说从统计图中获取的信息及此统计图对于现实生活的实际意义 （选３～４个小组代表讲解）。
目的：培养学生从统计图中获取大量信息的读图能力，并通过亲身体验归纳总结三种统计图的不同特点，以及在现实生活中的实际意义。由此引出生活中已经广泛地应用了各种统计图，从而自然地导入课题。
（２）统计图的选择 （以下将教材作了适当改动）。
① 如果我想制作一个统计图，使它能够清晰地反映世界人口１９５７～２０５０年的变化情况，你认为应该选择哪种统计图？
② 如果我想制作一个统计图，使它能够反映２０５０年各大洲人口占世界人口的百分比，你认为应该选择哪种统计图？
③ 如果我想制作一个统计图，使它能够反映２０５０年各大洲人口的具体情况，你认为应该选择闹滞臣仆迹?/p>
④ 回想刚才小组展示的统计图，“豪门”内衣在五大城市销售量统计图，可以制作成扇形统计图吗？人们对网上事业的期望的统计图，可以制作成扇形统计图吗？
⑤ 你能不能谈谈应该怎样合理选择统计图？（学生先思考，再进行小组讨论，互相补充完善，并派代表回答）
［设计说明］以问题串的形式引导学生逐步深入地思考选择统计图的条件。前三个问题的设置旨在帮助学生体会要根据研究问题的需要、统计图本身的特点选择统计图，第四个问题的设置帮助学生体会数据本身的特点也是选择统计图时应考虑的因素。在以上四个问题的铺设下，问题⑤的设置起到归纳总结的作用。
（３）统计图的选择与制作。
学生根据小组收集到的感兴趣事件的数据，结合本小组制定的研究方向，小组讨论，选择哪种统计图展示数据最合适。
小组成员各自制作统计图 （组内互相交流协商、教师给予适当帮助）。
四人小组选出制作最好的统计图展示，并派代表讲解，最终对被研究的问题作出决策。
完成调查报告 （课堂时间有限，要求课后完成即可）。例如，调查青少年犯罪率，制成折线统计图，发现青少年犯罪率在逐年上升，因此得出决策：应加强青少年的普法教育。
● 第三环节：练一练 （参看教材课后 “随堂练习”）。
其中，１ （１）题制作统计图后，应引导学生对生活垃圾问题的思考，建立 “生活垃圾分类”及 “减少生活垃圾”等方面的环保意识，渗透数学教学的德育意义。
● 第四环节：课堂小结。
鼓励学生结合本节课的学习及课前的社会调查，谈自己的收获与感想 （学生畅所欲言，教师给予鼓励），包括三种统计图的特点，怎样选择统计图，统计对于合理决策的作用，社会调查时学到的课外知识及切身感受。
● 第五环节：布置作业。
（１）教材第１８４页第６题 （经过一周的调查搜集数据，制作统计图）；
（２）完成调查报告。
４?第四步：开发评测工具，设计并从事规范化评估
在上面的这节课中，旨在通过编制系列问题、系列活动，达到评估学生、调节教学节奏的目的。例如，在情景引入中，通过 “请同学们回想：你曾学过哪些统计图？你对统计图有什么样的认识？你认为它有什么用途”等问题评估和考查学生是否达到了学习本课的预期起点，通过课前批阅同学们在生活中搜集的统计图作业，通过课堂上有选择地请各小组代表展示所收集的统计图，通过 “你们的统计图是从哪儿搜集的，你能从中读取哪些信息”等问题，导入 “三种统计图的特点”。
５?第五步：设计与从事综述性评估，进行教后反思
在这节课的设计中，设计者较好地体现了 “问题情境———建立模型 （得出三种统计图的各自特点）———求解与解释———应用与拓广———回顾与反思”的过程。同时，设计者充分考虑课堂上的综述性评估的落实，例如，在 “统计图的选择与制作”的教学环节，教师通过五个问题串的设置逐步引发学生对统计图选择的思考，由此铺垫学生能够完全独立地总结归纳出第五个问题，而且结论的得出来源于学生的亲身感受。
实际的教学表明，此处必须留给学生充分的时间与空间去选择，制作，并且要培养学生对某个问题作出正确判断、合理决策的能力，使学生完整地经历 “调查了解———搜集数据———整理数据———作出决策”的活动过程，体会统计决策的含义。
实际的教学显示，学生的争论、交流形成本节课实际教学的一个小高潮，激发出学生思维的火花，学生对折线统计图的特点及其选择有了更深刻、清晰的认识，其效果远远高于教师对统计图知识的讲解和强化，起到预想不到的效果。
在执教后，任课教师赵老师对本节课堂教学中的不足作了如下反思：
（１）在小组讨论之前，应该留给学生比较充分的独立思考的时间，同时，避免让思维活跃的一些学生的回答代替其他学生的思考，掩盖其他学生的疑问。
（２）对小组讨论，教师还应该进一步加强适当的指导和适时的调控，包括知识的启发引导，学生交流合作中注意的问题，以及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
总之，数学教学设计是对传统的数学备课的进一步完善和发展。数学教学设计是教师在实施数学教学之前，对教学行为进行周密思考与安排的过程，是对教什么，如何教，学生如何学，要达到什么目标要求等教学要素进行系统地分析与认真研究的过程；是对如何达到教学目标，如何组织教学活动过程，以及在活动过程中将采取什么策略、方案进行的一系列系统的设计与安排。在新的教育理念下，初中数学教学设计的着眼点应放在如何创设恰当的问题情景，如何激发学生强烈的探究欲望上；应放在师与生、生与生之间的有效互动上；应放在如何更好地组织引导，激励学生进行自主学习、探究学习等数学活动上；应放在如何在数学知识与技能的学习过程中有效地实现过程与方法、情感态度与价值观等目标，进而达到 “三位一体”的效果上；应放在如何使学生真正理解数学知识上；应放在如何培养学生的探索意识、创新能力上。数学教学设计的过程，既是教学内容分析、学情分析的过程，也是数学教学目标分析的过程；既是教学策略设计的过程，也是教学过程的设计过程，同时也要关注教学反思的问题。
加强数学教学设计的研究，主动提高自己的数学教学设计能力，是促进自己的数学教师专业发展的必然而有效的途径。
作者: 李甫田 时间: 2008-8-5 23:55
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
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作者: 李甫田 时间: 2008-8-6 00:06
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
第三章 数与代数领域案例分析
案例１ 字母能表示什么①（之一）
一、课 题
字母能表示什么
二、教 材
义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，北京师范大学出版社）七年级上册第二章第一节。
三、学生知识现状分析
（１）已经学习过一些运算律，以及一些简单图形的周长、面积、体积的计算公式，其中出现过字母。
（２）数的范围已扩展到有理数。
（３）已经具备较简单的动手能力和初步分析问题的能力。
四、教学目标
（１）经历探索规律，并用代数式表示规律的过程。
（２）能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式。
（３）体会字母表示数的意义，形成初步的符号感。
（４）通过具体操作，实践、总结、归纳，以促进学生的自我创造，培养学生的动手动脑能力，提高学生分析、归纳的能力，掌握由特殊到一般的认识方法。
（５）创设恰当的问题情境，让学生主动参与，自觉地进行操作、思考、归纳和互相讨论，使符号感的获得成为学生研究的必然结果，使学生从中体会合作与成功的快乐，由此激发其积极的数学学习热情和主动探索的勇气。
五、教具、学具准备
投影仪、火柴棒。
六、教材分析
教学重点：
（１）通过操作，思考由特殊归纳一般的规律并用字母表示一般规律。
（２）理解字母表示数的意义，建立符号感。
教学难点：
用多种方法拆分正方形，多角度认识搭建的正方形图形，探索规律，体会字母表示数的意义。
七、教学过程
八、教学反思
本课首先复习了小学学过的运算律和一些图形的周长、面积的计算公式，在此基础上用由易到难的两个问题体现新课内容，在第２个问题中引导学生很好地运用了数形结合的思想来分析解决问题。在分析问题时，学生时而独立思考，时而互相讨论，时而动手实践，时而抽象思维，教师充分调动了学生的学习积极性，培养了学生观察、听、说、分析问题、解决问题等若干方面的能力。
本课内容较多且有一定难度，教师要合理安排好时间，在具体的、一定量的问题的讨论中，注意攻破难点。
在这一教学活动中，教师只是学生学习活动的组织者、引导者与合作者。
对于学困生，教师应以百倍的爱心和信心去帮助他们，尤其是在课堂内的点滴指导与呵护，教师要相信，他们的潜力更加无限。
九、点 评
《字母能表示什么》这节课的设计，力求体现新课程改革的理念。给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动，更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神、合作精神，鼓励学生大胆发表自己的意见，最大限度地调动了学生学习数学的主动性、积极性。从实施实际效果看，较好地完成了本节课的预定目标，并在数学学习活动中，使学生获得成功体验，在愉快的学习中建立自信心。
（执教：新疆乌苏市红星中学王学成；点评：昌吉州教研中心吴勤文）
作者: 李甫田 时间: 2008-8-6 00:11
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
第三章 数与代数领域案例分析
案例２ 字母能表示什么 （之二）
一、教学目标
（１）经历探索用代数式表示有关规律的过程，能用代数式表示以前学过的运算律和计算公式。
（２）感受代数思维的独特性，发展代数表达能力，进一步提高分析问题、解决问题的能力。
（３）进一步激发求知欲，培养乐于探索、勇于创新的精神和团结合作的习惯。
二、教材内容分析
教学重点：用含有字母的式子表示规律和计算公式及运算律。
教学难点：探索规律的过程和代数式表示规律的方法。
三、教具学具准备
学生自备一盒火柴。
四、教学过程设计
（一）创设情景，激发兴趣
教师利用游戏创设问题情景，利用好奇激发学生积极思维：
（１）每个同学随便想一个自然数，将这个数乘５减７，再把结果乘２加１４，算出结果，不要告诉任何一个人。
（２）无论你开始想的自然数是什么，按照上面的方法计算得到的数的个位数字一定是０。对吗？
（学生积极计算，而后惊讶，然后小声议论。）
（二）探究与合作
１．指导、探索
教师引导学生探索上面的问题，发现结论应该是：这个数的５倍与７的差的两倍，再加上１４，即这个数的１０倍。此即 “２ （５× 这个数 －７）＋１４”，根据分配率，它等于 “１０×这个数 ”。
２．创设新情景
教师出示第二个新问题。
如图１：
搭一个正方形需要４根火柴棒。
（１）按图１的方式，搭２个正方形需要多少根火柴棒？搭３个正方形需要多少根火柴棒？
（２）搭１０个正方形需要多少根火柴棒？
３．操作、发现
教师引导学生先独立探索，再合作交流。
学生拿出自己带的火柴棒，通过操作，积极探索。
有的学生在第 （１）问的基础上探索第 （２）问的规律。
教师巡视指导。
４．出示进一步的问题
问题：如果搭１００个这样的正方形需要多少根火柴棒？你还能猜出吗？
学生以小组为单位，进行观察，尝试，探索方法，而后全班交流。
思路１：我们小组认为共需要３０１根火柴棒，在用火柴棒所搭正方形的图形中，把它们分解成图２的形式，所以共需要 （３×１００＋１）根。
思路２：在用１００根火柴棒所搭正方形的图形中，上面的一排和下面的一排各用了１００根火柴棒，坚直方向用了 （１００＋１）根火柴棒，所以，共用了 （１００＋１００＋１００＋１）根火柴棒。
思路３：在用火柴棒所搭正方形的图形中，只有第１个正方形用４根，后面的都用３根，所以共需要 （４＋９９×３）根。
思路４：把每一个正方形都看成是用４根搭成的，然后减去多算的根数，就得到 （４×１００－９９）根。
……
５．出示一般问题
问题：如果用ｘ表示所搭正方形的个数，那么，搭ｘ个这样的正方形需要多少根火柴棒？
教师巡视，指导，学生继续分组探索，交流，而后借助投影仪进行大班汇报。
思路１：根据我们小组刚才的算法，应需 （３ｘ＋１）根。
思路２：我们小组认为共需要 （ｘ＋ｘ＋ｘ＋１）根。
思路３：按照我们的算法，应需 ［４＋３ （ｘ－１）］根。
思路４：按照我们的算法，应需 ［４ｘ－ （ｘ－１）］根。
……
６．验证、初步拓展
教师指导学生验证结论的正确性。
当ｘ＝２，３，１０时，需要多少火柴棒？几种结果是否相同？
学生积极代入验证，结果很快得到确认。
教师提出进一步的问题：根据我们验证的结果，你能求出搭２００个这样的正方形需要多少火柴棒吗？
学生确认，巩固已经得出的结果。
（三）总结概括
７．当堂总结
教师指导学生全班一起总结上面的结果：
（１）对于今天课堂上的第一个问题情景，如果我们将 这个数 换成字母ｘ，那么，会有２ （５×ｘ－７）＋１４，根据分配率，它等于１０×ｘ。
（２）摆ｘ个正方形，需要３ｘ＋１，（ｘ＋ｘ＋ｘ＋１），［４＋３ （ｘ－１）］，［４ｘ－（ｘ－１）］根火柴棒。
８．拓 展
教师指导学生回顾已经学习过的用字母表示数的有关规律。同时，教师让学生分组比赛，看哪一组写出的多，并能说出每个字母代表的含义。
学生思考交流，提出运算律、图形的周长、面积和体积公式……
（四）巩固提高
教师提出问题：
（１）用花盆摆出下列一组图形。
摆第①个图形用________盆花，摆第②个图形用_______盆花，按照这种方式摆下去，摆第ｎ个图形用________盆花。
（２）教材第９２页习题３?１第３题：“用火柴按照下面的方式搭图形。”
（五）交流体验
提出交流反思的问题：这节课你知道了什么？学会了什么？有什么发现？有什么体会？还有什么问题与困惑？
学生纷纷发表自己的感想，例如：
（１）这节课使我知道了动手操作 （摆火柴）中就能获取数学知识，感到生活中处处有数学，今后要多观察，多思考。
（２）我发现在研究图形、数量之间的关系时，用字母表示数能方便、简单、明确地表示出来。
（３）我发现找规律时，要观察它们的相同点和异同点，以及排列规律，然后从特殊推广到一般情况。
（六）作 业
教材第９２页习题３.１第１题、第２题。
五、点 评
在这篇案例及其实际的教学中，教师指导学生经历了创设情景、合作探究、总结概括、巩固提高、交流体验等五个环节。其中，教师为学生准备了与学生现实生活经验密切相关的情境，使学生思维顺理成章地达到 “实现从局限在数字的思维到用字母表示的思维的自然过渡”的目标，用字母表示规律是在学生的探索交流过程以及教师的指导下自然生成的。
