对称矩阵是指矩阵的转置和本身相等的矩阵。它在数学中有着广泛的应用，特别是在线性代数和几何学中。关于对称矩阵的行列式有着很多有趣的特点，下面我们来一一探讨。

首先，对称矩阵的行列式一定是实数。这是因为对称矩阵的特殊结构导致了其行列式的实数性质。同时，对称矩阵的行列式也具有奇偶性。具体来说，如果对称矩阵中有重复的特征值，那么行列式的奇偶性将由这些特征值的重复次数决定。

其次，对称矩阵的行列式等于其特征值的乘积。这一特点非常重要，因为它为对称矩阵的求逆提供了一种简单的方法。如果一个对称矩阵的所有特征值都是非零的，那么它的逆矩阵也一定存在，并且可以通过将每个特征值取倒数后构造出来。

此外，对称矩阵的行列式还具有一个很有用的性质，即它是矩阵的所有主子式的乘积。主子式是指从矩阵的左上角开始，逐渐扩大的子矩阵的行列式。这个性质在矩阵分解和求解方程组等问题中都有着广泛的应用。

总之，对称矩阵的行列式具有很多有趣的特点，这些特点在数学和应用中都有着重要的意义。熟练掌握对称矩阵的性质和特点，对于深入理解线性代数和几何学的相关概念和应用都非常有帮助。