向量a在向量b上的投影向量是线性代数中一个重要的概念。它指的是将向量a投影到向量b所在的直线上，得到的向量。这个概念在计算机图形学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

在学习向量投影之前，我们先来了解一下向量的基本概念。向量是由大小和方向组成的量，通常用箭头表示。向量可以用坐标表示，比如二维空间中的向量可以表示为(x, y)，三维空间中的向量可以表示为(x, y, z)。向量的长度可以用勾股定理求得，即向量长度等于各个坐标平方和的平方根。

那么什么是向量的投影呢？向量的投影是指将一个向量沿着另一个向量的方向映射到一个新的向量上。在二维空间中，向量a在向量b上的投影可以用以下公式表示：

projb a = (a·b/|b|²)·b

其中，a·b表示向量a和向量b的点积，|b|表示向量b的长度，projb a表示向量a在向量b上的投影向量。

在三维空间中，向量a在向量b上的投影也可以用类似的公式表示：

projb a = (a·b/|b|²)·b

其中，a·b表示向量a和向量b的点积，|b|表示向量b的长度，projb a表示向量a在向量b上的投影向量。

向量的投影有很多应用，比如在图形学中，将一个三维物体投影到二维平面上，就可以得到一个平面图形；在物理中，可以用向量投影来计算物体在某个方向上的运动速度等等。

总之，向量a在向量b上的投影向量是一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决很多实际问题。掌握这个概念对于学习线性代数和计算机图形学等领域都非常有帮助。