当然，数学探究活动的发生不完全等同于科学探究活动，具体实物材料的摆弄和操作 （摆火柴活动）只是 “外在的活动”，而真正的数学探究往往发生在学生自己的头脑里，教师的任务就是使学生经历“直观操作、感知———感性认识———理性思考”的活动过程，同时，体验和感受数学发现过程 （从猜想到得出结论）的挑战和欣喜。从实际的教学来看，“摆火柴棒、探索规律”这一活动，无疑关注了学生对过程性知识的学习，增强了学生对数学学习过程的情感体验，对字母代表数的思维过渡起到了良好的促进作用。
（教学设计、执教：山东省济宁市任城区廿里铺中心中学秦修安；点评：李昭军）
六、我的感悟（作为读者的您对这篇案例的看法）
作者: 李甫田 时间: 2008-8-6 00:13
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
第三章 数与代数领域案例分析
案例３ 字母能表示什么 （之三）
一、教学目标分析
本节课旨在实现如下四个方面的目标：
（１）经历探索事物之间数量的规律关系，并会用字母与代数式进行表示规律的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。
（２）在具体情境中进一步理解用字母表示数的意义，以及在什么情况下可以用字母表示数，怎样用字母表示数。
（３）能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式，并能根据具体的情境体验用字母表示数的方法，以及用字母表示数时应注意的问题。
（４）结合教学内容适当渗透德育教育，并体会 “生活中处处有数学”，进一步激发用所学的数学知识主动解决生活中的有关实际问题的热情；能在独立思考的基础上，积极参与小组的讨论，进一步学习与他人交流的本领，尊重、理解他人。
二、教学内容分析
本课时的内容主要是让学生体会用字母和代数式表示规律的过程，并会在探索规律的过程中，用字母和代数式表示其中的规律，初步建立学生的符号感。
初中代数的第一课就是 “用字母表示数”。上好本节课，对于今后的代数学习至关重要。
此外，让学生体会生活中处处有数学，体会代数式是对生活的抽象和建模，代数式来源于生活并要回到生活的应用之中；同时，让学生在学习代数思维的过程中，体会用数学知识解决生活实际问题的乐趣，学习有用的数学。
教学重点：探索规律并用字母和代数式表示。
教学难点：怎样用字母和代数式正确表达已经探索出来的规律，以及在表示中应该注意的一些事项。
三、学情分析
我校 （青岛市第四十九中学）地处青岛最北部，实际是城乡结合部，学校的周边环境不太好，居民的综合素质普遍较低，因而，学生的整体素养和综合素质较低。但学校的办学条件比较好，各种教学设施齐全。同时，学生数学学习的积极性很高，但是主动性欠缺。在教学设计时，应该充分考虑如何调动学生的学习兴趣，使学生学习变被动为主动。
四、教学设计
本教学设计的教学时数是一课时。设计的基本出发点主要是遵循新课程的教育理念，有意识地体现 “生活中处处有数学，用数学知识主动解决生活中的问题，不同的人学不同的数学”等基本观点。
本节课就整体环节而言，可以分为以下八个小环节：
（一）小故事引入
周日小明在家休息。妈妈早晨上班时，嘱咐读初一的小明打扫一下家里的卫生，小明按要求完成打扫卫生的任务后，坐在窗边想着他要买的玩具，可又愁没有钱。忽然，他计上心头，在妈妈下班回家后首先看到的桌子上特意留了一个纸条，然后躲在自己的房里静观妈妈的举动。小明的纸条是这样写的：“妈妈：拖地３元，叠被１元，擦窗户５元，丢垃圾袋１元，共计１０元。”妈妈看后一言不发，提笔在纸条后加上了几行字： “小明：吃饭Ｘ 元，穿衣Ｙ 元，带去看病Ｚ元，关心Ａ元……共计Ｂ元。”写完后，就到厨房做饭去了。小明溜出来一看，心生惭愧，赶忙收起纸条，帮妈妈做饭去了。
［设计说明］这样既可以激发学生的学习兴趣，使学生产生浓厚的求知欲，而且小故事里有一定的教育意义，对学生可以起到道德教育的功效，使德育教育渗透在日常教学中，达到寓教于乐的目的。
（二）回 顾
如果用ａ和ｂ分别表示两个有理数，那么：
加法交换律可表示成：___________________________ 。
加法结合律可表示成：___________________________ 。
乘法交换律可表示成：___________________________ 。
乘法结合律可表示成：___________________________ 。
［设计说明］回顾前面所学的知识，旨在说明前面我们已经接触到用字母表示数的方法，用字母表示数并非十分困难。这可以增强学生学好 “字母代表数”的信心。
（三）实验游戏
如图所示，搭１个正方形需要４根火柴棒。
（１）搭２个这样的正方形需要 （ ）根火柴棒；搭３个这样的正方形需要 （ ）根火柴棒。
（２）搭１０个这样的正方形需要 （ ）根火柴棒。
（３）搭１００个这样的正方形需要 （ ）根火柴棒。你是怎样得到的呢？
（４）如果用ｘ表示所搭正方形的个数，那么搭ｘ个这样的正方形，需要多少根火柴棒？与同伴进行交流。
［设计说明］
（１）这一环节主要是让学生以小组为单位，开展充分的讨论，并在此基础上，交流自己小组的方法和结论。
（２）在教学设计上，遵循由特殊到一般的认知方法：先解决一些具体的数的规律，然后归纳出一般的结论。在这个过程中，应给学生相对充分的思考时间和空间。
（３）小组讨论、合作交流是新课程理念下的一个重要的学习方式。在课堂上进行小组讨论，可以给学生提供相互切磋的机会，达到共同提高的目的。以往在课堂上需要教师完成的许多工作，现在可以由学生通过合作、探究来完成，其中，学生的主体地位得到一定程度的体现，自然会产生求知的欲望和学习的兴趣，教师也能够真正成为学生学习过程中的促进者和引导者。
在这个环节中，学生一共讨论出四种方法①，实际的教学效果非常理想。
（四）巩固，做一做
根据你的方法计算：
（１）搭２００个这样的正方形，需要 （ ）根火柴棒；
（２）搭１００６个这样的正方形，需要 （ ）根火柴棒。
请说明你的计算方法。
［设计说明］
（１）在学生充分讨论、交流和适当总结的基础上，适时进行巩固练习，旨在强化学生对所总结规律的理解和认识，为本节的后续教学打下基础。
（２）遵循学生的认知规律，注意从特殊到一般，再由一般到特殊，并注意激活学生的兴奋点，注重培养学生的归纳推理、类比推理能力以及求异思维，注意让不同的学生在数学中获得不同的发展。
（五）拓 展
听一听、唱一唱：
１只青蛙１张嘴，２只眼睛４条腿，１声扑通跳下水；
２只青蛙２张嘴，４只眼睛８条腿，２声扑通跳下水；
３只青蛙３张嘴，６只眼睛１２条腿，３声扑通跳下水；
……
ｘ只青蛙ｘ张嘴，２ｘ只眼睛４ｘ条腿，ｘ声扑通跳下水……
［设计说明］
（１）由儿歌的形式进行巩固与拓展，既可以激发学生的学习兴趣和热情，又达到了让学生巩固和应用新知识的目的。
（２）打破以往传统的巩固练习的形式，以学生喜闻乐见的儿歌为载体，给学生耳目一新的感觉，使数学教学有了活泼的色彩，让学生们在轻松和快乐中学到了知识，寓教于乐。
（六）练一练
１．填 空
（１）温度由Ｔ （℃）上升了３℃后是 （ ）℃；
（２）今年李华 Ｍ 岁，去年李华 （ ）岁，５年后李华是（ ）岁；
（３）明明步行上学，速度为ｖ；亮亮骑自行车上学，速度是明明的３倍，则亮亮的速度可以表示为 （ ）；
（４）某商店上月收入为ａ元，本月收入比上月的２倍还多１０元，本月收入 （ ）元；
（５）如果正方体的边长是ａ－１，那么正方体的体积是 （ ），表面积是 （ ）。
［设计说明］
在学生各自独立完成的基础上，以小组为单位进行检查，每组评出成绩最好的前三名同学，进行表扬，并且由这些同学负责指导组内较差的同学。这样既可以激发学生的兴趣，又可以培养学生的合作精神，对于组内后进生进行重点辅导。
（七）反思、总结
（１）通过这节课，你学到了哪些方法？
（２）你有什么困惑？
（３）你还有什么新的数学发现？①
（４）你对自己满意的地方是什么？
［设计说明］
（１）通过上面四个问题，可以引导学生对本节所学的内容进行及时的回顾和总结，鼓励学生及时交流自己在课堂上的所思所惑，这样，既锻炼了学生的自信心，又提高了学生的语言表达能力。
（２）第三个问题让学生说出自己的新发现，可以引导学生欣赏自己的学习成果，获得及时的成就感。
（３）以问题驱动的方式，让学生自主总结，这改变了传统的教师总结的做法，不仅及时梳理了所学的知识，而且总结了自己的参与情况、活动情况以及他们的情感态度，使课堂小结真正让学生有所感悟，有所触动，使数学课堂真正关注学生的情感态度，体现新课程理念下的情感态度与价值观。
（八）作 业
（１）请用字母表示以前你所学的公式和法则。
（２）课本第９２页习题３．１第３题。
［设计说明］作业是课堂教学的延续和进一步发展。好的题目可以让学生开阔思路，激发学习兴趣，从而达到提高学生综合素质的目的。
五、教学反思
经过精心的教学设计，本节课的实际教学效果显著。在我看来，主要成功之处在于：第一，整个教学流程环环相扣，层层递进，本来枯燥的课堂变得生动了，学生的积极性得到了极大的提高；第二，在几个环节设计上，适时引入丰富的内容，例如，小故事、儿歌等，使学生耳目一新，从而极大地激发了学生的学习兴趣，以及参与课堂学习中的热情。
不足之处在于：每个环节的时间分配上尚存在不合理之处，以致有一些拖堂。
六、点 评
本节课的优点和特色主要表现在：
１．数学问题生动化
数学知识来源于生活实际，生活本身就是一个巨大的课堂，数学应该成为学生生活中不可缺少的部分，这正是数学课程标准基本理念的体现。魏老师通过自己的教学创造，使学生尽可能多地感受生活中处处有数学的道理，并立足学生已有的生活经验，建构数学知识体系，在不知不觉中感悟教学的真谛，从而较好地实现本节的预定目标。
２．体现了新课程改革理念下的教学设计的一种新模式
“情境———问题———探究———应用”是新课程理念下提倡的教学设计的一种新模式。动手实践、自主探讨及合作交流是数学学习的重要方式。魏老师的课之所以取得成功，在我看来，课堂教学除知识交流的主线外，还有一条情感交流的主线，这节课自始至终创设了有利于学生学习的各种问题情境，其特点在于生活化、趣味性、挑战性。在引入课题时，魏老师设计了学生生活中的若干小故事，不仅自然地引出课题，而且适时地渗透了德育教育。实践证明，在教学中，提供一些富有挑战性和探索性的问题，常常能大大提高学生数学学习的积极性。此外，在本节课的实验游戏部分，还有点开放式教学的特点，这不仅要求任课教师有敏锐的思维，还要有适时调控课堂的灵活性，以及处理突发事件的能力。当然，在这个环节中，任课教师不仅有效地渗透了观察、比较、归纳、演绎等方法，而且时时让学生感受到学习成功的快乐。正所谓，教师的工作不是教给学生什么，而是努力构建学生的知识体系，并用种种方法来刺激学生的欲望 （皮亚杰）。
（教学设计：青岛市第四十九中学魏希彪；点评：青岛市教研室江守富）
七、我的感悟（作为读者的您，对这篇教学设计的看法）
您如何看待案例１，２，３的异同？
①编者注：事实上，在上面的问题中，学生通常按照如下四种思路进行思考：在摆火柴棒的过程中：
（１）每个正方形需要４根，每相邻的两个正方形共用一根，所以，ｘ个正方形应该有４×ｘ－（ｘ－１）×１＝４ｘ－（ｘ－１）（根）；
（２）第一个正方形需要４根，以后每增加一个正方形，需要增加３根，所以，摆ｘ个正方形应该有４＋（ｘ－１）×３＝４＋３（ｘ－１）（根）；
（３）可以看作三行，第一行有ｘ根，第２行有ｘ＋１根，第３行有ｘ根，共有ｘ＋ｘ＋１＋ｘ （根）；
（４）可以先将第一根竖立的单独放，以后每个正方形需要３根，所以，ｘ个正方形应该有１＋３×ｘ＝１＋３ｘ（根）。
作者: 李甫田 时间: 2008-8-6 00:16
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
第三章 数与代数领域案例分析
案例４ 同 类 项
一、课 题
同类项 （教学设计简案）
二、教 材
义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，华东师范大学出版社）七年级上册第三章 “整式的加减”。
三、教学目标
（１）理解并掌握同类项的概念。
（２）经历探索和体验同类项有关概念的获得过程，会识别多项式中的同类项。
（３）培养学生分类归纳的能力，进一步发展学生有条理的思考习惯。
四、教学内容分析
教学重点：会识别多项式中的同类项。
教学难点：培养学生分类归纳的能力。
五、教法学法设计
以教师的精讲、点拨引导为主，辅以引导发现、合作交流。
六、教学过程
（一）创设问题情景，引入新课
（１）填空：多项式有_______项，它 们 分 别 是_______、_______、_____、______、______、。
（２）有句成语，叫 “物以类聚”，意思是说，同一类型的东西可以聚在一起。当然，不同类型的东西就不能随意聚集。例如，收拾房间，书放上书架，衣服放入衣橱，碗盘放进碗橱……而不能把碗放入衣橱，衣服堆到书架上……再如，妈妈让你去买几斤面，并且打半斤油，请问：仅拿一只面口袋，把面和油都放进口袋行吗？这就是 “物以类聚”。
在数学里，时常用到这种同类相聚的思想。看前面这个多项式的各个项，就可以把具有相同特征的项进行归类。你认为上述多项式中哪些项可以归为一类？
（可归为一类，可归为一类，－３与５也可归为一类）
（二）探索规律，总结同类项定义
１．问 题
上面被归为同一类的项有什么特征？
（先引导学生分析只有系数不同，各自所含的字母都是ｘ和ｙ，并且ｘ的指数都是２，ｙ的指数都是１；－４ｘｙ２与２ｘｙ２也只有系数不同，各自所含的字母都是ｘ，ｙ，并且ｘ的指数都是１，ｙ的指数都是２。然后归纳为：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等。）
２．同类项定义
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫同类项。
３．说 明
（１）两个相同：字母相同，同字母的指数相同。
（２）两个无关：与系数大小无关，与字母顺序无关。
４. 思 考
所有的常数项都是同类项吗？（是）
５. 练 习
（１）是同类项吗？为什么？
（２）是同类项吗？为什么？
（三）根据概念，尝试解决问题
例１ 指出下列多项式中的同类项：
（１）３ｘ－２ｙ＋１＋３ｙ－２ｘ－５；
（２）
解：（１）３ｘ与－２ｘ，－２ｙ与３ｙ，－５与１分别是同类项。
（２）分别是同类项。
例２ ｋ取何值时，是同类项？
分析：先假定是同类项，然后求ｋ。已知所含字母相同，根据同类项的定义，还需相同字母的指数相等，所以ｋ＝２。
解：当ｋ＝２时，是同类项。
引申１：ｋ为何值时，是同类项？
引申２：ｍ，ｎ为何值时，是同类项？
（四）巩固练习
练习第１，２，３题 （根据情况适当补充部分题目）。
