垂径定理是初中数学中的一条重要定理，它是指：在一个直角三角形中，直角的两条直角边上向外分别做一条垂线，那么这两条垂线所形成的两条线段的长度乘积等于斜边上的垂线段的长度平方。

证明垂径定理，我们可以通过利用勾股定理和相似三角形来推导。

首先，我们需要证明勾股定理，即直角三角形中斜边的平方等于两条直角边的平方和。假设直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c，则有：

c² = a² + b²

接下来，我们假设直角三角形中的两条垂线分别为d1和d2，斜边上的垂线段为h，则有：

d1² + h² = a²

d2² + h² = b²

将两个式子相加，得到：

d1² + d2² + 2h² = a² + b²

根据勾股定理，可知：

a² + b² = c²

所以，我们可以将上式改写为：

d1² + d2² + 2h² = c²

移项得到：

d1² + d2² = c² - 2h²

将c²代入上式，得到：

d1² + d2² = (d1 + d2) (d1 - d2)

将垂线段h代入上式，得到：

d1 × d2 = h²

所以，垂径定理得证。

垂径定理还有一个非常重要的推论：如果一个三角形中有一条边与另一条边垂直相交，那么这两条边所形成的角一定是直角。

证明这个推论，我们可以假设三角形ABC中，AB与BC垂直相交于点D，且AD与BD分别为d1和d2。我们需要证明∠ABC是直角。

由于AB与BC垂直相交，所以∠ABD和∠CBD是直角。又因为∠ABD和∠ABC互补，所以∠ABC是直角。

综上所述，垂径定理及其推论在初中数学中是一个非常重要的定理和推论，它们不仅有助于学生理解直角三角形的性质，还能够为学生日后的数学学习打下坚实的基础。