函数极限的局部有界性是指函数在某一点的极限值存在，并且在这一点的某个邻域内有界。这个概念在数学分析中非常重要，因为它可以帮助我们研究函数的连续性和可导性。

首先，让我们回顾一下函数极限的定义。如果一个函数f(x)在x=a处的极限存在，那么我们可以写成lim(x → a) f(x) = L。这意味着当x趋近于a时，f(x)会无限接近于L。如果函数在某一点的极限不存在，那么我们说这个点是函数的间断点。

现在让我们来看看函数极限的局部有界性。如果一个函数在x=a处的极限存在，那么我们可以找到一个邻域V(a)使得在这个邻域内，函数f(x)都有界。换句话说，我们可以找到一个正数M，使得对于所有的x∈V(a)，有|f(x)|≤M。

为了更好地理解这个概念，让我们来看一个例子。考虑函数f(x)=sin(1/x)，它在x=0处的极限不存在。但是，如果我们限制x的取值范围在(0,1]内，那么f(x)在x=0处的一个左邻域内是有界的。具体来说，我们可以找到一个正数M，使得对于所有的x∈(0,1]，有|sin(1/x)|≤M。这个邻域内的函数图像如下所示：


在这个例子中，函数在x=0处的极限不存在，但是它在某个邻域内是有界的。这个局部有界性的概念可以帮助我们研究函数的连续性和可导性。

总之，函数极限的局部有界性是指函数在某一点的极限值存在，并且在这一点的某个邻域内有界。这个概念在数学分析中非常重要，因为它可以帮助我们研究函数的连续性和可导性。