（五）小 结
（由学生回答，然后教师总结）
（１）什么叫同类项？
（２）所有的常数项都是同类项吗？
（六）作 业
教材第１１４页习题３?４第１，２，３题。
七、点 评
这是一篇基于传统内容的新课程初中数学教学设计，其教学内容单调，很难联系现实情景。在设计中，冯老师思路清晰，目标明确：在多项式的基础上自然引入新课，从一开始就注意体现数学的分类思想；然后，重点引导学生探索同类项的特征，并总结出同类项的定义；继而进行同类项的辨析与引申，为以后的合并同类项打好基础。
［教学设计：河南省鹤壁市鹤煤 （集团）公司五矿中学冯爱民；点评：河南省鹤壁市鹤煤 （集团）公司五矿中学曹旭忠］
八、我的感悟（作为读者的您，对这篇教学设计的看法）
①编者注：当然，如何进行类似于 “同类项”这样的传统内容的教学设计，目前尚无绝对成功的例子，这些内容很难联系现实素材。如何从数学内部的前后联系出发，充分体现数学的重要思想和方法，将重点放到对核心概念的理解和体验上，放到对其中的重要数学思想方法的归纳和概括上，而不是在繁难概念的简单记忆上花费过多的精力，将是这些传统数学内容教学设计的重点和难点。
作者: 李甫田 时间: 2008-8-6 00:18
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
第三章 数与代数领域案例分析
案例５ 你今年几岁了———一元一次方程起始课
一、教 材
义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，北京师范大学出版社）七年级上册第五章第一节。
二、教学设计分析
方程是将众多实际问题 “数学化”的一个重要模型。在本节课的设计上，设计者重点突出 “建模思想”。首先设置了丰富的问题情景，鼓励学生思考，探索情境中所包含的数量关系，然后根据这些数量关系设未知数列出方程，即利用了方程这一模型将实际问题数学化，以便进一步解决。如在树苗的生长一例中，利用多媒体课件展示树苗的生长过程，引导学生思考，讨论树苗的最后的高度１ｍ包括几部分，即找出数量关系１ｍ＝原高＋长度。若设树苗长高的周数为ｘ，可得方程４０＋１５ｘ＝１００。再如，中国每１０万人口中具有大学文化程度的人数＋１０年间增长的人数，等于２０００年１１月１日每１０万人中具有大学文化程度的人数。若设１９９０年６月底每１０万人中具有大学文化程度的人数为ｘ人，可列方程ｘ＋１５３?９４％ｘ＝３６１１。学生在经历了“建立方程模型”这一数学化的过程后，理解了学习方程的意义，同时培养学生的抽象概括等能力，提高了他们的思维水平和应用数学知识去解决实际问题的能力。
在新课的引入上，设计者采取了与学生做游戏的形式，在引发学生学习兴趣的同时，引领着学生走进神奇的方程世界。
本节课主要涉及方程和一元一次方程两个概念。在帮助学生理解这两个概念时，我首先让学生思考并讨论———要成为方程或一元一次方程需要几个条件。然后列出几个式子，让学生判断哪些是方程或一元一次方程。目的是增强他们的分辨能力和对概念的认识。在判定“８＝ｘ”和 “ｘ－ （ｘ－１）＝１”这两个问题时，学生可能会遇到思维障碍，在这里教师要给学生 “渗透认识原物，看其本质”的思想方法。
整节课紧紧围绕着 “通过对多种实际问题的分析，使学生感受方程作为刻画现实有效模型的意义；通过观察归纳出一元一次方程的概念”这一目标而设计，目的是帮助学生建立方程模型思想，为后面利用方程解决丰富多彩、贴近生活的实际问题打下基础并进一步体会数学的应用价值。
三、教学设计
（一）地位与作用
《你今年几岁了》是第五章 《一元一次方程》的第一节课。作为本章的起始课，本节课在整章中占有重要的地位和作用。教材通过提供了多个实际问题，并对其分析，力图让学生体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的重要作用。帮助学生建立起方程的模型思想，为后面利用方程这一数学模型解决实际问题打下基础。
（二）重点、难点
（１）通过大量的现实情境，建立方程的模型思想。
（２）在现实情境中抓住等量关系。
（三）学情分析
所教学生较活跃、比较喜欢参与探索活动，本节课要贯彻的数学思想能较好地实施下去。
（四）教学目标
１．知识目标
（１）通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。
（２）能根据给出的现实情境，找出其中的等量关系并列出方程。
（３）通过观察，归纳一元一次方程的概念。
２．能力与过程目标
（１）经历 “建立方程模型”这一数学化的过程，提高学生的抽象概括能力。
（２）在分析具体问题的过程中，体验并逐步养成从不同角度思考问题的学习习惯。
（五）教学媒体多媒体设备。
（六）教学过程设计
１．引 入
● 创设情景：教师和学生做游戏。教师：如果你将你的年龄乘２减５后的得数告诉我，我就知道你的年龄。
学生：２１。
教师：你的年龄是１３岁。
在学生的惊奇中，引导学生回答下列问题，并引出方程的概念。
如果设小彬的年龄为ｘ岁，那么 “乘２再减５”就是，所以得到等式___________。像这样含有未知数的等式就叫方程。
● 随堂练习：判断下列各式中哪些是方程。
（１）３＋５＝ｘ；
（２）ｘ－３＝２ｘ＋７；
（３）ｘ－ （ｘ＋１）＝１。
● 学生活动：
（１）在教师的鼓励下积极参与游戏。
（２）思考，讨论，交流并找到答案。
［设计说明］
（１）由这样一个游戏的情境引起学生的学习兴趣，为引出方程的概念作准备。
（２）出示题目的目的是通过对几道题的判断，加强学生对方程概念的理解。
２．新课讲授
● 教学内容：
① 小颖种了一株树苗，开始时树苗高为４０ｃｍ，栽种后每周树苗长高１５ｃｍ，大约几周后树苗长高到１ｃｍ？
如果设ｘ周后树苗长高到１ｍ。那么可得方程____________。
② 第五次全国人口普查统计数据：截至２０００年１１月１日０时，全国每１０万人中具有大学文化程度的人数为３６１１人，比１９９０年７月１日０时增长了１５３.９４％。
如果设１９００年６月底每１０万人中约有ｘ人具有大学文化程度。
那么，可得方程。
③ 某长方形足球场的周长为３１０ｍ，长和宽之差为２５ｍ，则足球场的长与宽分别是多少？
根据学生设置的问题，列出方程２ ［ｘ＋ （ｘ＋２５）］＝３１０。
● 教师活动：
（１）根据题目设置问题串：
① 树苗原高是多少？
② 长高的部分是多少？
（２）帮助学生建立方程模型。
（３）设置问题：１９９０～２０００年的１０年中增长的人数是多少？
（４）要求学生根据教师前面提的问题串，自己提出关于此题的问题串，进一步体会方程的模型思想。
● 学生活动：
（１）根据问题串，找到题目中包含的等量关系，列出方程，体会方程的模型思想。
（２）根据教师设置的题目，找到等量关系，列出关系式。
（３）交流，讨论。
（４）设足球场的宽为ｘｍ，则长为 （ｘ＋２５）ｍ，也可设长为ｘｍ，宽为 （ｘ－２５）ｍ。
议一议：上面的方程有什么共同点？
在一个方程中，只含有一个未知数ｘ，并且未知数的指数是１（次），这样的方程就是一元一次方程。
● 教师活动：引导学生讨论，从未知数的个数及未知数的次数两个角度的思考，加强学生对一元一次方程概念的理解。
● 学生活动：思考，讨论，找出答案。
３．巩固、强化
随堂练习：
（１）判断下列方程哪些是一元一次方程。
２ｘ－４＝５ｘ＋３；ｘｙ＝１；ｘ－３ｘ＋２＝０；２ｙ－５ｙ；ｘ－４＝３ｘ－（２ｘ＋４）；
（２）教材第１５１页习题１，２。
［设计说明］第２小题要引导学生思考 “甲队保持不败”的意义是什么？
● 学生活动：讨论出甲队只能是胜和平两种情况，不可能是负。
４．教学附笔
本节课的环节处理得较顺利，尤其是引入时，学生们很感兴趣，为引出概念作了很好的铺垫。另外，在前两个例题中教师设置了问题串的基础上，反过来让学生利用例３，自己设置问题串，给了学生很大的思维空间，促进了学生自主探索知识的能力，效果较好。
四、点 评
本节课的教学重点是：要求教师帮助学生在现实情境中，通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界模型的重要意义，建立方程模型思想。
本节课对于学生进一步利用方程解决实际问题作好了铺垫，对整章知识的学习起着提纲挈领的作用。在教学时，李老师围绕培养学生的 “建模思想”层层渗透，并能用灵活多样的教学方法施教，较好地完成了本节课的教学目标。同时，教师也比较注重师生、生生之间的互动教学，调动了学生的积极性。
１．注重 “建模思想”的培养
李老师在本节课的教学过程中重点突出了 “建模思想”。首先设置了丰富的问题情境，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数量关系，将问题数学化，再根据这些数学化的等量关系设未知数，列方程。例如，在树苗的成长一例中，李老师利用多媒体课件形象地展示了树苗的成长过程，引导学生思考讨论：树苗最后长到了１ｍ，这里包含了几部分，每部分都是多少？目的是让学生将具体的现实问题数量化，并从中找到数量关系，即１ｍ＝原高＋长高。然后引入未知数ｘ，将树苗长高的周数设为ｘ，可得方程４０＋１５ｘ＝１００。在后面的两个例子中，教师和学生继续一起探究了将现实问题转化成方程模型的过程。学生在经历了 “建立方程模型”这一数学化的过程后，理解了方程的意义，同时培养了学生抽象概括的能力，提高了他们的思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识。
２．在新课的引入上李老师采取了游戏形式
让学生用自己或家人的年龄乘２再加５，把得数告诉老师，然后教师能猜出其年龄。这种猜年龄的本领，让学生们感到很神奇，也很有兴趣，他们自然也很渴望能知道其中的奥秘，学生就这样被教师带入了课堂学习，带进了神奇的方程世界。
３．通过学习，最后教师和学生一起归纳、总结出一元一次方程的概念
教师在帮助学生理解这些概念时，也采取了较好的方法。首先让学生讨论思考要成为一元一次方程需要几个条件。在学生有了初步的印象后，给出几个式子让学生判断哪些是一元一次方程，目的是增强他们的判断能力和对概念的认识。但由于受到思维水平的限制，也遇到了一些问题，例如，有些学生认为 “８＝ｘ”不是方程，而认为恒等式ｘ－（ｘ－１）＝１是一元一次方程，对此，教师并没有马上给出判断，而是给学生足够的时间和空间去思考、讨论甚至争论，经过一番对与错的碰撞，教师揭开 “谜底”，并且渗透了认识事物要看其本质的教学思想，让学生在学习数学知识的同时，学习优秀的思维方式，以养成很好的学习习惯，对学生的发展很有帮助。
在教师的引导下，师生较顺利地共同达到了预定的各项教学目标。在培养学生的思维方式和学习方法等方面也作了有益的尝试。但本节课的教学中也存在着一些须要改进的地方。例如，多媒体课件的制作和使用方面须进一步加强和完善；在授课语言上尽量做到言简意赅，从而使课堂教学成为一门艺术。
（执教：青岛市第四十八中学李斗斗；点评：青岛市教学研究室江守富）
五、我的感悟（作为读者的您，对这篇教学设计的看法）
作者: 李甫田 时间: 2008-8-6 00:20
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
第四章 空间与图形领域案例分析
案例１ 生活中的立体图形 （之一）
一、课 题
生活中的立体图形
二、教 材
义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，北京师范大学出版社）七年级上册第一章第一节的第一部分内容。
三、教材分析
就整套教材而言，教材编订者认为 （参加相应的教师用书，编者注），学生认识现实世界是根据已有的生活经验和初步的数学活动经历，从观察生活中的图形开始，由立体到平面再到立体的过程；这一章所涉及的学习素材不仅包括常见的二维、三维图形，而且包含大量的现实物体、现实问题等内容。
这一章，教材从生活中的图形入手，使学生在丰富的数学活动和具体情景中，认识常见的基本几何体及点、线段等基本对象；通过棱柱、棱锥的展开与折叠，柱体、锥体的切截，以及主视图、俯视图、左视图 （以正方体的积木块及其简单组合为主要对象），得到平面图形，并在二维、三维图形的转换中发展学生的空间观念。
作为本章的第一节课，本节课使学生感受图形世界的现实性和丰富多彩，领略数学在图形与空间方面的魅力，认识生活中基本的几何形体，激发良好的几何学习兴趣，是十分重要的。
四、学情分析
七年级初期的学生刚刚进入初中，不论是学习方式还是思维方式，不少学生尚处在小学时期，而本节课又是七年级上册的第一节内容，对此，教师在教学设计的过程中要加以重视。在学习本节内容之前，学生已经积累了粗浅的几何学习经验，对立体图形的认识也有了一定的了解。充分利用这些知识和经验，是本节课教学的必要前提。
五、教学目标分析
（１）感受图形世界的丰富多彩。
（２）通过观察生活中的大量物体，认识基本的几何形体。
（３）经过比较不同物体，学会观察物体间的不同特征，体会几何体之间的区别与联系。
六、教学过程设计
１．引 入
（１）播放ｐｐｔ幻灯片的彩图 （包括美国白宫，世贸大厦，深圳的香格里拉酒店，地王大厦，发展大厦等），利用现实生活中的丰富背景让学生识别熟悉的几何体 （如球体、长方体、正方体、圆柱等）。
（２）展出圆柱、圆锥、正方体、棱柱、球的模型，让学生分别说出这几种几何体的名称。
点评：从现实情境引入立体图形，正是再现课程标准和课程标准实验教科书关于 “空间与图形”初始阶段的编排风格。
２．分组活动
（１）组织学生四人一组，用学具做球，圆柱，圆锥，正方体。
（让学生学会合作，观察交流）。
（２）组织学生分组讨论圆柱、圆锥的异同点，然后学生回答。
（３）组织学生分组讨论棱柱、圆柱的异同点，老师巡场指导。
（４）学生回答问题。教师鼓励学生大胆说出自己的答案，并对每种答案的真伪，交由全班同学共同讨论。
（５）通过幻灯片演示棱柱的两种类型：直棱柱与斜棱柱。一般棱柱仅指直棱柱。
（６）先组织学生讨论如何识别各种几何体的彼此特征 （提请学生：尽量用自己的语言加以描述），老师归纳其特征，为下一步的分类打下基础。
（７）组织学生讨论如何对球、圆锥、圆柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥进行分类。
学生上台动手将这几种几何体进行分类，教师让学生试着说明归类的理由是什么。无论学生说什么，教师都应该激励学生尽量清楚、完整地表达自己的想法，说出自己的答案。
点评：由于本节内容主要依靠学生原有的生活经验，任课教师从学生现实出发，让学生分组合作，在交流中互相启发，由此归纳出有关几何体的特征。这与教材的设计说明相吻合。
