细致观察巧用特例

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有些难题，看似高不可攀，但只要我们勇于探索，细致观察，假以特例，就能出奇制胜，顺利解决问题。
例1．今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？
这就是著名的百鸡问题。这道题的意思是：五个钱可买一只大公鸡，三个钱可买一只大母鸡，一个钱可买三只小鸡，今用1OO个钱，正好买了1OO只鸡。问其中大公鸡、大母鸡、小鸡各几只？
[分析与解］怎样用小学知识解答呢？我们细心观察题目发现：4只大公鸡和3只小鸡共值21个钱，而7只大母鸡也值21个钱。这就是说，每增加4只大公鸡和3只小鸡，同时减少7只大母鸡，不仅总只数保持不变，钱数也不变。
现在假定大公鸡买O只。此时原题就变成了我们容易解答的类似于“百僧分馍”的问题，即100个钱买100只鸡，母鸡一只3个钱，小鸡3只一个钱。问母鸡、小鸡各几只？
对这个特例的解答，可以这样思考：因为1只大母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱。把1只大母鸡和3个小鸡看作“一组”，那么这一组的4只鸡共值4个钱，1OO个钱正好可以买这样的100÷4＝25（组），也就是，用100个钱可以买25只大母鸡，3×25＝75（只）小鸡。
有了上面的观察结论和特例结果，我们可用增减法求得百钱买百鸡的各种情况如下：

公鸡     0 只	母鸡     25只	小鸡     75只
增4      4 只	减7      18只	增3      78只
增4      8 只	减7      11只	增3      81只
增4      12只	减7      4 只	增3      84只

即符合原题的解共有4组。
例2．甲、乙二人在周长为400米的正方形池塘的相邻的两个角上，甲在乙之前，乙按甲走的线路同时出发，甲每分钟走42米，乙每分钟走34米。甲、乙出发后经过多少时间才能走到池塘的同一条边上？
［分析与解］先作示意图如下：

甲在B点，乙在A点，这就是两人初始状态。现在甲、乙二人按箭头所示方向同时运动，经过多长时间才能走到池塘的同一条边上。这是一道追击距离不明确的追击问题。我们不妨从特例出发：甲、乙能走到池塘的同一条边上，正好是一条边的两个端点。这样就有了确定的追击目标。即甲追乙2OO米。根据追击公式得：
2OO÷（42－34）＝25（分）。
经过25分甲乙两人是否真走到了池塘的同一条边上呢？只有把甲乙两人放在图中观察，方可知晓。事实上，经过25分甲走的距离是：42×25＝1050（米），乙走的距离是：34×25＝85O（米）。此刻甲的位置是1050÷400＝2（周）……25O（米），甲在AD边的中点；
乙的位置是85O÷400＝2（周）……5O（米），乙在AB的中点。如示意图，我们不难观察发现：
甲只要再走5O米即可使两人在同一条边上。从而要求的问题迎刃而解。即25＋5O÷42＝26（分）。