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三项二项式定理题型及解题方法

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导读 三项二项式定理是高中数学中比较重要的概念之一,也是一种常见的。绿色圃中小学教育网百科专栏,提供全方位全领域的生活知识

三项二项式定理是高中数学中比较重要的概念之一,也是一种常见的数学题型。它包括了二项式定理的推广和拓展,对于学生来说掌握它的解题方法是十分必要的。

首先,我们来看一下三项二项式定理的公式:

$(a+b+c)^n=\sum_\binoma^ib^jc^k$

其中,$i,j,k$代表三个变量的指数,$\binom$表示组合数,即从$n$个元素中选出$i$个$a$,$j$个$b$,$k$个$c$的方案数。

接下来,我们来看一下三项二项式定理的解题方法。

题型1:求系数

题目描述:已知$(a+b+c)^n$展开式中$x^3$的系数是$7$,求$n$的值。

解题方法:根据三项二项式定理,$x^3$的系数为$\binom$,所以$\binom=7$。根据组合数的定义,$\binom=\dfrac=\dfrac$,所以$n(n-1)(n-2)=42$,解得$n=5$或$n=-6$。由于$n$表示幂次,所以$n$必须是正整数,因此$n=5$。

题型2:求和式

题目描述:已知$(1+x+x^2)^n$展开式中$x^$的系数是$2019$,求$n$的值。

解题方法:根据三项二项式定理,$x^$的系数为$\binom$,其中$i+j+k=n$,$i+2j=20$。解得$i=12$,$j=4$,$k=4$。因此,$\binom=2019$。根据组合数的定义,$\binom=\dfrac$,所以$(n-20)(n-21)\cdots(n-31)=2019\cdot12!\cdot4!\cdot4!$。由于$n$表示幂次,所以$n\geqslant20$,所以可以逐个尝试$n$的取值,最终得到$n=31$。

题型3:判断奇偶性

题目描述:已知$(a+b+c)^n$展开式中各项系数的和为$2^$,判断$n$的奇偶性。

解题方法:根据三项二项式定理,$(a+b+c)^n$展开式中各项系数的和为$(1+1+1)^n=3^n$。所以$3^n=2^$,解得$n=1$或$n=0$。由于$n$表示幂次,所以$n$必须是非负整数,因此只有$n=0$。因为$0$为偶数,所以$n$为偶数。