斯托克斯定理是一种重要的向量积分定理，它描述了一个曲面与其边界的关系。该定理在物理学、工程学、地球科学等领域中有广泛的应用。

设$S$是一个光滑的有向曲面，$\partial S$是$S$的边界，$C$是$\partial S$的正向边界曲线。如果$F$是一个三维向量场，且在$S$内部有连续偏导数，那么斯托克斯定理可以表示为：

$$\oint_C\vec\cdot\mathrm\vec=\iint_S(\nabla\times\vec)\cdot\mathrm\vec$$

其中，$\vec$是一个三维向量场，$\mathrm\vec$表示曲线$C$上的微小位移向量，$\mathrm\vec$表示曲面$S$上的微小面积向量，$\nabla\times\vec$表示向量场$\vec$的旋度。右侧积分表示旋度在曲面$S$上的通量，左侧积分表示向量场$\vec$沿着曲线$C$的环量。

斯托克斯定理可以看作是格林定理和高斯定理的推广，它将两者统一在一起。格林定理描述了一个平面与其边界的关系，而高斯定理描述了一个闭合曲面与其内部的关系。斯托克斯定理则描述了一个曲面与其边界的关系，可以看作是两者的结合。

斯托克斯定理的应用非常广泛，例如在电磁学中，它可以用来计算电场和磁场的环量和通量，从而计算电场和磁场的相互作用。在流体力学中，它可以用来计算流体的旋度和环量，从而计算流体的流动特性。在地球科学中，它可以用来计算地球表面的风场和海洋流场的环量和通量，从而研究大气和海洋的运动规律。