(1+1/n)^n为什么等于e？

这个问题涉及到了数学中的一个著名定理——自然对数e的定义。自然对数e是一个无理数，它的近似值约为2.71828。它既是一个数学常数，又是一个数学函数的底数。它在数学、物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。

现在我们来探究一下，为什么(1+1/n)^n可以等于e。

首先，我们来观察一个数列：(1+1/n)^n，其中n是一个正整数。当n趋向于无穷大时，这个数列的极限就是e。

为了证明这一点，我们需要运用一些数学知识。首先，我们需要知道一个极限的定义：当n趋向于无穷大时，如果数列的极限存在，那么这个极限就是数列的极限。

接下来，我们需要用到一些数学公式。其中最重要的是数学家欧拉发现的一个公式：

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n!

这个公式中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。当n趋向于无穷大时，n!也会趋向于无穷大。

现在，我们将(1+1/n)^n展开成一个无穷级数：

(1+1/n)^n = 1 + n(1/n) + n(n-1)(1/n)^2/2! + n(n-1)(n-2)(1/n)^3/3! + ... + (1/n)^n

这里，每一项都可以看作是一个分数，其中分子是一个多项式，分母是n的幂次。当n趋向于无穷大时，每一项的分母都会趋向于无穷大，而分子则是有限的，因此每一项都会趋向于0。

接下来，我们来看一下这个无穷级数的前n项之和：

1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! + (1/n)^1 + (1/n)^2/2! + (1/n)^3/3! + ... + (1/n)^n/n!

这个式子可以拆成两部分，一部分是欧拉公式中的前n项之和，另一部分是剩余项之和。当n趋向于无穷大时，前n项之和会趋向于e，而剩余项之和会趋向于0。因此，当n趋向于无穷大时，这个无穷级数的和就是e。

因此，我们可以得出结论，当n趋向于无穷大时，(1+1/n)^n的极限就是e。这也就是为什么(1+1/n)^n等于e的原因。

总结一下，这个结论的证明需要用到极限、欧拉公式和无穷级数等数学知识。但是，对于大多数人来说，只需要知道这个结论就可以了。