三角形是我们学习数学时经常遇到的形状之一，它的面积是一个重要的概念。在三角形的面积求解中，我们通常会用到向量表达式。

首先，我们需要知道一个重要的向量知识——向量叉积。向量叉积是指两个向量的叉乘所得到的新向量，它的长度等于两个向量所构成的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所构成的平面。向量叉积的公式为：

$\vec\times\vec = |\vec||\vec|\sin\vec$

其中，$\vec$和$\vec$是两个向量，$\theta$是它们之间的夹角，$\vec$是它们所构成平面的法向量。

接下来，我们来看看如何用向量表达式求解三角形的面积。设三角形的三个顶点分别为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，则它的面积可以表示为：

$S_ = \frac|\vec\times\vec|$

其中，$\vec=(x_2-x_1,y_2-y_1)$，$\vec=(x_3-x_1,y_3-y_1)$，$\vec\times\vec$表示两个向量的叉积。

将$\vec$和$\vec$带入向量叉积的公式中，我们可以得到：

$\vec\times\vec = \begin \vec & \vec & \vec \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & 0 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & 0 \end = (y_2-y_1)(x_3-x_1)\vec-(x_2-x_1)(y_3-y_1)\vec$

因此，三角形的面积可以表示为：

$S_ = \frac|\vec\times\vec| = \frac|(y_2-y_1)(x_3-x_1)-(x_2-x_1)(y_3-y_1)|$

这就是三角形面积的向量表达式。通过向量表达式，我们可以快速求解三角形的面积，而无需使用传统的三角函数公式。同时，向量表达式也让我们更好地理解了向量叉积的概念和应用。