题目描述：

在平面直角坐标系内，曲线 $C:y=\sqrt$ 与 $x$ 轴正半轴、$y$ 轴正半轴和第一象限内的部分围成一个面积为 $S$ 的图形。设直线 $L:x+y=6$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴的交点分别为 $A$、$B$，与曲线 $C$ 的交点为 $P$，$Q$，则 $\dfrac$ 的值为 $\dfrac-\sqrt$，其中 $a$，$b$，$c$ 均为正整数且 $\gcd(a,b)=1$，求 $a+b+c$ 的值。

解题思路：

1. 分析题目，画出图形。

2. 求出直线 $L$ 与曲线 $C$ 的交点 $P$，$Q$ 的坐标。

3. 求出三角形 $ABP$ 的面积 $\triangle ABP$。

4. 求出图形 $S$ 的面积。

5. 计算 $\dfrac$ 的值，化简得到 $\dfrac-\sqrt$ 的形式。

6. 求出 $a+b+c$ 的值。

解题过程：

1. 根据题目，画出坐标系，并绘制出曲线 $C$ 和直线 $L$。

2. 求出直线 $L$ 与曲线 $C$ 的交点 $P$，$Q$ 的坐标。

将直线 $L$ 的方程 $x+y=6$ 代入曲线 $C$ 的方程 $y=\sqrt$，得到方程 $x^2+(6-x)^2=16$，即 $x^2-6x+5=0$。解得 $x=1$ 或 $x=5$。

当 $x=1$ 时，$y=\sqrt=3$，交点 $P$ 的坐标为 $(1,3)$；

当 $x=5$ 时，$y=\sqrt=0$，交点 $Q$ 的坐标为 $(5,0)$。

3. 求出三角形 $ABP$ 的面积 $\triangle ABP$。

直线 $L$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴的交点分别为 $(6,0)$ 和 $(0,6)$，因此三角形 $ABP$ 的底边长为 $AB=6\sqrt$，$BP=3$，因此 $\triangle ABP=\dfrac\times 6\sqrt\times 3=9\sqrt$。

4. 求出图形 $S$ 的面积。

由于曲线 $C$ 与 $x$ 轴正半轴、$y$ 轴正半轴和第一象限内的部分围成一个图形，因此可以分为四个部分，分别计算其面积，再将四个部分的面积相加即可。

(a) 第一象限内被曲线 $C$、直线 $y=6-x$、$x$ 轴所围成的面积为 $\int_0^1\sqrt\,\mathrmx+\int_1^3(6-x)-\sqrt\,\mathrmx=\dfrac-\dfrac$。

(b) 直线 $y=6-x$、$x$ 轴所围成的三角形的面积为 $\dfrac\times 6\times 6=18$。

(c) 直线 $y=6-x$、$y$ 轴、曲线 $C$ 所围成的部分可以分为一个直角三角形和一个扇形。其中，直角三角形的面积为 $\dfrac\times 6\times 3=9$，扇形的面积为 $\dfrac\times \pi\times 2^2\times \dfrac=2\pi$。因此，这部分面积为 $9+2\pi$。

(d) 直线 $y=6-x$、$y$ 轴、$x$ 轴所围成的三角形的面积为 $\dfrac\times 6\times 6=18$。

因此，图形 $S$ 的面积为 $\dfrac+9\pi-27+18+9+2\pi+18=20\pi-9$。

5. 计算 $\dfrac$ 的值，化简得到 $\dfrac-\sqrt$ 的形式。

$\dfrac=\dfrac{9\sqrt}=\dfrac{40\pi-18\sqrt}$。

令 $\dfrac-\sqrt=\dfrac{40\pi-18\sqrt}$，化简得到 $a=40$，$b=18$，$c=648$。

6. 求出 $a+b+c$ 的值。

$a+b+c=40+18+648=706$。

因此，答案为 $706$。