当然，让学生亲身经历对生活中的图形进行观察与分析，类比与归纳，抽象与概括等过程，体会其中的思想方法，发展合情推理的能力，促进形象思维水平的提高和空间观念的形成，这都是本节课的重要目标，而上面设计的活动对这些目标的实现都有帮助。
（８）教师归纳。
① 按底面的个数，可以分为：球、锥、柱体。
② 按侧面的平曲，可以分为：球、锥、圆柱体 （侧面为曲的），正方体、长方体、三棱锥、四棱锥 （侧面是平的）。
３．议一议
投影教材第３页的图片，让学生感知这是现实生活中的一角，可能是书房的一角可能是教室的一角，让学生分组讨论：
（１）上图中，哪些物体的形状与长方体、正方体类似？
（学生在回答桌面时教师应指出桌面是指整个层面）
（２）上图中，哪些物体的形状与圆柱、圆锥类似？挂篮球的网袋是否类似于圆锥？为什么？
（３）请找出上图中与笔筒形状类似的物体。
（４）请找出上图中与地球形状类似的物体。
４．想一想
生活中还有哪些物体的形状类似于棱柱、圆柱、圆锥与球？
５．练一练
让学生在本节课开始播放的幻灯片的第２６～２９张中，捕捉今天学过的几何体。
６．小 结
通过感知，感受图形世界的丰富多彩，体验现实生活中不同的物体原来有如此多的几何体，几何体在我们的生活中无处不在。大家要留心观察生活，从中抽象出我们所学的几何体。我们也学会了简单地区别不同的几何体。初步接触了分类思想，这为今后学习几何学打开了一扇窗子。
美丽多姿的几何世界，正在等着同学们去遨游哪！
７．作 业
《一课一练》第１页。
点评：无论从传统意义上的教案，还是从新课程改革下的教学设计，这都是一节比较成功的课。教师对课程、教材的再加工，再创造，是其典型特色。同时，教师引导学生从数学的角度观察物体，认识社会，这对于促进学生良好数学观的形成有很大的帮助。（执教：深圳市莲花中学曲蕾；点评：孔凡哲）
七、我的感悟（作为读者的您，对这篇教学设计的看法）
作者: 李甫田 时间: 2008-8-6 00:25
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
第四章 空间与图形领域案例分析
案例５ 平 行
一、课 题
义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，北京师范大学出版社）七年级上册第四章第五节。
二、教学目标
（１）在丰富的现实情境中，进一步了解两条直线的平行关系，掌握有关的符号表示。
（２）会用三角尺、量角器、方格纸画平行线，积累几何活动的操作经验。
（３）在动手操作中，探索并了解平行线的有关性质。
三、教学重点和难点
教学重点：直线平行的概念、平行的画法、平行的符号表示以及有关平行线的性质。
教学难点：平行的概念及有关性质。
教具准备：三角尺、量角器、投影仪、自制胶片；用大萝卜切好的正方体模型，并把正方体沿对角线切开，再用竹签连起来。
四、教学过程设计
（一）画图导入
同学们，前几节课，我们已经学习了线段、射线、直线的概念，现在请大家动手画一画。
（投影显示）如图１，已知Ａ，Ｂ，Ｃ三点：
（１）画直线ＡＣ；
（２）画射线ＢＣ；
（３）画线段ＡＢ。
让两名学生到黑板上画，教师巡回指导，根据学生的具体情况适当提示。
画毕，如图２，引导学生小结三者的区别：直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点。
引导学生归纳：射线或线段是直线的一部分，直线是向两方无限延伸的。
这节课我们将学习直线与直线的一种特殊位置关系。
板书课题：第五节 平行。
点评：温故而知新，让学生动手画图，同时可以回顾线段、射线、直线之间的内在联系与区别，为后续学习平行线的概念作好铺垫。
（二）创设情境，探讨新知
１．平行线的概念
（１）创设情景，分析、归纳。
解说课本第１３５页滑雪插图，指出滑雪运动最关键的是要保持两只雪橇板之间的平行。
在数学中我们可用线段表示雪橇板，电视里滑雪运动员身后两条笔直的滑雪痕迹，其实就是线段所在的两条直线，它们是平行的。
请同学想一想，日常生活中我们还见过哪些平行的事例？
引导学生叙述：
① 电视中，沿直线作特技表演飞行的飞机的两个机翼分别喷出长长的彩带，在还没有散开之前这些彩带是平行的。
② 在农村的甘蔗田里，甘蔗的行与行之间可以是互相平行的。
③ 体育课田径场上，１００米的直跑道的几条跑道线是平行的。
④ 超市中，货架的摆设有些是平行的。
（２）尝试描述，正反例证加以强化。
想一想，从这些事例中，我们可以怎样描述平行线呢？
引导学生抓住共同的特征———不相交。
提出进一步的问题：
① 教室天花板与正对教室门口的墙面，这两平面的交线是平行线吗？
② 教室门口附近树立的两面墙之间的交线，同竖立的墙面与天花板之间所在平面之间的交线，彼此相交吗？平行吗？
（不相交；不平行。）
引导学生补充前提条件———在同一平面内。
板书：在同一个平面内，不相交的两条直线称为平行线。
指出平行是相互的，直线ａ与直线ｂ平行，也可以说是直线ｂ与直线ａ平行。引导学生讨论交流：你能在课本第１３５页图４-１９中找到平行线吗？
学生归纳：手扶式电梯左右扶手所在的两条直线，双杠两边扶手所在的两条直线，铁轨所在的两条直线。
指导学生分组讨论，交流：在教材的图４-１９中，手扶式电梯左右扶手之间的宽度如果不保持相等，会出现什么情况？如果两铁轨之间的宽度不保持相等，会有什么现象发生？
学生归纳：电梯会出现卡住不能动的情况，火车将会脱轨，发生事故。引导学生讨论交流：你能在教室里找到平行线吗？学生归纳：黑板相对的两边是平行的，天花板与门口所在墙面、门口所对墙面的交线是平行的，窗框相对的棱是平行的，课桌面相对的线段是平行的……
点评：加强数学与生活的联系，教师力求让学生采取发现式的学习方式，学生在学习过程中的发现、探究等认知活动就突显出来了，并且显现个性化的特征。通过让学生议一议、想一想，归纳出平行线的本质属性：①不相交；②在同一平面内。同时揭示了平行线在生活中的广泛应用。建构性学习理论认为：学生不是简单的知识转移和传递，而是学习主动地建构自己的知识经验的过程。①
２．平行线的画法
（１）你能在课本第１３６页图４-２０的方格纸上画出平行线吗？
引导学生观察，方格就是大小一样的正方形，正方形的对边是平行的；相邻方格可组成长方形，相应长方形的对应对角线是平行的。因此，借助方格纸可用三种方式画平行线：水平、竖直和斜画。
引导学生动手画平行线，要求用三种方式画，其中斜画的自左向右呈上升的、呈下降的各一组，以防思维定形。
（２）你能平移三角尺画平行线吗？
组织学生动手画平行线。
教师巡回指导，提醒要点：
① 两个三角尺始终要靠紧；
② 一个平移时，另一个不要动；
③ 沿着平移的三角尺的边画直线。
（３）你能借助量角器画平行线吗？（教师示范，学生跟着画）
画∠ＡＢＣ＝５０°，在射线ＢＡ上取点Ｄ，如图３所示，画∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＣ，那么，直线ＢＣ与直线ＤＥ 平行。
提出问题：∠ＡＢＣ＝８０°可以吗？９０°呢？同学们请画一画，然后与同伴交流，你发现了什么？ （０°＜∠ＡＢＣ＜１８０°都可以）
３．平行的符号表示
通常用符号 “∥”表示平行，如图４所示，直线ＡＢ与直线ＣＤ 平行，记作ＡＢ∥ＣＤ，读作ＡＢ平行于ＣＤ；如图５，直线ｌ与直线ｍ 平行，记作ｌ∥ｍ，读作ｌ平行于ｍ。
４．平行线的有关性质
（１）创设情景，探索研究：
问题１：如课本１３６页图４?２２所示，经过点Ｃ能画出与直线ＡＢ 平行的几条直线？通过画图，你发现了什么？
学生活动：
① 引导学生在过点Ｃ画直线ＡＢ 的平行线操作活动中探索规律，并用自己的语言叙述，相互交流。
② 引导学生归纳 （板书）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
教师强调指出： “有且只有”包含两层意思， “有”表示存在，“只有”表示唯一。
问题２：在图４-２２中，如果点Ｃ在直线ＡＢ 上，会发生什么情况？
（与ＡＢ平行的直线画不出来。）
（２）归纳，概括，得出平行线的有关性质与判定。
问题３：在图４-２２中，过点Ｄ 画直线与直线ＡＢ 平行，它与（１）中所画的直线平行吗？通过画图，你发现了什么？
学生活动：
① 在过点Ｄ画直线ＡＢ 的平行线操作活动中，探索规律，并用自己的语言叙述和相互交流。
② 引导学生归纳平行线的有关性质。
教师板书：如果两条直线都与第三条直线平行，那么，这两条直线互相平行。
问题４：如何用符号 “∥”结合已画好的图４-２２，表示上述性质？
教师引导学生归纳：分别在过点Ｃ，Ｄ的直线上标记字母Ｅ，Ｆ，上述性质可表示为 “如果ＣＥ∥ＡＢ，ＤＦ∥ＡＢ，那么ＣＥ∥ＤＦ”。
（三）巩固强化
（投影显示）
１．判断题
（１）在同一平面内，不相交的两条线段叫平行线。（ ）
（２）在同一平面内，不相交的两条射线叫平行线。（ ）
（３）不相交的两条直线叫平行线。（ ）
（４）过一点有且只有一条直线与这条直线平行。（ ）
（５）平行于同一直线的两条直线平行。（ ）
２．填空题
在同一平面内，与已知直线ａ平行的直线有___________条，而经过直线ａ外一点Ｐ，与已知直线ａ平行的直线有且只有__________条。
３．课本习题４.５的第４题
学生分组讨论，教师巡堂适当提示，逐题请各小组代表汇报解答情况，交流讲评：
注释：
（１）判断题的第 （５）题：根据 （５）的题意画出图形，发现 （５）是性质 “如果两条直线都与第三条直线平行，那么，这两条直线互相平行”的简写。
（２）填空题的提示：可通过画线操作活动，认知解答。
（３）第３题的提示：方法 （１），平移三角尺；方法 （２），找相应长方形的对应对角线。
（四）反思与总结
（投影显示）
教师通过问题式的引导，激发学生主动总结反思：这节课，我们通过大量生动有趣的现实情境理解平行的含义，懂得有关的符号表示，能借助方格纸、三角尺或量角器画平行线，并且在操作活动中探索了平行线的有关性质。
（五）布置作业
（１）必做题：习题４?５第１，２，３题 （第１题用切好的萝卜模型演示）。
（２）选做题：读下列语句，并画出图形：
① 过△ＡＢＣ的顶点Ａ，画ＡＤ∥ＢＣ；
② 过△ＡＢＣ的边ＢＣ的中点Ｅ，画平行于ＡＢ的直线，交ＡＣ于点Ｆ。
③ 思考题：课本图４?１９中，由两根铁轨平行，得出两根铁轨之间的宽度保持相等。反过来，由宽度保持相等，是否可以画出两条直线平行？请用直尺试一试。
五、点 评
本节课的教学较为充分地体现了新课程的理念。教学过程围绕平行线的有关知识结构，以及学生已有的数学认知结构而展开：
对基础知识———平行线的概念，这篇教学设计改变了以往教学中直接给出定义的做法。
通过创设情景，使数学回到生活，让学生经历观察———联想———操作———感受———抽象———剖析等一系列活动性的过程，自主探究，合作交流，获得对平行线的初步了解。
对基本技能———平行线的画法，着眼于学生操作实践能力的发展，拓展了实践的空间，整节课既考虑到学生的兴趣，充分注意构建学生的 “最近发展区”，又有教师个人对教材独特的理解和做法，倡导学生主动思考，乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力，以及合作、交流的能力。
在学生自主提出问题、解决问题以及开展过程性评价方面还有待加强。
（教学设计：南宁市第三十四中学李山松；点评：南宁市教科所邝国宁）
六、我的感悟（作为读者的您，对这篇教学设计的看法）
①编者注：此外，这里的几个环节也可以这样描述，问题情境，分析归纳，反例，进一步归纳、得出定义，强化应用，概念内化。
作者: 李甫田 时间: 2008-8-6 00:26
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
第四章 空间与图形领域案例分析
案例６ 认 识 三 角 形
一、课 题
认识三角形
二、教学内容
义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，北京师范大学出版社）七年级下册第五章 《三角形》第一节。
教学重点：了解三角形的概念，能用符号语言表示三角形，能从图形中识别三角形。
教学难点：利用三角形三边关系，判断三条线段能否组成三角形。
三、教学目标
（１）结合具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素，能用符号表示三角形，掌握三角形三边之间的关系。
（２）在丰富的现实情景中抽象出三角形，体会三角形在现实生活中的应用。
（３）通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力，懂得判断三条线段能否构成三角形的方法，并能用其解决有关问题。
（４）通过积极参与数学学习活动，培养学生积极思考及与他人交流合作的学习习惯。
四、教具及材料准备
多媒体课件，三角板，学生自备若干长度不等的木棒。
五、板书设计
六、教学过程设计
１．创设情境，导入新课
（１）教师活动：播放一组图片 （包含教材１１７页图５-１等在内的、反映三角形的图片），让学生找出熟悉的图形。
学生活动：观看图片，激发兴趣。
［设计说明］通过实际演示美丽的图案引起学生的兴趣，将学生带入学习的情境中。
（２）教师活动：给出引例图形 （教材１１７页图５-１），提出问题：
① 对于三角形的知识，小学时我们曾经接触过一些，哪一位同学能举出生活中的实例？
你能从图５-１中找出４个不同的三角形吗？
② 与同伴交流各自找到的三角形。
③ 这些三角形有什么共同的特点？
学生活动：认真观察，举出一些事例，如三角板、屋脊等；与同伴交流。回答问题 （１）（２），思考问题 （３）。
［设计说明］创设情景，引入新授内容，培养学生的识图能力。
２．小组合作，探究新知
（１）教师活动：组织学生讨论这些图形的共同特征，思考小学曾经学习过的知识，如何准确刻画这类图形的主要特征，由此，师生共同得到三角形的定义。
在交流、讨论中，引导学生感受用符号表示三角形的必要性，同时，掌握这种表示的具体方法。
教师给出三角形的表示法及边、角、顶点的表示法。
学生活动：思考、讨论三角形的含义及其表示方法。
［设计说明］由此体会用符号表示三角形的必要性；鼓励学生大胆尝试，并通过数学语言归纳所得结论。
３．巩固练习，强化新知
内容：教材第１１９页习题５-１第１题。
学生活动：独立完成，同桌相互交流结果。
４．拓展、应用
（１）教师活动：电脑显示教材１１８页 “议一议”。
［设计说明］
① 这里须用到七年级上学期 “两点之间的连线中，以线段为最短”的结论，对此，教师应该及时提醒。
② 教材上的图５-４用彩灯装饰三角形房梁，教学时可用简单的教具 （如绳子，铁丝等）替代，鼓励学生先想一想，再操作验证。
学生活动：学生口答，全班交流，补充，最终认可，解释合理。
