平面向量平行定理是指，在平面直角坐标系中，若两个非零向量的末端在同一条直线上，则这两个向量是平行向量。

我们知道，平面向量可以表示为一个有向线段，其起点和终点分别为向量的始点和末点。平面向量的长度和方向都可以用有向线段的长度和方向来表示。而向量之间的平行关系则是指它们的方向相同或相反。

平面向量平行定理的证明可以通过向量的坐标表示法来进行。设向量$\vec$和$\vec$在平面直角坐标系中的坐标分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，则它们的末端连成的有向线段的斜率为：

$$\frac$$

若$\vec$和$\vec$在同一条直线上，则它们的末端连成的有向线段与$x$轴的夹角相等，即有：

$$\frac=\tan\theta$$

其中$\theta$为它们与$x$轴的夹角。又因为$\vec$和$\vec$平行，所以它们的方向相同或相反，即有：

$$\frac=\frac$$

其中$(x_1',y_1')$和$(x_2',y_2')$为$\vec$和$\vec$在另一条直线上的末端坐标。将上式两边同乘$(x_2-x_1)(x_2'-x_1')$，得：

$$(y_2-y_1)(x_2'-x_1')=(y_2'-y_1')(x_2-x_1)$$

这个等式可以化简为：

$$y_2x_1-y_1x_2=y_2'x_1'-y_1'x_2'$$

这个等式可以理解为，$\vec$和$\vec$的坐标表示中，它们的$x$和$y$分量的比值相同，即它们的比例相同。因此，$\vec$和$\vec$是平行向量。

综上所述，若两个非零向量的末端在同一条直线上，则这两个向量是平行向量。这个结论可以应用到许多几何问题中，如平面图形的相似性、平行四边形的性质等等。