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数列求和公式七个方法及例题

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导读 数列是数学中常见的一种数学对象,它是由一些有序的数按照一定的规律排列组成的。对于某些数列,我们可能需要求出它们前n项的和,这就需要用到数列求和公式。下面将介绍七。绿色圃中小学教育网百科专栏,提供全方位全领域的生活知识

数列是数学中常见的一种数学对象,它是由一些有序的数按照一定的规律排列组成的。对于某些数列,我们可能需要求出它们前n项的和,这就需要用到数列求和公式。下面将介绍七种常见的数列求和方法,并以例题加以说明。

方法一:等差数列求和公式

对于等差数列an=a1+(n-1)d,其前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2,其中a1为首项,an为末项,d为公差。

例如,求等差数列1,3,5,7,9的前5项和。首项a1=1,公差d=2,末项an=1+4×2=9,代入公式得Sn=5(1+9)/2=25。

方法二:等比数列求和公式

对于等比数列an=a1q^(n-1),其前n项和公式为Sn=a1(q^n-1)/(q-1),其中a1为首项,q为公比。

例如,求等比数列1,2,4,8,16的前5项和。首项a1=1,公比q=2,代入公式得Sn=1(2^5-1)/(2-1)=31。

方法三:调和级数求和公式

调和级数是指一系列数的倒数之和,即Hn=1/1+1/2+1/3+...+1/n。调和级数的前n项和公式为Sn=Hn×n。

例如,求调和级数的前5项和。H5=1/1+1/2+1/3+1/4+1/5=2.283,代入公式得Sn=2.283×5=11.415。

方法四:几何级数求和公式

几何级数是指一系列数按照相同的比例递增或递减,即a1,a1q,a1q^2,...,a1q^(n-1)。几何级数的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q),其中a1为首项,q为公比。

例如,求几何级数1,2,4,8,16的前5项和。首项a1=1,公比q=2,代入公式得Sn=1(1-2^5)/(1-2)=31。

方法五:阶乘求和公式

阶乘是指一个正整数n的所有小于等于n的正整数的乘积,即n!=1×2×3×...×n。阶乘的前n项和公式为Sn=1+1×2+1×2×3+...+1×2×3×...×n=n!-1。

例如,求5!的前5项和。5!=1×2×3×4×5=120,代入公式得Sn=120-1=119。

方法六:斐波那契数列求和公式

斐波那契数列是指一个数列中,每一项都是前两项的和,即f1=1,f2=1,fn=fn-1+fn-2。斐波那契数列的前n项和公式为Sn=f(n+2)-1。

例如,求斐波那契数列的前5项和。f1=1,f2=1,f3=2,f4=3,f5=5,代入公式得Sn=f7-1=20。

方法七:反比例数列求和公式

反比例数列是指一系列数按照相同的比例递减,即a1,a1/k,a1/k^2,...,a1/k^(n-1)。反比例数列的前n项和公式为Sn=a1(1-1/k^n)/(1-1/k),其中a1为首项,k为比例。

例如,求反比例数列5,5/2,5/4,5/8的前4项和。首项a1=5,比例k=2,代入公式得Sn=5(1-1/2^4)/(1-1/2)=6.875。

通过以上七种数列求和方法,可以解决大部分数列求和问题。