椭圆是一种经常在数学和物理学中出现的曲线，它在平面直角坐标系中的方程通常是比较复杂的，但是在极坐标系中，计算椭圆的二重积分却非常方便。

首先，我们需要知道椭圆在极坐标系中的方程是什么。对于一个中心在原点，长轴与短轴分别为$a$和$b$的椭圆，它的极坐标方程为：

$$r(\theta) = \frac}$$

接下来，我们来看如何利用极坐标计算椭圆的二重积分。假设我们要计算的椭圆区域为$E$，它的二重积分可以表示为：

$$\iint_E f(x,y)\mathrmA$$

根据极坐标系中面积元素的公式$\mathrmA = r\mathrmr\mathrm\theta$，我们可以将上面的二重积分转化为极坐标下的积分形式：

$$\iint_E f(x,y)\mathrmA = \int_^ \int_^ f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrmr\mathrm\theta$$

其中，$r_1(\theta)$和$r_2(\theta)$分别是椭圆在极坐标系下的两条边界曲线，$\theta_1$和$\theta_2$是它们的极角。

对于椭圆来说，边界曲线的$r$值都是由椭圆的极坐标方程所决定的。因此，我们可以将$r_1(\theta)$和$r_2(\theta)$直接代入椭圆的极坐标方程中，计算出它们的具体数值。

最后，我们只需要将$f(r\cos\theta,r\sin\theta)$和$r$带入积分式中，进行积分即可得到椭圆的二重积分结果。

总之，利用极坐标计算椭圆的二重积分非常方便，只需要将椭圆的极坐标方程和积分式中的变量带入即可。这种方法不仅适用于椭圆，对于其他一些具有极坐标方程的曲线，也同样适用。