伴随矩阵是一个矩阵的重要性质之一。它的定义如下：给定一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，是一个n阶矩阵，其元素由原矩阵A的代数余子式元素所构成，即

adj(A) = [A11*, A21*, ..., An1*; A12*, A22*, ..., An2*; ...; A1n*, A2n*, ..., Ann*]

其中Aij*是A的代数余子式，即A中去掉第i行和第j列后的行列式的符号乘上(-1)^(i+j)。

下面给出伴随矩阵的一些性质证明。

性质1：若A是可逆矩阵，则adj(A) = A^(-1) det(A)。

证明：由矩阵的行列式性质可知，A adj(A) = det(A)I，其中I为单位矩阵。因此，若A可逆，则可以左乘A^(-1)，得到adj(A) = A^(-1) det(A)。

性质2：若A是对称矩阵，则adj(A)也是对称矩阵。

证明：由对称矩阵的性质可知，Aij = Aji。因此，对于adj(A)的第i行第j列元素，有

adj(A)ij = Aji* = Aij*

同样，对于其第j行第i列元素，有

adj(A)ji = Aij* = Aji*

因此，adj(A)也是对称矩阵。

性质3：若A是实矩阵，则adj(A)的元素也都是实数。

证明：由代数余子式的定义可知，Aij*是A中去掉第i行和第j列后的行列式的符号乘上(-1)^(i+j)。因此，若A中所有元素都是实数，则A中任何一个去掉一行一列后的行列式的值也都是实数。又因为(-1)^(i+j)都是实数，因此Aij*也都是实数。

性质4：若A是奇异矩阵，则adj(A) = 0。

证明：由矩阵的行列式性质可知，若A是奇异矩阵，则det(A) = 0。因此，对于adj(A)的任何一个元素Aij*，都可以找到一行或一列，使得去掉后的行列式也为0。因此，Aij*也为0。因此，adj(A)所有元素都为0，即adj(A) = 0。

以上是一些常见的伴随矩阵的性质及其证明。在矩阵的研究中，伴随矩阵是一个非常重要的工具，它不仅可以用来求逆矩阵，还可以用来求解线性方程组，计算矩阵的行列式等。因此，对于伴随矩阵的性质及其证明，我们应该进行深入的研究和探讨。