在数学中，余数是指一个数被另一个数整除后所剩下的数。例如，10除以3的余数为1，因为10可以表示为3的3倍加上1。那么，如何求一个数的余数最大或最小呢？

首先，我们需要了解一个定理：若a、b、c是正整数，且a、b互质，则对于任意正整数n，an与bn的余数相同。这个定理也被称为“同余定理”。

利用同余定理，我们可以通过简单的变换来求一个数的余数最大或最小。以求101除以7的余数为例，我们可以利用同余定理将101变为94+7，即101 ≡ 94 + 7 (mod 7)。因为94能被7整除，所以94除以7的余数为0，因此101除以7的余数等于7除以7的余数，即1。

同样的道理，如果我们要求一个数除以另一个数的余数最小，可以先把这个数变为比另一个数小的数加上一个数，然后再根据同余定理求余数。例如，要求37除以8的余数最小，可以将37变为32+5，然后利用同余定理得到37 ≡ 32 + 5 (mod 8)。因为32能被8整除，所以37除以8的余数等于5除以8的余数，即5。

通过同余定理，我们可以轻松求出一个数的余数最大或最小，这种方法在数学竞赛和实际问题中都有广泛的应用。