［设计说明］主要目的在于认识三角形的基础上，认识 “三角形两边之和大于第三边”的结论，其中，学生的认识须要经过由感性上升到理性的过程。
（２）教师活动：电脑显示１１８页 “做一做”。
学生活动：四人小组，分工合作，以小组为单位汇报讨论结果。
［设计说明］这里的 “做一做”旨在让学生马上巩固 “议一议”所得到的结论。对此，学生只要能通过测量、比较等操作活动 （或通过特例），归纳出结论即可。
（３）教师活动：电脑显示教科书１１９页例１，并引导学生探讨解决问题的办法。
例１ 有一根长度分别为５ｃｍ和８ｃｍ的木棒，用长度为２ｃｍ的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为１３ｃｍ的木棒呢？
［设计说明］对于此例题，允许学生利用操作完成自己的思考，但教师要适当引导学生思考利用 “三角形两边之和大于第三边”的结论，进行分析。
学生活动：独立完成问题，组内交流结果及方法。
学生口答补充。
［设计说明］
① 培养学生的合作意识和思考精神。
② 通过练习，进一步巩固新知识，学以致用，举一反三。
（４）巩固练习。
电脑显示教材１１９页习题５-１第２题的内容。
学生活动：独立思考，全班交流。
５．回顾与反思
（１）教师活动：
由学生归纳本节所学内容，谈本课学习的体会。
（２）布置作业：
教材１１９页第２题。
学生活动：学生畅所欲言，谈体会，谈收获，发展自己在学习过程中存在的问题。
［设计说明］培养学生学习后及时反思的习惯，巩固所学知识。
七、点 评
这节课是在学生已经在小学初步认识三角形的基础上进行的，教学有一定的难度，难度并不是表现在内容上，而是表现在学生的差异上，即有些学生在小学已经比较系统地学习过三角形，而有些学生的认识比较肤浅，因此，克服学生的差异、实现因材施教是任课教师成功教学的关键所在。
与传统的综合几何内容相比，这篇教学设计强调学生动手操作，合作交流，体现实验几何、操作几何的特征。
（教学设计：山东省济宁市任城区廿里铺镇中心中学李昭军、侯纪伟；执教：侯纪伟；点评：李昭军）
八、我的感悟（作为读者的您，对这篇教学设计的看法）
作者: 李甫田 时间: 2008-8-6 00:28
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
第四章 空间与图形领域案例分析
案例７ 轴对称现象 （之一）
一、课 题
轴对称现象
二、教 材
义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，北京师范大学出版社）七年级下册第七章 《生活中的轴对称》第一节。
三、教材分析
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象。本节课立足于学生已有的生活经验，让学生在观察、思考以及与他人的合作交流等活动中，认识轴对称，欣赏并体验轴对称在现实生活中的广泛应用，并进一步发展空间观念。
四、教学目标
（１）在丰富的现实情境中，经历观察生活中的轴对称现象，探索轴对称现象共同特征等活动，进一步发展空间观念。
（２）通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其轴对称。
（３）欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它的丰富文化价值。
五、教学重点、难点分析
教学重点：欣赏现实生活中的轴对称图形，能够判定一个图形是否是轴对称图形，并能确定其对称轴。
教学难点：体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它的丰富文化价值。
六、教学过程
１．欣赏、观察、思考、交流
（１）提出问题：当你面对一只彩蝶、一片绿叶、一朵红花、一枚果实的时候，除去其绚丽的色彩之外，你是否还发现了它们有一些其他奇妙的共同特征呢？
（２）观察课本１８６页的物体图片，让学生思考。
① 这些图形有什么特征？
（鼓励学生认真观察，并运用自己的语言概括出这些图形的共同特征，如都是对称的。）
② 举出几个生活中具有对称特征的物体，并与同伴进行交流。
（鼓励学生从自己的角度出发，举出符合对称特征的物体，例如随风起舞的风筝，凌空翱翔的飞机等。）
③ 你能将图中的窗花沿某条直线对折，使直线两旁的部分完全重合吗？枫叶呢？
（鼓励学生进一步探索轴对称现象的共同特征，先鼓励学生想象，再动手操作验证自己的想象，窗花，枫叶等都可以沿 “中间的一条线”对折，使直线两旁的部分完全重合。）
２．做一做
（１）教师指导学生分组活动。
将一张纸对折后，在纸上任意画一个图案，用笔尖在纸上沿图案的边缘扎孔 （保证扎透），将纸打开后平铺，观察所得到的图案，位于对折痕的两侧的部分有什么关系？与同伴进行交流。\
（学生通过操作再次体会轴对称图形的特征，鼓励所有学生都亲自实践，体会活动的乐趣，并进一步分析轴对称的特征。）
（２）师生共同分析，总结，得出有关概念。
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴。
３．做一做
教师指导学生动手做试验，作出一幅轴对称图形，并在小组内交流。
取一张质地较软，吸水性能好的纸。在纸的一侧滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并用手压出清晰的折痕，再将纸打开后平铺，观察所得到的图案。
教师提出思考问题：位于折痕两侧的墨迹图案彼此之间有什么关系？与同伴进行交流。
４．想一想
指导学生发现，探究，并给出两个图形成轴对称的含义。
观察教材１８８页中的每组图案，你发现了什么？
（鼓励学生充分表达自己的发现，并想办法验证自己的发现，运用折叠等方式体会轴对称的特征。）
对于两个图形，如果沿一直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形轴对称，这条直线就是对称轴。
５．随堂练习 （教材１８８页第１题）
（１）在图中找出每个图形的对称轴。
（２）在图中能找出两组轴对称的图形吗？
６．小结与作业
（１）教师点拨：
在我们生活的大千世界，许多物体都具有某种对称性，人类在漫长的岁月中，体验着对称，享受着对称，它给人们以平衡、和谐的美感，它帮助人们认识万事万物。
通过学习这节课，你能不能感受到自然界的美与和谐？是否能根据自己的设想创造出对称的作品，装点生活呢？
（２）完成课本１８９页习题７.１。
七、点 评
在笔者看来，新世纪版数学教科书是义务教育课程标准实验教科书中的主导品牌，它很好地诠释了数学课程改革的先进理念，《生活中的轴对称》这一章又是这套教科书中实践课程标准理念最好的章节之一，学生乐学，教师易导。
从教材分析和教学目标的设计，以及教学过程的设计和课堂小结来看，刘老师能引领学生认识 “生活在大千世界中的许多物体都具有某种对称性”，进而在 “体验着对称，享受着对称”的同时，享受“人类在漫长的岁月中”创造的丰厚的文化圣餐。而最后的作业 “通过学习这节课，你能不能感受到自然界的美与和谐？是否能根据自己的设想创造出对称的作品，装点生活”可谓首尾呼应，我们不仅是前人成果的享受者，也是前人成果的继承者和创造者。
从教学方式的设计来看，刘老师综合运用了欣赏、观察、思考、操作、交流等多种方式，并以引导者和组织者的身份，真心做学生的合作者。
美中不足的是，这篇案例把 “能够判定一个图形是否是轴对称图形……”作为教学重点，我认为是欠妥当的，本节仍是让学生从感性上 “感受”，还没有要求学生从理性上去 “判定”。“感受”与 “判定”是两个不同层面的不同要求。
（教学设计：山东省聊城第七中学刘琨，高玉发；点评：山东省茌平实验中学任景业）
八、我的感悟（作为读者的您，对这篇教学设计的看法）
作者: 李甫田 时间: 2008-8-6 00:29
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
第五章 统计与概率案例分析
案例４ 频 率 与 概 率
一、课 题
频率与概率
二、教 材
义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，北京师范大学出版社）九年级上册第六章第一课时。
三、教学任务分析
１．内容分析
在七年级上、下册中，教材已经呈现了随机事件、等可能随机事件、随机事件的概率等基本概念，展示了利用树状图计算简单随机事件的理论概率的方法；通过探求一枚硬币抛掷正反面分别朝上的概率，渗透了运用某一随机事件在多次实验中出现的频率，估计该随机事件的概率的思想方法。
这一章的主要内容是通过实验方法确定某一随机事件的概率，特别是理论上无法求得的，或理论上可以求得但超出学生现阶段的认知水平的随机事件的概率。因此，这一章核心的数学思想方法是，通过多次实验用某一随机事件出现的频率估计其理论概率。
本节课是在学生已经掌握了一些统计学的基本知识，了解了普查和抽样调查两种不同的调查方式的适用范围的基础上展开的，主要目的是继续学习频数与频率这两个统计量之间的关系，深入学习统计方法，深化统计思想，发展统计观念。
本节课的内容是，确定两张纸牌牌面数字之和分别为２，３，４的概率。解决这一问题既可以运用以前学过的树状图方法，也可以运用多次实验的方法。后一种方法体现的思想与估计 “投掷一枚硬币正面朝上”的概率所用思想是一致的。因此，本课时是以前所学思想方法的延续和强化，同时，这里所用的思想方法也可以很好地解决后面几节的有关问题。也就是说，学生对本课时思想方法的认同程度，不仅涉及对本课时所得结论的理解程度，而且关系到解决后继问题的思想基础。
在确定投掷一枚硬币正面朝上的概率时，学生已有的经验中并没有类似的经验，为此，教材采用实验的方法，在学生动手体验的基础上直接引进历史上许多著名实验的结果，向学生提供尽可能多的间接经验，使学生得到 “频率趋向稳定值０?５”，进而获得 “投掷一枚硬币正面朝上的概率为０?５”的宝贵实验经验。这种经验也为后继理论分析某些由等可能事件构成的随机事件的概率奠定了理论基础。
但是，在解决本课时的纸牌问题时，学生已经能够计算出理论概率，这就为探索频率与概率的关系提供了比较背景。也就是说，学生应在求得理论概率的前提下，以理论概率做参照值，探究频率与概率的关系，发现 “实验次数较大时，实验频率稳定与理论概率，并可据此估计某一随机事件发生的概率”，从而使学生认同：通过多次实验的方法估计随机事件发生的概率。
值得说明的是，本课时的主要目的是在明确了该随机事件的理论概率的前提下，进一步探索该随机事件发生的频率与其概率的关系，而不是单纯利用频率去估计概率，重复 “一枚硬币”问题。因此，从教材的内容设计上看，本节课是从理论方法确定概率向实验方法确定概率的过渡，使学生看到实验方法可以解决更多问题。
总之，本节课最重要的内容是凸现实验方法，初步形成以实验方法估计随机事件概率的意识。
教学重点：通过学生亲自动手实验和观察计算机模拟多次试验，探索频率与概率的关系。
教学难点：（１）实验设计；（２）理解 “实验次数很大时，频率稳定于理论概率”这一结论，体会用样本估计总体的思想。
２．学情分析
本篇教学设计是在假设学生已经基本掌握以前所学概率知识的基础上展开的，但在实际教学中，不同的学生对所学知识掌握的程度可能存在差异，因此，在具体的教学设计中，还应充分考虑学生认知发展的实际水平，并以此进一步明确教学目标，优化教学过程。
３．资源分析
由于计算机模拟试验和Ｅｘｃｅｌ的统计功能在数据生成、处理以及描述等方面具有重要的作用，因此，本篇教学设计有意识地把计算机模拟实验、Ｅｘｃｅｌ的统计功能，与学生的动手实践活动进行了有效整合。计算机技术的介入，不仅提供了信息的多种表达方式，更重要的是，计算机模拟实验能够在短时间内完成大量的试验，增加实验次数，从而更好地呈现出多次实验才可能出现的频率稳定性，进而强化视觉感受，增强学生对所得结论的认同程度。
四、教学目标
（１）在现实情境中，理解频数、频率的概念，体会用样本估计总体的思想，能用样本频率估计总体频率。
（２）经历试验的过程，理解当试验次数较大时，试验频率的稳定与概率的内在关系，并能据此估计某一随机事件发生的概率。
（３）通过猜想、试验、观察等活动，发展合情推理能力。通过小组内部交流和小组之间的交流，发展口头表达能力。
（４）通过试验设计活动，进一步激发学生的创新思维，发展创新能力；通过合作完成实验等活动，进一步发展学生的合作交流能力。
（５）在数据收集、整理、分析的过程中，形成实事求是的态度和敢于质疑、独立思考的习惯，以及进一步发展学生合作交流的意识；通过人人参与的实验和同学之间的互助，每一名学生都能理解所学内容，进而增强学好数学的信心。
五、教学主要环节设计
（一）活动一：创设情景，提出问题
某商场每天大约有３０００名顾客光顾，为吸引更多顾客，该商场举办抽奖活动，具体过程如下：
顾客在装有一黄一白两球 （除颜色外，两球相同）的盒子中分别摸取球两次 （每次只允许摸出一球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出第二个球），把两球的颜色记录下来，作为一次抽奖的结果。
如果你是本次活动的策划者，根据上述方法，本次抽奖活动能设置几个奖级？哪一个结果设为一等奖更合适？谈谈你的理由。
［设计说明］
① 从学生的现实生活中寻找问题情境和开放式的问题设计，有利于促进学生解决问题的积极性。同时，也能使学生体验数学规律隐藏在日常生活中，并能服务于生活，解决生活中的问题。
② 设计这个问题的根本目的，是通过独立思考和交流，唤醒已有的知识经验，引导学生发现三种可能的抽奖结果，并能够利用树状图求出每种随机事件发生的概率，从而为探索频率与概率的关系打下伏笔。
（二）活动二：动手实验，探索规律
１．实验设计
回顾 “投掷一枚硬币正面朝上”的实验过程，请你设计一个实验方案，估计摸到 “一黄、一白”球的概率。
２．摸球实验
（１）三个人合作，试验并记录实验次数和频率。在１０分钟内，看哪一组实验次数最多；
（２）教师利用电子表格 （Ｅｘｃｅｌ）统计各组数据，并将其转化成频率折线统计图展示出来；
（３）教师帮助学生汇总各组数据，生成并展示频率折线统计图；
（４）观察全班的折线统计图，初步探索变化规律。
３．计算机模拟实验
利用计算机进行较大次数 （几千次或几万次）的模拟实验，并绘制折线统计图。学生观察折线统计图，进一步感受频率的变化情况。
４．归纳总结，得出规律
当试验次数很大时，试验频率稳定于理论概率。
［设计说明］
