一元二次函数是数学中比较基础的一类函数，其形式通常为 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a,b,c$ 均为常数，$a \neq 0$。在求解一些问题时，我们需要对这类函数进行求导。

一元二次函数的导数公式可以通过求解导数的定义式得到，也可以通过对函数的形式进行分析和推导得到。这里我们介绍一种基于函数的形式进行推导的方法。

首先，我们知道一元二次函数的导数是一个一次函数，即 $f'(x) = 2ax + b$。这个公式的推导可以分为两部分：

1. 对 $ax^2$ 求导

对于任意一个正整数 $n$，有 $(x + \Delta x)^n = x^n + nx^\Delta x + \dots$。如果我们令 $n=2$，并忽略掉 $\Delta x^2$ 及以上次数的项，那么就得到：

$$(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$

将上式代入 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 中，得到：

\begin

f(x + \Delta x) &= a(x + \Delta x)^2 + b(x + \Delta x) + c \\

&= ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 + bx + b\Delta x + c

\end

因此，$f'(x) = \lim_ \dfrac$ 可以表示为：

\begin

f'(x) &= \lim_ \frac \\

&= \lim_ \frac \\

&= \lim_ (2ax + a\Delta x + b) \\

&= 2ax + b

\end

2. 对 $bx$ 和 $c$ 求导

由于 $bx$ 和 $c$ 都是常数，它们的导数都为 $0$，因此：

$$\frac(bx) = 0, \quad \frac(c) = 0$$

综上所述，我们得到了一元二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的导数公式：

$$f'(x) = 2ax + b$$

这个公式可以用于解决一些与一元二次函数有关的问题，例如求极值点、绘制切线等。