本文将讲述如何求解 $x\cdot e^$ 在区间 $[0, +\infty)$ 上的积分。

首先，我们可以尝试使用分部积分法来解决这个问题。设 $u=x$，$dv=e^dx$，则 $du=dx$，$v=e^$，根据分部积分公式，可以得到：

$$\int_^x\cdot e^dx=\left[x\cdot e^\right]_^-\int_^e^dx$$

由于 $\lim\limits_x\cdot e^=+\infty$，$\left[x\cdot e^\right]_^=+\infty-\lim\limits_x\cdot e^=0$，因此：

$$\int_^x\cdot e^dx=-\left[e^\right]_^=-\lim\limits_e^+\lim\limits_e^=-0+1=1$$

因此，$x\cdot e^$ 在区间 $[0, +\infty)$ 上的积分为 $1$。