① 让学生设计实验，而不是教师设计实验，即学生出主意想方法，其目的是使学生明确试验的目的，理解并把握试验程序及其意义，进而在实验中不断地校验自己的行为，克服被动执行教师的指令而不知所为的弊端。这样的活动设计有利于发展学生的认知自我监控能力，有利于提高学生的原认知水平，使学生的学习活动达到 “做数学”的水平，从而培养学生创新的意识和能力。
② 以小组合作实验为先导，通过各小组实验次数的有限次累加，初步感受频率变化的基本特征。在此基础上，利用计算机模拟技术，进一步凸现频率变化的基本特征，对频率趋于稳定形成尽可能完整的认识，从而加强学生的视觉刺激和心理感受，为学生总结归纳结论奠定基础。
③ 通过归纳总结，学生把自己感悟到的东西用语言表述出来，这一过程，不仅完成了默会知识向明确知识的转化，使活动的结果提升到更高的数学化层面上来，而且发展了学生的合情推理能力和口头表达能力，促进了思维的发展。
④ 通过该环节的活动，学生经历了 “猜测———实验设计———收集数据———分析实验结果———估计概率”的完整过程，初步体会科学研究的基本过程。
（三）活动三：问题拓展，总结提升
（１）利用计算机探索两次都摸到黄球或两次都摸到白球的频率变化情况。
（２）确定不均匀瓶盖盖面与地面着地的概率。
［设计说明］
① 利用计算机技术，对另外两种情况中的一种情况进行模拟实验，再一次观察频率的变化情况，探索频率与概率的关系，从而进一步验证和强化上述结论。
② “不均匀瓶盖”问题是学生不能利用树状图方法解决的问题，因此，通过求 “不均匀瓶盖盖面着地”这一随机事件发生的概率，可以使学生进一步认识到，利用实验方法确定随机事件概率的数学思想。
③ “不均匀瓶盖盖面着地”问题并不需要学生动手实验，只要学生能认识到用实验方法解决即可。
（四）活动四：回顾小节，布置作业
（１）回顾反思本节课的学习收获。
（２）作业：探索不均匀瓶盖不同面朝上的概率。
［设计说明］
① 通过反思本节课的活动过程，使学生认识到：用实验法估计随机事件概率是一般性的方法，即便是通过理论分析可以解决的问题，也可以通过实验的方法解决，但是，有些问题只能通过实验方法解决。
② 通过课外作业进一步体验利用实验法估计随机事件概率的思想和方法，把课堂活动延伸到课外，为下一节课作准备。
（五）几点说明
１．关于活动的设计
课堂教学过程共包含四个活动，每个活动既相对独立，又存在着不可分割的内在联系。活动一的主要目的是探索理论概率，为活动二提供比照对象，同时提出问题：概率与频率之间有怎样的关系？活动二主要从试验的角度探索概率与频率的关系。活动三主要对活动二进行补充和完善。活动四主要对活动二的结论进一步认识。活动二是本节课的核心活动，因此，要给予充分的时间，让学生充分活动，获得尽可能深刻的体验。
２．关于计算机介入教学过程
以计算机为核心的现代信息技术究竟在教学中怎样发挥作用，一直是数学教育研究者和数学教师不断探索的问题。计算机进入数学课堂教学的基本原则是，计算机要有助于学生的学习，有助于学生思维的发展。
频率稳定与概率，这一结论要在实验次数较大时才能得到。因此，教学设计中，首先让学生动手实验，在此基础上，教师利用计算机的模拟功能进一步在短时间内完成更多的实验次数，以弥补学生动手实验次数不足可能产生的 “误差”，使学生的思维不知不觉地从亲自动手获得直接体验过渡到计算机 “动手”获得间接体验，给学生一个更为精准可信的结果，进而增加了学生对结论的认可程度。
此外，利用电子表格可以迅速完成数据统计和折线统计图的绘制工作，从而减少具体统计计算活动对学生思维的干扰，使学生的思维集中在观察试验次数与折线统计图走向上，进而更加深刻地体验实验的思想和结论。
如果没有计算机技术的介入，仅仅通过学生进行有限次的实验，其结果很有可能体现不出频率趋于稳定的特征，甚至可能得出频率稳定于其他某一数值而非理论概率值。这种情况下，由于学生的亲身体验胜于教师的说教，即便教师指出实验过程中可能出现的种种误差或实验次数不够多等因素，学生的 “不良”体验也将会严重地影响学生对 “频率稳定与理论概率”的信任程度。此时学生的动手实验不但未能得出结论，反而影响了学生对结论的认可程度，最终 “屈服于”书本和教师。
３．关于教学目标的确定
确定教学目标不仅要遵从数学知识的发展规律，还要充分考虑学生的认知发展水平。由于本设计缺乏教学对象的针对性，所以笔者主要是从数学知识和思想方法发展的规律和学生的一般认知规律出发进行教学设计，没有考虑学生的具体认知发展水平。
４．关于动手实验经验
直接影响观念的形成和发展，特别是在观念形成初期。动手实践是积累直接经验的有效途径，也是获得深刻体验的有效途径。因此，学生动手实践是学习新知识的一个基本途径。
频率与概率的关系是比较隐秘的，它们之间的联系不能够通过逻辑关系推衍出来，而是需要大量的实验才能显现出来。这就需要学生亲自在课堂上进行尽可能多的试验，积累直接经验，进而从直接积累的经验中推演出频率的稳定性及 “当实验次数较大时，频率稳定于理论概率”的结论。
六、教学过程设计
（一）活动一
问题１：谈谈你最喜欢的篮球明星的情况。
教师与学生行为：教师播放ＮＢＡ篮球明星的精彩表演。学生观看并畅谈自己喜爱的篮球明星的情况。
［设计说明］以学生课余生活中感兴趣的话题引出本课，不仅吸引学生的注意力，而且为本节学习频数和频率的概念提供现实背景和生活素材，体现了数学来源于实践的思想。
问题２：老师有四段篮球比赛的录像，其中每段中有一位篮球明星，但由于时间关系，只能播一段，不知道应该播放哪一段能让大多数的同学都满意，你能帮老师想一个办法，并具体实施一下吗？
教师与学生行为：学生提建议，想办法，达成共识，即在班级中普查最喜欢各个球星的人数，哪个人数最多，就播放哪一段录像，然后采取举手表决的方法由一名同学亲自收集数据，并注意说明规则，每人只许举一次手，并且只举一次。
教师帮助记录数据，并由此讲授频数的概念。此次活动中，教师应重点关注：
（１）学生对频数概念的理解。
（２）学生能否想出解决问题的方法。
（３）学生在活动中的积极性及参与意识。
［设计说明］
① 此处设计为一次全体活动，全体同学共同参与到活动中来，调动了全体学生的积极性。
② 在具体情景中讲授频数的概念，使学生更易于理解频数的概念，并感受学习频数概念的必要性，感受频数可以衡量对象出现的频繁程度。
③ 学生亲自思考解决生活中遇到的实际问题的方法和策略，并亲自解决，体验成功的喜悦，克服学习中的畏难情绪。
（二）活动二
问题：你能选择一种统计图形象地表示上面调查结果中频数的大小关系吗？
教师与学生行为：学生独立完成统计图的选择和绘画，画好之后，与组内同学交流自己的统计图并说明从统计图中获得的信息。
教师查看同学画的统计图，对有困难的同学给予适当的指导，在小组交流的过程中，倾听学生的想法，并注意引导学生分析所选择的条形统计图、扇形统计图各自的优越性，对于个别同学选择的折线统计图，教师要帮助他们分析其对于此问题来说不科学的一面。
学生展示作品并进行说明。
教师由扇形统计图讲授频率的概念。
在此次活动中，教师应重点关注：
（１）学生选择的统计图是否合理。
（２）学生在交流的过程中是否能清晰地表述所选择的统计图中所获得的信息及条形统计图和扇形统计图各自的优越性。
（３）学生对频率概念的理解。
［设计说明］
① 由扇形统计图讲授频率的概念，更易于学生理解和掌握，深化对频数和频率的概念的理解程度，感受频数和频率都可以用来衡量对象出现的频繁程度，而且频率反映频数的分布规律。
② 在交流的过程中，让学生感受解决问题方法的多样性，体会交流的必要性。
（三）活动三
问题１：我想知道在全校同学中，最喜欢这４个球员中哪一个的人数最多，应该采取哪一种调查方式？
教师与学生行为：学生发表见解。（采取抽样调查的方式）
教师对学生的见解进行剖析。当总体中个体数目较多时，一般采取抽样调查的方式，但要注意样本的广泛性和代表性。
［设计说明］
① 由解决一个班的问题过渡到解决全校的问题，让学生体会抽样的必要性，及样本应具有广泛性和代表性的特点。
② 让学生经历数据的收集、整理、计算的全过程，进一步深化对频数和频率概念的理解，感受当样本扩大时，频数和频率的变化规律，并在合作的过程中培养学生的合作意识。
问题２：当班级数依次增加时，累计 “Ａ”和 “Ｄ”出现的频数，并计算频率，填入表格。频数和频率有什么样的变化规律？
教师与学生行为：学生以小组为单位累计所抽取的六个班调查结果中 “Ａ”和 “Ｄ”出现的频数，计算频率，填入表格。发现当班级数依次增加时，频数随之增大，但频率时而增大，时而减小。
教师深入小组进行方法和合作技巧的指导。
［设计说明］通过亲身实验，让学生发现频率的稳定性，体会用样本估计总体的思想。
问题３：根据以上计算得到的数据，绘制频率变化折线统计图。你能发现什么规律？
教师与学生行为：学生以小组为单位作图，并交流从统计图中发现的规律。
教师引导学生发现频率的稳定性。
在此次活动中，教师应重点关注：
（１）学生对抽样调查知识的理解程度。
（２）学生是否能完成折线统计图，并从图中发现规律。
（３）学生是否敢于发表自己的见解，在合作过程中是否能想方设法分工合作，提高效率。
（四）活动四
问题：你能举出一些生活中应用频数和频率的例子吗？
教师与学生行为：学生各抒己见，举例说明。
教师对学生给予鼓励。
此次活动中，教师应重点关注：
（１）学生是否能将所学的知识与实际生活相联系。
（２）学生是否能清晰地表述自己的想法。
［设计说明］以生活中广泛应用频数和频率的例子结尾，让学生感受数学来源于生活，又服务于生活的实质，养成用数学的思维和方法解决生活中遇到的实际问题的习惯。
（五）活动五
作业：做一做。
（１）你认为哪个汉字的使用频率最高？
（２）看法相同的几个同学组成一个小组，设计一个简单的调查方案，粗略地估计一下它的使用频率，并将调查结果在全班交流。
教师与学生行为：学生以小组为单位，利用课下时间充分交流、讨论，寻找解决问题的方案，并具体实施，上交组内统计数据及结果。
教师组织学生在班内展示成果，组与组之间互相交流意见。
此次活动中，教师应重点关注：
（１）学生的参与意识及合作精神。
（２）学生解决问题方法的合理性与实用性。
［设计说明］
① 以学生感兴趣的话题为作业，巩固本节课的内容，提高学生的学习兴趣。
② 为学生创设课下交流、讨论的情景与机会，更有助于融洽同学关系，养成随时随地对身边的数学问题进行交流、讨论的习惯。
七、教学反思
１．关于教学目标
在义务教育阶段，学生学习统计的核心目标就是发展自己的统计观念，新课标也首次将统计观念作为义务教育阶段数学课程的重要目标之一，而统计观念又绝非等同于计算、画图等简单技能，而是一种需要在亲身经历的过程中培养出来的感觉，具备从统计的角度思考问题的意识。正是如此，我为学生设计了一个学生感兴趣的情境，使其贯穿于整节课的始终，随着问题的变化，引导学生完成对频数和频率的学习，感受频率的稳定性，体会用样本估计总体的思想，并让学生经历收集数据，整理数据，运用数据描述信息，作出推断的全过程，使学生在具体情境中，在亲身经历的过程中，潜移默化地发展统计观念，养成从统计的角度思考问题的习惯。
２．关于教材处理
首先，教材给我们提供了丰富的学生喜闻乐见的情境，同时，新教材更应该成为教师的一个资源库，教师应该针对地区特点，学校特点，班级学生特点，有效地利用教材，而不能生硬地完全照抄照搬。在设计本课时，我首先注意到由于篮球对场地的要求相对足球来说较小，学生在课余时间更多地参与的是篮球运动，因此，学生更乐于谈论篮球明星。其次，我国的篮球比赛成绩优于足球成绩，更有姚明在ＮＢＡ的出色表现，易于激发学生的兴趣。第三，在学习本节的时候，我校正在开展校园篮球比赛，学生对篮球的热情空前高涨。
基于以上原因，在具体情景的选择上我选择了篮球明星。
此外，教材中利用观察折线统计图，随着统计页数的增加，“的”字和 “了”字出现的频率的变化规律，让学生感受频率的稳定性，体会用样本估计总体的思想。我在设计这一环节时，想让学生亲身经历数据的收集、整理、计算过程，最后完成统计图的全过程，而教材中的情境在课堂较短的时间内不易于操作。并且，我想让学生在此与前一环节进行对比，体会普查与抽样调查两种调查方式的选择，当总体中个体数目较多时，人们往往需要采用抽样调查，让学生在此感受抽样的必要性。因此，为了达到上述目的，我扩大了总体中个体的数目，沿用了上一环节的情境，而把教材中 “做一做”的内容———调查哪个汉字的使用频率最高，留成了课后作业，给学生充分的调查、交流、讨论的时间和空间。
３．关于教学方式
根据频数与频率这节课的特点，为了让学生亲身经历统计的全过程，我设计了以活动为主的教学方式。其中包括全体活动、小组活动及个人活动，通过一次次的实验活动，完成对本节课的学习。
全体活动是刚上课时由一名同学在班级中调查最喜欢的球员的人数，使全班同学都参与到活动中来，吸引学生的注意力，为下面学习频数和频率的概念提供现实背景及生活素材。
本节课我共设计了三次不同目的、不同任务的小组活动，力求使小组活动这一新型的课堂教学方式不流于形式，真正发挥对课堂教学的促进作用。
第一次小组活动的任务是让学生在独立完成统计图的选择和绘制后，与组内的同学交流所选择的不同的统计图及从统计图中获得的信息，感受频数和频率都是用来衡量对象出现的频繁程度的量度，并在交流的过程中，听取其他同学的想法，感受解决问题的多样性。此次小组活动主要以交流为主，体会交流的重要性。教师主要发挥组织者的作用，倾听学生的想法，协助学生用自己的语言合理清晰地表达自己的思维过程，并解释其选择的合理性。
第二次小组活动的任务是完成六个班统计数据的整理、计算、观察频数和频率的变化规律。这一环节任务量较大，单独依靠个人的力量在短时间内很难完成任务。因此，此次小组活动主要以合作为主，体会合作的重要性。教师主要发挥合作者的作用，参与到小组中去，与学生合作，共同完成任务。
第三次小组活动的任务是绘制频率变化折线统计图，感受频率的稳定性，体会用样本估计总体的思想。由于此次小组活动任务量不大，因此，我把原来６人一组的小组细化为３人一组，使组内的所有人员都参与到活动中去。此次小组活动主要以合作为主。
三组不同任务、不同目的、不同形式的小组活动层层深入，使学生在交流、合作的过程中完成对本节课的学习，体现了小组活动在课堂教学中的优势，达到为课堂服务的目的。
个人活动是独立完成反映４个球员出现频数大小关系的统计图的选择和绘画。由于此次活动任务的难度较小，学生已经在七年级的学习过程中掌握了这部分知识，学生依靠个人力量可以完成。因此，此次我设计为学生独立完成。
本节课虽然以学生活动为主，但也没有完全抛弃教师的讲授，对于一些纯数学的概念及知识，教师的讲授仍是必不可少的。例如，本节课频数、频率的概念就是由教师讲授给出的。而且在本节课的教学中，我也非常重视本节新知识与旧知识之间的融合，例如本节课在全班中调查最喜欢的球员人数和在全校中调查最喜欢的球员人数，分别采取了不同的调查方式，进一步联系了前面两节课中普查和抽样调查的知识，有助于学生梳理知识脉络，对本节课的内容有一个全面的认识。
