二阶导数是微积分中比较重要的一个概念，掌握其性质对于解决一些数学问题有着重要的帮助。本文将介绍关于二阶导数的性质以及如何利用这些性质来解决一些数学问题。

首先，二阶导数的定义是指对函数的一阶导数再求导。具体来说，如果$f(x)$的一阶导数为$f'(x)$，则$f''(x)$表示$f'(x)$的导数，也就是$f(x)$的二阶导数。根据定义，我们可以得到以下性质：

1. 二阶导数存在的条件是一阶导数存在。因为二阶导数是对一阶导数求导得到的，所以如果一阶导数不存在，那么二阶导数也不存在。

2. 如果$f''(x)>0$，则$f(x)$是凸函数。凸函数的意思是函数图像在任意两点之间的部分都在直线上方。

3. 如果$f''(x)<0$，则$f(x)$是凹函数。凹函数的意思是函数图像在任意两点之间的部分都在直线下方。

4. 如果$f''(x)=0$，则$f(x)$存在拐点。拐点是指函数图像从凸转为凹或从凹转为凸的点。

利用这些性质，我们可以解决一些数学问题。例如，考虑以下问题：已知$f(x)$在区间$[a,b]$上二阶导数恒大于$0$，且$f(a)=0$，$f(b)=1$，证明$f(x)$在区间$[a,b]$上单调递增。

解答：根据题意，我们知道$f''(x)>0$，因此$f(x)$是凸函数。又由于$f(a)=0$，$f(b)=1$，因此$f(x)$在$a$处取到最小值$0$，在$b$处取到最大值$1$。由于$f(x)$是凸函数，故它在$a$处的导数$f'(a)$是单调递增的，而$f'(a)=\lim_\frac=f'(a^+)$，因此$f'(a^+)>0$。同理，$f'(b^-)<0$。由于$f''(x)>0$，因此$f'(x)$是单调递增的。因此，$f'(a^+)

综上所述，掌握二阶导数的性质对于解决一些数学问题非常有帮助。