哉是一个古老的助词，在现代中文中已经不常用了。不过，在古代汉语中，哉的使用非常广泛，它可以表示疑问、感叹、肯定、否定以及祈使等语气。

其中，优哉游哉的“哉”表示一种悠闲自得、舒适逍遥的语气。这个词组通常用来形容一个人或动物在无忧无虑的状态下自由地行动或生活。例如：“他在花园里优哉游哉地散步，一点也不急躁。”

这个词组中的“优哉”意为优美、美好、愉悦，而“游哉”则表示闲适、自由、随意。因此，优哉游哉的“哉”表示了一种欣赏、赞美、羡慕的语气，用来形容一种轻松愉快、无忧无虑的生活状态。

总之，优哉游哉的“哉”表示了一种轻松、自在的语气，形容一种无忧无虑、自由自在的生活状态，让人感到舒适、惬意、羡慕。