八、点 评
这篇案例是为适应公开课的需要而设计。整篇案例围绕四个活动而展开：
第一个活动，在全班中调查最喜欢各个篮球明星的人数，进而讲授频数的概念。这一活动以具体的情境为背景，确实能使绝大多数学生参与到数学活动中来，这既调动了学生学习的积极性，也使频数概念的引出更符合实际需要。
第二个活动，画统计图，形象地表示频数的大小关系，并由扇形统计图讲授频率的概念。这种活动的设计符合学生的认知规律，从学生画扇形统计图出发，讲授频率的概念，更易于学生理解和掌握。
第三个活动，利用对全校的６个班的调查数据，统计当班级数依次增加时，Ａ和Ｄ 出现的频数，并计算出频率，填入表格，根据计算得出的数据，画频率变化统计图，观察频率的变化趋势。这项活动，可以让学生亲身经历统计活动的全过程，初步体会频率的稳定性，有意识地引导学生体会用样本估计总体的思想，逐步发展统计观念。
第四项活动，例举频数和频率在实际生活中的应用。这项活动由学生举出生活中应用频数、频率的例子，可以有意识地培养学生从统计的角度思考生活中的实际问题的习惯，发展应用意识。
总之，这篇教学设计的出发点明确，实际的教学效果也是比较理想，尤其是这篇教学设计的结构清晰，简明，能够较好地体现 “频率与概率”之间的关系，从公开课的情况看，这是一篇比较成功的教学设计案例。
（教学设计：沈阳市皇姑区教师学校谢慧，沈阳市皇姑区第三十三中学王琼；执教：王琼；点评：辽宁省基础教育教研培训中心景敏）
九、我的感悟（作为读者的您，对这篇案例的看法）
作者: 李甫田 时间: 2008-8-6 00:30
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
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第五章 统计与概率案例分析
案例５ 极差、方差与标准差
一、课 题
极差、方差与标准差 （第２课时）
二、教 材
义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，华东师范大学出版社）八年级下册第１３４～１３８页。
三、教学内容分析
本节课是八年级下册第二十章第二节第二时，意在第一课时学习了极差概念的基础上学习方差与标准差的概念。
与极差的概念相比，方差、标准差的概念比较难理解。教材通过具体实例引出概念，通过对具体模型的直观认识，抽象出两个概念的定义。当然，作为典型的概念课，给学生提供一定的切身体会、深入思考的空间，使教学所必需的。
教学重点：方差的意义与计算。
教学难点：方差的意义。
四、教学目标分析
（１）了解方差、标准差的意义，会求一组数据的方差和标准差；
（２）根据方差与标准差的大小，能比较与判断具体问题中有关数据的波动情况；
（３）让学生经历知识的形成过程，体验方差在实际生活中的运用；
（４）进一步培养数学应用意识，以及认真、耐心、细致的学习态度与学习习惯。
五、设计说明
（１）为了帮助学生理解方差的概念，进而真正掌握方差的概念，在设计中，必须特别注意概念的形成过程。在教师的引导下，既要关注学生的自主探究、合作交流，又要从 “形”的角度获得感性认识，同时，从 “数”的角度获得理性认识，在 “数”与 “形”的有机结合中形成概念，并体验成功的乐趣。
（２）教学设计的基本环节是， “创” （创设情景激兴趣）、 “探”（探索新知有合作）、“导”（指导应用重规范）、“练”（练习作业助落实）、“思”（归纳反思促提高）等。
六、教学过程设计
（一）创设情境，提出问题
１．提出问题
教师利用电脑显示如下问题：
甲、乙两台机床同时生产直径是４０ｍｍ的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出１０件进行测量。测量结果如下 （单位：ｍｍ）：
问题：如果你是一名经销商，那么在甲、乙两台机床生产的零件中，你更愿意采购哪台机床生产的零件？
点评：设计者力求创设一种教学情境，提出与学生思维 “最近发展区”相适应的一些实际问题，并以此作为教学的出发点。这样做，可以达到充分激发学生好奇心和求知欲的目的。
２．深入分析、思考
学生深入思考，热烈讨论，不久就发现 “两组数据的平均数相同，无法比较”。
此时教师启发：“你能否利用你手中的网格纸采用数形结合的方法分析一下呢？”
（学生在网格纸上描出了上述表中各数据对应的点，得到图１。）
３．全班交流
教师及时引导学生进行全班交流。
在分组讨论中，有的小组将其所得图１放在投影仪上，从图１中可看出机床乙生产的合格产品比机床甲生产的合格产品要多。
有的小组将图１中的各点用折线顺次连接得图２和图３。
点评：活动是实现综合目标的有效支点， “教师主导”尽可能“让步”于 “学生主体”，让学生有独立思考、自主实践的时间，这样做能够营造 “生生互动”的学习氛围。
教师总结归纳：图２、图３中的两幅图直观地显示出：
在平均值相等的情况下，机床乙所生产的１０个零件的直径在符合规定方面比机床甲更好，进而应该选择机床乙。
４．进一步启发、引导
教师进一步引导，从上面的图１中，我们很直观地看了甲乙两组数据中合格品的个数，但还是没能直观地发现两个样本的区别。
提出进一步的问题，学生经过一定时间的思考，得出如下结论：
（１）从图２中，能直观地看出各数据的变化情况。
（２）从图３中，能直观地反映出数据与４０相差的情况。
教师及时总结归纳：图２、图３给我们直观地显示出，在平均值相等的情况下，机床乙生产的１０个零件的直径在符合规定方面比机床甲更好，从而应该选择机床乙。
５．探 究
针对图３，教师引导学生动手计算，比较、判断数据的波动状况：
探索１：观察图３中各点偏离标准线的程度，取其平均值，即先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，请同学们计算一下。（学生自己开始计算）
甲：（０＋０.２＋０.１＋０.２＋０.１＋０＋０.２＋０.２＋０.２＋０.２）＝０.１４
乙：（０＋０＋０.１＋０＋０.１＋０.２＋０＋０.１＋０＋０.１）＝０.０６
（通过计算，学生会发现甲组数据比乙组数据波动大，前者约为后者的２.３倍）
探索２：引导学生求得各个数据与这组数据的平均数的差的平方，再取其平均数。
甲约是乙的３.２倍。
（通过观察，比较，归纳，学生大都能认识到，在衡量一组数据波动大小的 “功能”上，探索２得到的方法比探索１的方法更好。至此，揭示方差的概念的时机已经成熟。）
教师板书课题：方差与标准差。
６．抽象概括，揭示概念
（板书定义）
方差的意义：设在一组数据ｘ１，ｘ２，…，，…，ｘｎ中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是那么我们用它们的平均数，即用来衡量这组数据的波动大小，并把它称为这组数据的方差。
教师进一步指出：
（１）一组数据方差越大，说明这组数据波动越大；
（２）由于这说明选择机床乙是有理有据的；
（３）方差的单位与样本数据一样，并且都是原数据的单位的平方。
（二）指导应用，深化理解
例１ 已知两组数据：
甲：１０?８ １０?９ １１?０ １０?７ １１?２ １１?１ １０?８ １１?０ １０?７ １０?９
乙：１０?９ １０?９ １０?８ １０?８ １１?０ １０?９ １０?８ １１?１ １０?９ １０?８
分别计算这两组数据的方差。
（解题过程略。）
（让学生分析解题思路，教师板书示范，意在让学生弄清计算方差的一般步骤：先算平均数，再求方差。）
教师进一步指出：衡量一组数据的波动大小，还可以用方差的算数平方根表示，即
称为这组数据的标准差。
前面提出的有关零件直径的例子中，两组数据的标准差分别是
注意，标准差的度量单位与样本数据一致，标准差越大，波动越大。
（三）反馈练习，落实新知
学生当堂完成教材第１３８页第１题。
（四）归纳小结，反思提高
（由学生完成）TRAAAAAA
（１）对于一组数据，有时只知道它的平均数是不够的，还需要知道它的波动大小。
（２）描述一组数据的波动大小的量不只一种，最常用的是方差和标准差。
（３）求一组数据的方差的步骤是先求这组数据的平均数，再利用方差计算公式求方差；求一组数据的标准差的方法是先求这组数据的方差，再求方差的算术平方根。
（五）分层作业，巩固新知
Ａ层：课本１３９页习题１题；
Ｂ层：课本１３８页习题２题。
七、点 评
这篇教学设计的突出特点，是概念的导入和形成比较精彩。对此，设计者充分注意概念形成过程的学习心理，通过问题导入概念的学习，并通过学生的自主探究与合作交流，从 “形”和 “数”两个角度获得对概念的认识，在 “数”与 “形”的有机结合中形成概念。
此外，就教学设计的基本设想来说，设计者安排的 “创 （创设情景激兴趣）、探 （探索新知有合作）、导 （指导应用重规范）、练 （练习作业助落实）、思 （归纳反思促提高）”的基本环节，结构明快，符合新的课程理念。
美中不足的是，与前两个环节相比，教学设计中的后几个环节略显得单薄些。
（教学设计：吉林大学附属中学王秀玲；点评：吉林省教育学院教研室：孟祥静）
八、我的感悟（作为读者的您，对这篇案例的看法）
作者: 李甫田 时间: 2008-8-6 00:32
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
第六章 课题学习案例分析
案例１ 制作一个尽可能大的无盖长方体
一、课 题
制成一个尽可能大的无盖长方体
二、教 材
义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，北京师范大学出版社）七年级上册。
三、教学内容分析
用一张正方形的纸制成一个尽可能大的无盖长方体，是 《全日制义务教育数学课程标准》“综合实践与课题学习”领域的一个内容。
对学生而言，这是一种全新的学习内容，也需要全新的学习方式。对这个课题的研究，需要学生综合应用已经学过的图形的展开与折叠、字母表示数、列代数式、求代数式的值，以及利用代数式的值探索代数式所反映的规律等方面的知识和方法。“制成一个尽可能大的无盖长方体”是非常现实的内容，而且有趣，富有一定的挑战性。通过这一课题的研究性学习，让学生进一步了解数形结合思想，发展学生的符号感；在学习中，学生经历了从实际问题中建立数学模型、分析、猜测、交流、推理和反思等过程，能够体会数学与现实生活的紧密联系，这将有利于学生更好地了解数学，应用数学，增强学生学好数学的自信心。通过主动学习、积极实践，学生的空间观念也可以得到进一步发展。
教学重点：数据的收集与处理。
教学难点：如何利用离散的值细化代数式的值，进而判断最值。
四、教学目标
（１）经历 “从实际问题抽象出数学问题———建立数学模型———综合应用已有的知识解决问题”的过程，进一步丰富学生的空间观念和符号感。
（２）通过借助已有的信息去推理事物变化趋势的活动，发展学生的推理能力，让学生积累研究问题的一些方法和经验。
（３）在几何知识、代数知识等的综合应用中，体会 “无限逼近法”的数学思想，感受数学的整体性，体会用实验、估算法研究问题的可行性，进一步体验数学知识之间的内在联系。
（４）通过经历克服困难和获得成功的体验，增进学生应用数学的自信心，形成对数学知识的深刻理解。
五、教法、学法设计
采用 “问题情境———建立数学模型———猜测———求解———推理与反思”的模式，体现了重结论更重过程的课程新理念。
六、教学过程设计
（一）教学准备阶段
１．准 备
一张边长为２０ｃｍ的正方形纸板，一个无盖的长方体，剪刀，直尺，透明胶，细沙。
２．操 作
展开一个无盖长方体。
（学生实际操作，为用一张正方形的纸制成一个尽可能大的无盖长方体的折叠打好基础。）
３．设 疑
一张正方形的纸要怎样裁剪，才能制作一个无盖的长方体？
［设计说明］留出足够的时间让学生充分思考，以便在课堂上可以用更多的时间尝试 “无限逼近”的数学思想。
（二）课堂教学过程
１．议一议
（１）若要用一张正方形的纸板制成一个无盖的长方体，你觉得应怎样剪？怎样折？与同伴进行交流。
（学生结合自己的课前准备，分组合作，使学生的学习过程成为发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程。
各合作小组挑选一名代表在黑板上演示，并口述说明：
只要在正方形纸板的四个角各剪去一个全等的小正方形便可折叠制成 （如图１所示）。
教师针对学生的出色表现，给予及时表扬，激励学生信心百倍地投入后续的学习中。）
（２）剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体的高有什么关系？
（学生观察，口答：相等。）
（３）若设这张正方形纸板的边长为ａ，所折无盖长方体的高为ｈ，你能用ａ和ｈ来表示这个无盖长方体的容积Ｖ 吗？
学生通过操作交流，列代数式，得出
２．想一想
（１）各小组折成的无盖长方体的容积是否相等？
（各小组之间用装细沙的方法验证：用透明胶将长方体粘好，将本组的长方体装满细沙，然后倒入相邻组制作的长方体中，通过沙的多少来判断无盖长方体的容积的大小。）
（２）随着剪去的小正方形边长的增大，所折长方体的容积如何变化？如何能更直观地表达这个变化趋势？
（让学生比较剪下小正方形与长方体的容积的大小猜想得出：剪下小正方形的边长越长，所得长方体的容积越大。）
３．做一做 （验证猜想）
（１）若剪去的小正方形的边长按整数值变化，即分别取１ｃｍ，２ｃｍ，…，１０ｃｍ时，折成的无盖长方体的容积将如何变化？请你制作一个统计图 （表），表示这个变化状况。
（借助计算器求代数式的值，制作统计表可以形象地表达这个变化，若制作折线统计图可以更直观地表达这个变化。）
（２）通过自己制作的表格，你发现了什么？
（小组合作，教师参与，各小组派代表发言：随着所剪去的小正方形边长的增大，容积先增大后减小。教师给予肯定，再次表扬，让学生感受成功的体验。）
（３）观察统计表，当小正方形边长取何值时，所得长方体的容积最大？
（学生通过制作的统计表得出：在这１０组数中，当边长取３ｃｍ时，容积最大为５８８ｃｍ３。）
表１
４．议一议
用边长为２０ｃｍ的正方形纸板，你能制作出容积尽可能大的无盖长方体吗？
［设计说明］这是第三部分 “做一做”的深入探究。
教师进一步设疑：是否存在容积大于５８８ｃｍ３的可能？
学生先独立思考，而后小组合作交流，结合制作出的统计表，观察无盖长方体的容积随剪去的小正方形边长的增大而变化的趋势：容积先增大后减小。
有的小组发现：可能当剪去的小正方形边长在３ｃｍ～４ｃｍ之间取值时，无盖长方体的容积Ｖ 大于５８８ｃｍ３。
探究出这个问题以后，教师设疑：若剪去的小正方形边长为小数，那么整数部分是几？如何来确定？
