向量是数学中一个重要的概念，它有着广泛的应用。在平面直角坐标系中，向量可以用一个有序数对来表示。向量的长度表示它的模，方向表示它的方向。向量有两个重要的性质：平行和垂直。

当两个向量平行时，它们的方向相同或相反，且它们的模相等或成比例。而当两个向量垂直时，它们的内积为0。这些性质可以用一些公式来表示。

首先，对于两个向量a和b，它们的内积（也称点积）可以表示为：a·b = |a|·|b|·cosθ，其中θ表示a和b之间的夹角。当a和b垂直时，cosθ=0，所以a·b=0。这就是两个向量垂直的条件之一。

其次，如果两个向量a和b平行，那么它们的夹角θ=0或π，cosθ=1或-1，所以a·b=±|a|·|b|。这就是两个向量平行的条件之一。

另外，当两个向量a和b平行时，可以将其中一个向量表示为另一个向量的倍数，即a=k·b，其中k为实数。这个k就是两个向量成比例的关系，k为正数时，a和b的方向相同，k为负数时，a和b的方向相反。

当然，如果我们知道了两个向量的坐标，也可以通过向量的坐标公式来判断它们的平行和垂直关系。对于向量a=(x1,y1)和向量b=(x2,y2)，a和b平行当且仅当x1/x2=y1/y2，a和b垂直当且仅当x1x2+y1y2=0。

这些公式和坐标公式可以方便地用于向量的计算和判断。在实际应用中，向量的平行和垂直关系经常被用于求解几何问题和物理问题。因此，熟悉这些公式和坐标公式对于学习数学和应用数学都非常重要。