数学临界值是指在某个数学问题中，存在一个关键点，当这个点的值达到一定程度时，问题的性质或解法会发生显著变化。临界值通常是指解析上的分界点，当某个参数取到临界值时，问题的解法、性质等都会发生突变。

以一个简单的例子来说明临界值的意义。考虑一个函数f(x) = x^2 - 1，我们可以通过求导数来找到它的极值点。当我们求导后发现f'(x) = 2x，它的零点是x=0。因此，f(x)在x=0处达到极小值，也就是f(0) = -1。

但是，当我们考虑函数f(x)的定义域时，发现它是定义在实数集上的。因此，我们可以继续探究f(x)在x的取值范围上的性质。当x取到负无穷时，f(x)趋近于正无穷；当x取到正无穷时，f(x)同样趋近于正无穷。但是，当x取到0时，f(x)的值为-1，这是一个关键点。当x在(-∞, 0)范围内时，f(x)的值为正数；而当x在(0, +∞)范围内时，f(x)的值为负数。因此，0就是数学临界值，它分割了f(x)的定义域，使得函数的性质发生了显著变化。

临界值在数学中是十分重要的，它可以帮助我们理解数学问题的本质，找到问题的解法和性质，从而更好地解决实际问题。在实际应用中，临界值也经常被用来作为判断标准。例如，在统计学中，我们会比较一个数据点与它所在数据集的平均值之间的差异，当差异达到一定程度时，我们就可以认为这个数据点是异常值，需要进行进一步的分析和处理。在这个例子中，平均值就是数据点的临界值，它分割了数据集，使得我们可以更准确地判断数据点的性质。