学生分小组合作，教师参与。
（这实际是通过加细代数式的值来考察无盖长方体容积的变化情况。）
５．做一做
在第三部分 “做一做”和第四部分 “议一议”的基础上，进一步细化代数式的值。
（１）若所剪的小正方形边长按０.１ｃｍ的间隔取值，即分别取３.１ｃｍ，３.２ｃｍ，…，３.９ｃｍ时，折成的无盖长方体的容积将如何变化？请你制作一个统计图 （表），表示这个变化状况 （借助计算器，小组合作，教师参与）。（在这一环节中，教材是以１ｃｍ，０?５ｃｍ，０?２５ｃｍ，…的间隔取值，而 本 节 课 创 造 性 地 运 用 了 教 材，以 １ｃｍ，０?１ｃｍ，０?０１ｃｍ，…的间隔取值，可以快速地将问题探究出来。）
（２）观察你做的统计表，你发现了什么？
（要求学生根据统计表中数据的变化，探索长方体容积的变化趋势和规律，再次得出：随着所剪去的小正方形边长的增大，容积先增大后减小。这一次学生得出结论所用时间较上一次的短，教师给予鼓励。）
（３）观察统计表，当小正方形边长取何值时，所得长方体的容积最大？
（学生口答：当边长取３.３ｃｍ时，容积最大为）
６?试一试
若所剪的小正方形边长按０.０１ｃｍ的间隔取值，则十分位应取几？制作统计表，你又发现了什么？
若所剪的小正方形边长按０.００１ｃｍ的间隔取值呢？
（学生按刚才的思路，分小组合作，进一步细化代数式的值，考查无盖长方体容积的变化情况。其中，有的小组发现：每一次按不同的间隔取值，没有必要９个数据都算出来，只要最大值出现即可。这样可以减少运算量，将节省下来的时间多取几个间隔进行估测。）
７．预测与评估
要使所折成的无盖长方体的容积尽可能大，如何确定剪去的小正方形的边长？
在教师的引导下，学生结合自己制作的细化统计表，探索规律。
（学生相互补充：用边长为２０ｃｍ的正方形纸板，四个角各剪去４个全等的小正方形，当小正方形的边长取３?３３３…ｃｍ，即尽可能接近时，折成的无盖长方体的容积将尽可能大。）
８．反 思
由学生谈体会，说感想，讲收获。（学生相互补充：在解决实际问题时，可以先把实际问题抽象成数学问题，建立数学模型，再综合应用所学的知识解决问题。在本节课中，寻找到用一个正方形制成一个尽可能大的无盖长方体的方法，运用了无限逼近的数学思想。）
９．布置作业
（１）用边长为３０ｃｍ的正方形纸板，如何才能制作出容积尽可能大的无盖长方体？
（作为对课堂学习的延续。）
（２）将本节课的收获与感悟整理下来，存放在成长记录袋中。
七、教学反思
１．成功之处
（１）课堂教学设计生动有趣，步步深入，有效地调动了学生学习的积极性。
（２）体现了学生学习的主体地位， “以学促教”，而教师是组织者、合作者、帮助者。师生之间建立了平等和谐的关系。
（３）采用 “从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已学过的知识解决问题”的模式，教学环节过渡自然，体会深刻。
（４）有效地调动了学生学习的兴趣，学生独立思考与合作交流相结合，较好地培养了学生的创新思维与实践能力。
（５）注意体现数学教学中的理论联系实际原则。
２．存在问题
在用 “加细”代数式的值考察无盖长方体容积的变化趋势时，学生讨论的时间过多，教师对教学的监控能力发挥不够理想。
八、点 评
在本节课的教学设计以及课堂教学中，教师提供的问题情境启发、设疑恰到好处，比较好地体现了 “教师是组织者、引导者，学生是学习的主人”的教学理念；学生通过观察、分析和操作，始终处于积极主动的状态，课堂气氛十分活跃。
结合现实生活中蕴含的大量数学知识，学生不但理解了所学的知识，而且培养了创新精神和实践能力，丰富了学生的情感体验和社会经验。
从基本环节上看，这篇案例结构比较明快，学生活动比较充分，体现 “课题学习”领域的综合学习、数学建模等比较突出。
（教学设计与执教：青岛市第二十七中学曲翠花、孙爱军；点评：青岛市教研室江守富）
九、我的感悟（作为读者的您，对这篇案例的看法）
作者: 李甫田 时间: 2008-8-6 00:34
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
第六章 课题学习案例分析
案例９ 测量树的高度
一、课 题
测量树的高度
二、教 材
九年义务教育三年制初级中学教科书几何 （人民教育出版社）第三册；义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，北京师范大学出版社）八年级下册。
三、教学内容分析
这是一节有关 “高度测量”问题的专题综合课。不仅 《大纲》下的教材 《几何》（人民教育出版社）第三册有涉及，而且义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，北京师范大学出版社）八年级下册设有专门的一节 “测量旗杆的高度”。
“树的高度”测量问题对初中生来说，不仅现实，而且富有挑战性。通过对 “树的高度”不同测量方案的探究，学生能够经历三角形相似等知识的综合运用过程，感悟数学的应用价值，体验成功的喜悦和合作的愉快。这样的素材对于培养学生的数学应用意识和实践能力十分有效。
教学重点：综合运用所学知识解决树高的测量问题。
教学难点：在不同条件下、解决实际问题的过程中，数学操作活动的原理及其方法的选取。
四、教学目标
（１）在具体情境中进一步理解有关相似三角形的概念及性质、三角函数等知识。
（２）应用相似三角形的概念和性质、三角函数等知识解决测量树高等有关的实际问题。
（３）进一步培养数学问题意识，提高分析问题、解决问题的能力，积累有关数学操作的活动经验。
五、教学过程设计
１．创设情境，提出问题
问题：底部可以到达，但顶部不能到达的物体高度的测量。
情境：打开多媒体播放器，伴随着音乐，屏幕上出现了一名小学生蹦蹦跳跳去上学的场景，她看见路边有一颗大树，银幕上飞出一行字——— “它有多高呢？该如何测量呢？”这时，画外音响起，同学们，你能帮她想出一种测量方案吗？请得髂愕姆椒ā?/p>
解题要求：画出测量图形，写出测量步骤和必须测量的数据，并根据测量数据写出计算树高的公式。
点评：情境引入自然，贴切，能激发学生的好奇心和强烈的求知欲。
２．自主探索，尝试发现
学生活动：学生独立思考，自主探究。这时，课堂内非常安静，教师巡视其中，不时给学生以启发和点拨。
交流：７分钟过去了，绝大多数学生都找到至少一种测量方案，教师建议他们以小组为单位彼此交流各自的想法。
这时，教室里一下子热闹起来，学生之间的交流非常热烈———彼此欣赏或评价，互相吸纳和借鉴。
教师参与学生的讨论之中。
点评：这一环节较好地体现了学生学习方式的转变，学生由被动的接受式学习变为自主性学习、合作性学习，这较好地体现了新的课程改革理念。
３．探究辨析，解决问题
（１）成果展示阶段。
教师提出进行全班交流、展示的教学要求。
学生们争先恐后地展示自己的设计方案，限于黑板的容量，教师利用实物投影仪不断地展示学生们的作品，力争让更多的学生的方案得以充分展示，最大限度地满足学生的表现欲。
点评：给学生思考、交流的时间和空间是被动学习方式转变的标志之一。这里的做法正可谓百花齐放，百家争鸣。
（２）学生讲评阶段。
学生分别介绍自己 （或本小组）的方案。
规则：谁提供设计方案，谁来主讲，大家评判。
方案１ 如图１，我知道自己身高ＣＤ＝ｂ（指眼睛到地面的距离），在地面上任选取一点Ｄ，测出树顶仰角α，再测出Ｄ 到树底部距离ＤＢ＝ａ，可求出树高ＡＢ＝ｂ＋ａｔａｎα。
方案２ （还未等同学们评判，立刻站起来）我们可以将方案１改进一下，只要恰当地选取Ｄ点，使得树顶仰角α＝４５°，树高ＡＢ＝ｂ＋ａ。
（学生２话音刚落，掌声响起）
方案３ 可以用小镜子，利用平面镜测树高：如图３所示，在地面的一点Ｏ处放一个平面
镜，沿直线后退，直到恰好能从镜中看到树的顶端为止，这时，只要测出ＤＯ和ＯＢ，以及自己的身高ｈ，就可求出树高
方案４ 如果没有小镜子，也可以找一个盛水的工具，盛满水，利用树尖Ａ 点在水中的反射影子，同样可以测得树高。
教师适时引导，启发，有针对性地鼓励学生开动脑筋，想出好的办法。考虑测量工具、客观条件等的限制。
方案５ 我们可以利用太阳光线测树高，如图４，先测出小女孩的身高ＣＤ和影长ＤＥ，再测出树的影长ＢＦ，利用图２、图４中的△ＤＣＥ∽△ＢＡＦ，可求得树高
方案６ 如果要是阴天没有阳光，地面上没有树影，方案５的办法就行不通了。我有一个简单的方法：如图５，将左右拇指、食指组成一个方框，移动脚步与手，使树恰好全部进入眼睛。测出此时人与树的距离ＧＥ，手与眼的距离ＥＦ，手指组成的方框高度ＣＤ，由则可测得树高：
方案７ 方案６中的手指组成的方框宽ＣＤ易变，不准确，若将一张纸剪出个圆洞代替手指，而圆的直径是不变的，计算出的树高会更准确。
（这时，掌声四起，师生们都沉浸在成功的喜悦之中）。
方案８ （在投影仪上展示一张他在一棵大树旁的照片）这是一张我外出旅游时的照片，我只要量出照片中自己的高度和树的高度，再测出自己实际的身高，利用相似就可以求出照片中树的实际高度。
教师评价：我们可以利用他的办法测量出照片上物体的高度。让我们为他的奇思妙想喝彩。
方案９ 大家把问题想得太复杂了，可以拉根绳子爬上树直接测量绳子长，多简单。（他的话把同学们都逗笑了）
师生评价：对于小树我们可以采取的你的办法直接测量，而大树的顶部不能到达，应采用间接办法测量。
点评：此环节为学生创设了各抒己见、展示自我的天地，使得学生能在活动中学习，在探究中体验，在辨析中发展，充分体现了以???魈宓目?攀浇萄?枷搿?/p>
４．创设情境，拓展问题
问题：如何测量底部和顶部都不能到达的物体的高度？
当学生们沉浸在成功的喜悦中时，教师再设疑问：在上述解决树高的问题中，你运用了哪些数学知识？
学生们很快答出：
（１）运用了相似三角形的知识 （如平面镜法，影长法等）。
（２）解直角三角形。
教师用计算机演示学生中出现的典型方案，并提炼和升华出基本模型。同时提出：在生活中，如何测量底部都可以到达的物体的高度？
点评：一石激起千层浪，一个个设问又将学生带进思维的海洋，放飞他们想象的翅膀。
课堂再掀起高潮，学生们兴奋地回答，教师点击电脑，伴着潺潺流水声，飞出一幅 “江边垂杨”的风景画，画外音响起：站在江边看江对岸的垂杨，它的高度如何测量？你能想出测量方案吗？请你画图
说明。（注：不能直接过江测量，可以使用的测量工具有测角仪和米尺）
学生独立探究后小组内交流，最后全班交流。
全班交流：如图６所示，在河这一岸取Ａ，Ｂ两点，使Ａ，Ｂ两点和树底部在同一直线上，站在Ａ处看对岸树顶仰角为α，后退至Ｂ处，再测树顶仰角为β，测出身高ａ，后退距离ＡＢ＝ｂ，则得树高
５．归纳总结，拓展延伸
教师归纳，总结：在生活中，除了树高问题，我们还会遇到哪些高度的测量问题？是不是可以用类似的方法解决？
点评：这又是一个开放性问题，可以对前面的问题进行及时的提炼和升华。
学生思考，讨论：山高、楼高、塔高、人高等，可以用类似的方法解决。
６．布置作业，发展能力
（１）利用课堂中的材料，编１～２道有关高度的测量问题，并解答。
（２）留心观察生活中的高度测量问题，是否会有什么新发现？
点评：布置的作业注意减轻学生的课业负担，引导学生观察生活，学会数学地思考问题。
六、课后反思
（１）轻松愉快的４５分钟过去了，可是师生还沉浸在课堂的兴奋之中。我想，学生对高度的测量问题的思考还在延续，这个问题或许会伴随着学生成长而发展……
在这节课上，我通过巧设问题情境，以开放、探究性问题为引线，激发学生的好奇心和求知欲，坚持以学生自主探究为主的开放式教学，给学生充足的思考时间和充分的展示机会，真正点燃了学生思维的火花，学生的想象力和创造力令人惊讶，课堂上不同层次的学生都有成功的体验，不同的人有不同的收获。
（２）通过这节课，我深深感受到学生的创造潜力是座金矿，就看老师如何去开采。给学生难易适中的题目，放手让他们自己去探究，发现；给学生恰当的认知冲突，让学生自己去讨论，解决；给学生一个自由发展的空间，他们会回报你一个惊喜。
（３）不足之处：由于课堂时间有限，尽管在课前对开放性问题的设计已经反复推敲，但是仍显得有点拖拉，不紧凑。如果在学生探索、交流、讨论的时间控制上再紧凑一些，对开放 “度”的调控再及时一些，效果或许会更好。
七、点 评
在课堂教学中，教师不是知识的讲授者，而是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同的研究者，只有这样才能真正实现教师角色的转换。
从这节课可以看出，任课教师非常重视学生创新意识的培养，重视 “情感教育”、“赏识教育”、“创新教育”的落实。在这节课的课堂上，凡是学生提出来的方案，只要合理都能得到充分的肯定和积极的评价，这样的确激发了学生的求知欲望和探索精神。
在这节课中，学生的解题策略是开放的，前后共出现了１２种方案，其中１０种是可行的精彩方案；学生对方案的分析透彻，思维敏捷。课堂气氛活跃，掌声不断，高潮迭起。
在这节课上，虽然任课教师使用的是旧教材，却讲出了新意。教师通过重组教材，精心设计开放性问题和探索性问题，较好地训练了学生的发现思维和求异思维。
这篇教学设计以全新的教育观念，独具匠心的问题设计，给学生提供了广阔的思维空间和展示舞台；多方位体现了以学生为主的开放式教学，给人以耳目一新的感觉。美中不足的是，课标教科书还要求学生经历实际测量的过程，这本身就是教学目标之一。（但需要２课时而不是目前的１课时）总之，这是一篇非常有创意的教学设计，也是一节成功的展示课。
（教学设计：吉林大学附属中学孙丽娟；点评：吉林省教育学院教研室孟祥静）
八、我的感悟（作为读者的您，对这篇案例的看法）
作者: 今夕何夕 时间: 2008-8-7 10:13
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
有什么用吗
作者: 我们在一起 时间: 2008-8-8 11:42
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
学的怎么样
作者: dyrcj 时间: 2008-9-7 19:29
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
理论
作者: 花开花落 时间: 2008-10-6 15:13
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
已经看完
作者: 伊人秋水 时间: 2008-10-7 14:47
标题: 回复：新课程理念下的创新教学设计-初中数学
进一步发展的关键
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