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标题: 北师大版初中数学九年级下册1.5 三角函数的应用2教案及反思word下载 [打印本页]

作者: 水水水 时间: 2020-4-26 19:20
标题: 北师大版初中数学九年级下册1.5 三角函数的应用2教案及反思word下载
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文件预览：

1.5 三角函数的应用

教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
(二)能力训练要求
发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.
(三)情感与价值观要求
1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气.
2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.
教具重点
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
教学难点
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.
教学方法
探索——发现法
教具准备
多媒体演示
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.
下面我们就来看一个问题(多媒体演示).
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.
下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗)
Ⅱ.讲授新课
[师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的?
[生]应该是“上北下南，左西右东”.
[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.
[生]首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下.

[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?
[生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较.
[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意，有哪些已知条件呢?
[生]已知BC°＝20海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°.
[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢?
[生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.
[生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD.
[师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?
[生]我发现这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系.
[师]有何联系呢?
[生]在Rt△ABD中，tan55°＝，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，tan25°＝，CD＝ADtan25°.
[生]利用BC＝BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20.
[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.
下面我们一起完整地将这个题做完.
[师生共析]解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=AD
tan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得
ADtan55°-ADtan25°＝20.
AD(tan55°-tan25°)＝20，
AD= ≈20.79(海里).
这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险.
[师]接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.
多媒体演示
想一想你会更聪明：
如图，小明想测量塔
CD的高度.他在A处
仰望塔顶，测得仰角
为30°，再往塔的方
向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)
[师]我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角?
[生]当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.
[师]很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答.
(教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导)
[生]首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan30°= ，
即AC＝在Rt△BDC中，tan60°= ,
即BC＝，又∵AB=AC-BC＝50 m，得
- =50.
解得CD≈43(m)，
即塔CD的高度约为43 m.
[生]我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD的高度时应考虑小明的身高.
[师]这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离.
如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?
[生]示意图如
右图所示，由前面的
解答过程可知CC′≈
43 m，则CD＝43+
1.6＝44.6 m.即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m.
[师]同学们的表现太棒了.现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下.
多媒体演示：
某商场准备改善原来
楼梯的安全性能，把
倾角由40°减至35°，
已知原楼梯长为4 m，
调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)
请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法)
[生]在这个问题
中，要注意调整前后
的梯楼的高度是一个
不变量.根据题意可
画㈩示意图(如右
图).其中AB表示楼梯的高度.AC是原楼梯的长，BC是原楼梯的占地长度；AD是调整后的楼梯的长度，DB是调整后的楼梯的占地长度.∠ACB是原楼梯的倾角，∠ADB是调整后的楼梯的倾角.转化为数学问题即为：
如图，AB⊥DB，∠ACB＝40°，∠ADB＝35°，AC＝4m.求AD-AC及DC的长度.
[师]这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式.我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它，开始吧!
[生]解：由条件可知，在Rt△ABC中,sin40°＝，即AB＝4sin40°m，原楼梯占地
长BC＝4cos40°m.
调整后,在Rt△ADB中，sin35°＝，则AD＝ m.楼梯占地长
DB= m.
∴调整后楼梯加长AD-AC＝ -4≈0.48(m)，楼梯比原来多占DC＝DB-BC=  -4cos40°≈0.61(m).
Ⅲ.随堂练习
1.如图，一灯柱AB被
一钢缆CD固定，CD与地面
成40°夹角，且DB＝5 m，
现再在C点上方2m处加固
另一条钢缆ED，那么钢缆
ED的长度为多少?
解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°，DB=5 m，sin40°=  ，BC=DBsin40°=5sin40°(m).
在Rt△EDB中，DB=5 m，
BE=BC+EC＝2+5sin40°(m).
根据勾股定理，得DE= ≈7.96(m).
所以钢缆ED的长度为7.96 m.
2.如图，水库大坝的
截面是梯形ABCD，坝顶AD
＝6 m，坡长CD＝8 m.坡底
BC＝30 m，∠ADC=135°.
(1)求∠ABC的大小：
(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3)
解：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F为垂足.
(1)在梯形ABCD中.∠ADC＝135°，
∴∠FDC＝45°，EF＝AD=6 m.在Rt△FDC中，DC＝8 m.DF＝FC＝CD.sin45°=4  (m).
∴BE=BC-CF-EF=30-4 -6=24-4 (m).
在Rt△AEB中，AE＝DF=4  (m).
tanABC＝ ≈0.308.
∴∠ABC≈17°8′21″.
(2)梯形ABCD的面积S＝ (AD+BC)×AE
=  (6+30)×4  =72  (m2).
  坝长为100 m，那么建筑这个大坝共需土石料100×72  ≈10182.34(m3).
综上所述，∠ABC＝17°8′21″，建筑大坝共需10182.34 m3土石料.
Ⅳ.课时小结

作者: 水水水 时间: 2020-4-26 19:26
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